Tabla de Contenidos
Érmék és kockák dobása vagy golyók vakon történő eltávolítása a dobozból a legegyszerűbb kísérletek közé tartozik, amelyekkel ellenőrizhetjük a statisztikákkal kapcsolatos különböző fogalmak megértését. Könnyen végrehajtható, otthon bárki által elvégezhető kísérletek, egyértelmű és egyértelmű eredményeket adnak, amelyek könnyen számszerűsíthetők.
A kockadobás esetében is egyértelmű kapcsolat van köztük és a szerencsejátékok között, ami kézzelfoghatóbbá teszi a statisztikák alkalmazását valamiben, ami sok ember mindennapi életének része, vagy legalábbis valamiben, amivel szinte minden. közülünk legalább egyszer találkoztunk életükben.
Három kocka egyidejű dobása különböző típusú eredményeket eredményezhet, amelyeket különböző módon értelmezhetünk. Érdekelhetnek minket maguk az egyéni eredmények, vagy érdekelhet minket az összeg értéke, vagy a páros vagy páratlan eredmények száma, amelyek a kockák között jönnek, stb. A három közül a legáltalánosabb az, hogy a három kocka értékeinek összege után érdeklődnek. A következő részekben megvizsgáljuk, hogyan számíthatjuk ki az egyes összegek előfordulási valószínűségét három kocka egyidejű dobásakor.
A mintaterület három kocka dobásához
Egyetlen kocka dobása egy egyszerű kísérlet, amelynek csak hat lehetséges kimenetele van. Azaz egy olyan kísérletről van szó, amelynek mintaterét az S 1 adott = {1 eredmények alkotják ; 2; 3; 4; 5; 6}.
Két kocka egyidejű dobásakor feltételezhető, hogy az egyes kockák eredménye független a másiktól, így mindegyik a hat előző eredmény bármelyikét eredményezheti. Ez azt eredményezi, hogy 6 2 = 36 lehetséges eredmény adható, amely megfelel az összes lehetséges kombinációnak az egyik matrica 6 értéke és a másik 6 értéke között.
Ebben az esetben S 2 mintaterünk lesz adott = {11; 12; 13; 14; tizenöt; 16; huszonegy; 22; 23; 24; 25; 26; …; 61; 62; 63; 64; 65; 66}. Ebből a 36 eredményből az egyedi kombinációk száma (a sorrend figyelembe vétele nélkül) kiszámítható egy ismétlődő kombinatorika segítségével, amelyben n = 2 csoportokat veszünk (a két dobott dobókockát) m = 6 lehetséges eredménnyel. :
Ez a 21 eredmény a következőnek felel meg: {11; 12; 13; 14; tizenöt; 16; 22; 23; 24; 25; 26; 33; 3. 4; 35; 36; 44; Négy öt; 46; 55; 56; 66}. Ezen eredmények mindegyikének valószínűsége 1/36-nak felel meg, megszorozva az egyes számok számjegyeivel létrehozható különböző permutációk számával (1, ha a szám ismétlődik, mint a 11, 22 stb., és 2, ha a a szám nem ismétlődik, mivel lehet 12 vagy 21, 13 vagy 31 stb.)
3 kockadobás esetén a lehetséges kimenetelek számát a mintatérben 6 3 = 216 adja. Ezek az eredmények: S 3 kocka = {111; 112; 113; 114; 115; 116; 121; …; 126; 131.; …; 136.; …; 166; 211; 212; …; 656; 666}. Ebben az esetben az egyéni kimenetel valószínűségének 1/216-nak kell lennie.
Az egyéni eredmények valószínűsége három kocka dobásakor
Most, hogy jól definiáltuk a 3 kockadobás összes lehetséges eredményének mintaterét, nézzük meg, hogyan számíthatjuk ki az egyes elérhető eredmények valószínűségét.
