Mit jelent az aszimmetria a statisztikákban?

A ferdeség az alapján határozható meg, hogy az eloszlás átlaga, mediánja és módja hogyan viszonyul egymáshoz.

Az unimodális eloszlásokban, amelyek szimmetrikusak, vagyis csak egy módusuk van, az átlag, a medián és a módusz egybeesik. Másrészt a ferde eloszlásoknál a szimmetria elveszik, és mind az átlag, mind a medián különböző pozíciókban jelenik meg.

Amikor a szimmetria szintje eltűnik, pozitív és negatív aszimmetriák keletkeznek. Ezek a mérések lehetővé teszik egy valószínűségi változó valószínűségi eloszlásának aszimmetriafokának megállapítását. Az aszimmetria jól látható egy harangos parcellán.

A módot mint referenciatengelyt figyelembe véve az aszimmetria típusát a két oldalon lévő adatok szórásának mértéke szerint határozzuk meg, amit „faroknak” is neveznek.

Ha az eloszlás szimmetrikus, akkor az átlagtól jobbra ugyanannyi érték lesz, mint balra.

pozitív aszimmetria

Ha a ferdeség pozitív, akkor a grafikon görbe jobbra ferde lesz, mivel az átlagtól jobbra több érték lesz. Itt az átlag és a medián nagyobb, mint a módus. Még a legtöbb esetben is nagyobb lesz az átlag, mint a medián.

negatív aszimmetria

Ha a ferdeség negatív, a grafikon görbe balra ferde lesz. Vagyis több érték lesz az átlagtól balra.
Negatív ferdeség esetén az átlag és a medián kisebb, mint a módus. Általában az átlag is kisebb, mint a medián.

Hogyan számítsuk ki az eloszlás ferdeségét

Mivel szabad szemmel nehéz lehet meghatározni a grafikon ferdeségét, vannak olyan ferdeségi mérőszámok, amelyek lehetővé teszik az eloszlás ferdeségének pontos meghatározását.

Erre használják őket:

• Pearson első ferdeségi együtthatója: Ez a ferdeség mértéke, amely magában foglalja az átlag kivonását a móduszból, és a különbség elosztását az adatok szórásával. Főleg unimodális eloszlásokban használják.
• A második Pearson-féle ferdeségi együttható egy másik eszköz az adathalmaz ferdeségének meghatározására. A számítás elvégzéséhez a módust ki kell vonni a mediánból. Ezután az eredményt megszorozzuk hárommal, és elosztjuk a szórással.
• Fisher-féle aszimmetria-együttható: ez a módszer egy kicsit bonyolultabb, és azokon az eltéréseken alapul, amelyeket a megfigyelt értékek mutatnak az átlaghoz képest. Úgy számítjuk ki, hogy a harmadik momentumot elosztjuk a szórással.
• A Bowley-Yule ferdeségi együttható: Ez a számítás a mediánon és a kvartiliseken alapul. Ha az eloszlás szimmetrikus, akkor az első és a harmadik kvartilis a mediántól azonos távolságra helyezkedik el. Ez azt eredményezi, hogy a ferdeség 0 lesz. Másrészt, ha a ferdeség pozitív, az eredmény nagyobb lesz, mint 0. Ha negatív, akkor ez az érték kisebb lesz.

Bibliográfia

• Martínez Pineda, A. (2018, április 4.). Elosztási típusok. RStudio. Elérhető: https://rstudio-pubs-static.s3.amazonaws.com/377130_08851253a31b41d18c25fd08fad316c3.html
• Spiegel, M. Valószínűség és statisztika. (2014). Spanyolország. McGraw-Hill Interamericana.
• Mullor Ibáñez, R. Statisztikai alapismeretek: I. Bevezetés a statisztikába . (2017). Az Alicantei Egyetem kiadványai.