Három kockadobás esetén, figyelembe véve, hogy az eredmények sorrendje nem releváns, a 216 eredmény közül sok megismétlődik. Az egyedi eredmények teljes száma ismét kiszámítható 3-6-6 opciós csoport kombinációjaként, ismétlési lehetőséggel, azaz:
Az 56 eredmény közül a három egyenlő számból állók (nevezzük őket AAA-nak) csak egyszer fordulnak elő. Másrészt a két azonos és egy másik (AAB) alakkal rendelkezők háromszor ismétlődnek (az AAB, ABA és BAA permutációknak megfelelően). Végül 3-mal jelennek meg azok, akiknek három különböző figurája (ABC) van! = 6-szor (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB és CBA).
Ebből az információból és a lehetséges kimenetelek teljes számából (216) kiszámíthatjuk az egyes kimenetelek valószínűségét, mint
Az eredménytől függően 1, 2 vagy 3 különböző figura van. Az 56 lehetséges kimenetel és azok valószínűsége a következő táblázatban látható:
| Eredmény | Valószínűség | Eredmény | Valószínűség | Eredmény | Valószínűség | Eredmény | Valószínűség |
| 111 | 1/216 | 136 | 1/36 | 235 | 1/36 | 346 | 1/36 |
| 112 | 1/72 | 144 | 1/72 | 236 | 1/36 | 355 | 1/72 |
| 113 | 1/72 | 145 | 1/36 | 244 | 1/72 | 356 | 1/36 |
| 114 | 1/72 | 146 | 1/36 | 245 | 1/36 | 366 | 1/72 |
| 115 | 1/72 | 155 | 1/72 | 246 | 1/36 | 444 | 1/216 |
| 116 | 1/72 | 156 | 1/36 | 255 | 1/72 | 445 | 1/72 |
| 122 | 1/72 | 166 | 1/72 | 256 | 1/36 | 446 | 1/72 |
| 123 | 1/36 | 222 | 1/216 | 266 | 1/72 | 455 | 1/72 |
| 124 | 1/36 | 223 | 1/72 | 333 | 1/216 | 456 | 1/36 |
| 125 | 1/36 | 224 | 1/72 | 334 | 1/72 | 466 | 1/72 |
| 126 | 1/36 | 225 | 1/72 | 335 | 1/72 | 555 | 1/216 |
| 133 | 1/72 | 226 | 1/72 | 336 | 1/72 | 556 | 1/72 |
| 134 | 1/36 | 233 | 1/72 | 344 | 1/72 | 566 | 1/72 |
| 135 | 1/36 | 2. 3. 4 | 1/36 | 3. 4. 5 | 1/36 | 666 | 1/216 |
Az összeg valószínűsége három kocka dobásakor
Amint azt korábban említettük, a kockadobásnál a kocka összege sokkal fontosabb eredmény, mint az a szám, amelyre az egyes fejek kerülnek. Abban a kísérletben, amelyben három kockával dobnak, és megkapják az összeget, a mintateret három szám 1-től 6-ig terjedő összes lehetséges összege alkotja.
A legkisebb érték, amely ebből az összegből adódhat, az, amelyet akkor kapunk, amikor a három kocka 1-re landol, így 1+1+1 = 3 összeget kapunk, míg a maximális érték 6+6+6 = 18-nak felel meg, azzal a lehetőséggel, hogy a közbenső összegek bármelyikének megszerzéséről. Ezért ennek a kísérletnek a mintatere a következőnek felel meg:
S = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; tizenegy; 12; 13; 14; tizenöt; 16; 17; 18}
| három kocka összege | Egyedi eredmények száma | Különleges egyedi eredmények | A lehetséges eredmények teljes száma |
| 3 | 1 | 111 | 1 |
| 4 | 1 | 112 | 3 |
| 5 | 2 | 113; 122 | 6 |
| 6 | 3 | 114; 123; 222 | 10 |
| 7 | 4 | 115; 124; 133.; 223 | tizenöt |
| 8 | 5 | 116; 125; 134; 224; 233 | huszonegy |
| 9 | 6 | 126; 135; 144; 225; 2. 3. 4; 333 | 25 |
| 10 | 6 | 136.; 145; 226; 235; 244; 334 | 27 |
| tizenegy | 6 | 146; 155; 236; 245; 335; 344 | 27 |
| 12 | 6 | 156.; 246; 255; 336; 3. 4. 5; 444 | 25 |
| 13 | 5 | 166; 256; 346; 355; 445 | huszonegy |
| 14 | 4 | 266; 356; 446; 455 | tizenöt |
| tizenöt | 3 | 366; 456; 555 | 10 |
| 16 | 2 | 466; 556 | 6 |
| 17 | 1 | 566 | 3 |
| 18 | 1 | 666 | 1 |
A táblázat utolsó oszlopa az egyes összegek által adott eredmények teljes számát mutatja, beleértve az egyenértékű eredményeket (az egyes egyedi kombinációk összes permutációjából). Például 15 összegéhez a kockadobásnak 366, 356 vagy 555 kell lennie. De van 3 permutációja a 366-nak (366, 636 és 663) és 6 permutációja a 356-nak (356, 365, 536, 563, 635 és 653) és egyetlen az 555-ből, így a 15-tel egyenlő lehetséges kimenetelek száma összesen 10.
Az előző táblázatban gyakorolhatjuk, hogy három kocka dobásakor minden összeg valószínűségét kétféleképpen számítsuk ki. Ezeket az alábbiakban részletezzük.
1. stratégia: Minden egyedi eredmény valószínűségének felhasználása
Az első stratégia az összes egyedi eredmény valószínűségének összeadása, amelyet az egyes összegek adhatnak. Ez magában foglalja a harmadik oszlopban szereplő egyedi eredmények és a fent bemutatott eredmények megfelelő valószínűségét.
Példa
Tegyük fel, hogy ki akarjuk számítani annak valószínűségét, hogy a három kocka összege 11 (azaz P(11)). Ebben az esetben 6 egyedi kombináció létezik (a sorrendtől függetlenül), amelyek összege 11. Ezek az eredmények (a fenti táblázat harmadik oszlopa szerint): {146; 155; 236; 245; 335; 344}.
Az egyes eredmények valószínűségét az egyes esetekben a lehetséges permutációk teljes száma alapján határozzuk meg, amint azt az előző részben kifejtettük. Ebben az esetben:
Ezért annak a valószínűsége, hogy az összeg eredménye 11, a következő lesz:
Hasonlóképpen, ha azt a valószínűséget akarnánk, hogy az összeg 16, akkor az eredmény a 466 és 556 valószínűségek összege lenne, amelyek mindkettő egyenlő 1/72-vel, így a valószínűség a következő lenne:
2. stratégia: Az egyes összegeknek megfelelő eredmények teljes számának felhasználása
Ebben az esetben egy egyszerűbb utat választunk, feltéve, hogy minden egyes összegzéshez rendelkezésre áll egy lista az összes lehetséges eredményről, beleértve a permutációkat is. Ekkor az egyes összegek valószínűsége egyszerűen az összeghez tartozó kimenetelek teljes száma osztva a lehetséges kimenetelek teljes számával (216).
Példa
Az összeg = 11 esetén az összeget adó lehetséges eredmények száma összesen 27 (lásd az előző táblázat harmadik oszlopát), így annak valószínűsége, hogy a 11 összege a következő lesz:
Amint látható, az eredmény ugyanaz, mint korábban, és nagyon egyszerű, ha az előzőhöz hasonló táblázatot már felépítettünk. Bonyolultabb esetekben azonban, ahol több lehetséges kimenetel van (például 4, 5 vagy 4 kocka dobása), ez a stratégia kevésbé kényelmes, az előbbi pedig praktikusabb.
Hivatkozások
Graffe, S. (2021, szeptember 21.). Mennyi annak a valószínűsége, hogy három kockával dobva 7-et kapunk? Quora. https://en.quora.com/What%C3%A9-probabilidad-hay-que-al-lanzar-tres-dados-salga-una-sumatoria-de-7
Montagud Rubio, N. (2022, március 17). Számlálási technikák: típusok, használatuk és példák . Pszichológia és elme. https://psicologiaymente.com/miscelanea/tecnicas-de-conteo
Szunyók. (2017, november 16.). Számlálási technikák a valószínűségszámításban és a statisztikákban . Naps Technológia és oktatás. https://naps.com.mx/blog/tecnicas-de-conteo-en-probabilidad-y-estadistica/
Valdés Gómez, J. (2016, november 23). Kombinációk ismétléssel . Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=WqHZx64RW-Q
