Tabla de Contenidos
A statisztikákban nagyon gyakran szembesülünk olyan helyzetekkel, amelyekben több különböző esemény egyesülési valószínűségét szeretnénk kiszámítani. Például egy édességbolt tulajdonosát érdekelheti annak meghatározása, hogy a következő gyermek, aki belép az üzletébe, fehér csokit vagy tejcsokit vásárol. Ebben az esetben meg akarjuk határozni két lehetséges esemény egyikének a valószínűségét, ami a halmazelmélet szerint mindkét esemény egyesülési valószínűsége, vagyis P(AUB).
A leírt esetben ennek a valószínűségnek a kiszámítása egyszerűen az egyedi valószínűségek összegéből áll, mínusz a két esemény metszéspontjának valószínűsége, azaz:
A metszés valószínűségét azért kell kivonni, mert mindkét esemény valószínűségének összeadásával bármely metszéspontot kétszer számol a rendszer. Ez egy viszonylag egyszerű folyamat megértése. Az is előfordulhat azonban, hogy nem két, hanem három vagy több esemény egyesülési valószínűségét akarjuk meghatározni. Mit kell tenni ilyen esetekben? A következő részben egy egyszerű módszert tekintünk át a háromeseményes és négyeseményes esetekben alkalmazandó képlet meghatározására, majd ezeket az eredményeket használjuk a fenti képlettel együtt az egyesülési valószínűség meghatározásának általánosítására. tetszőleges számú eseményhez.
Alapok áttekintése
Az egyesülési valószínűségek kiszámításának folyamatának megértéséhez röviden fel kell idézni néhány fontos kifejezést, amelyeket később használunk:
kísérlet . Valószínűleg egy kísérlet minden olyan folyamat, amely többször megismételhető, és mindig eredményt hoz. Minden kísérlet egy bizonyos lehetséges kimenetelhez kapcsolódik, amelyek mindig ugyanazok lesznek.
Eredmény . Egy kísérlet következményét eredménynek fogjuk nevezni, például azt az arcot, amely a kockadobáskor kijön.
Mintatér (S) . Egy kísérlet összes lehetséges eredményének halmaza.
esemény . A lehetséges eredmények bármely halmaza.
Venn diagram . Grafikus ábrázolás, amely az események halmazai és az események valószínűsége közötti kapcsolatokat mutatja be egy kísérletben.
Három esemény egyesülési valószínűsége
Tegyük fel, hogy végzünk egy kísérletet, és meg akarjuk határozni annak valószínűségét, hogy a 3**3 különböző esemény közül az egyik bekövetkezik, ami előfordulhat egyidejűleg vagy nem. Ezt a három eseményt nevezzük A-nak, B-nek és C-nek.
Ezekben az esetekben többféle helyzet is előfordulhat. Előfordulhat például, hogy egyik esemény sem osztja meg az eredményeket egyik másikkal sem, ebben az esetben azt mondjuk, hogy az események kölcsönösen kizárják egymást, amit a következő Venn-diagram szemléltet:
Az A, B és C körök a három eseményt jelölik, és egy eredményhalmazt zárnak be a mintatérben, amely az S betűvel jelölt szürke téglalap. Ezekben az esetekben az egyesülési valószínűséget egyszerűen az egyes események valószínűségeinek összege adja meg. külön rendezvény:
Másrészt az egyik esemény megoszthatja az eredményeket a másik két eseménnyel, vagy akár mindkettővel. Ezt egy Venn-diagram szemlélteti, mint egymást metsző területek.
Ezekben az esetekben a valószínűségek összege egyes kimeneteleket többször is figyelembe vesz, ezért ezeket a túlszámolt valószínűségeket ki kell vonni. Vagyis ki kell vonnunk az egyes eseménypárok metszéspontjának valószínűségét. Azonban azokban az esetekben, amikor mindhárom eseménynek van végeredménye (például a fenti Venn-diagram közepén), a párok metszéspontjainak kivonása eltávolítja annak a központi területnek a hozzájárulását, ahol a párok metszik egymást. Három esemény. Emiatt ismét hozzá kell adnunk ezt a kis területet, amely megfelel az A, B és C metszéspontjának valószínűségének.
Végül a három esemény egyesülési valószínűsége a következő:
MEGJEGYZÉS: Bár ezt a kifejezést arra az esetre adták meg, amikor a három esemény metszi egymást, ez a háromeseményes eset általánosabb formája, mivel átváltható bármely három esemény halmazának egyesülési valószínűségére, függetlenül attól, hogy metszik egymást. vagy nem. Például egymást kizáró események esetén az összes metszés valószínűsége nulla, így a kifejezés a szakasz elején látható egyéni valószínűségek összegére redukálódik.
Négy esemény egyesülési valószínűsége
Tegyük fel, hogy most egy új kísérletet hajtunk végre, és a négy esemény: A, B, C és D közötti egyesülés valószínűségére vagyunk kíváncsiak. A legáltalánosabb eset az, hogy ezek mindegyike metszi egymást, amint azt a következő diagram mutatja:
Ebben az esetben a négy egyszerű valószínűség összege az I. területen lévő kimenetelek valószínűségének négyszeresét, a II., III., IV. és V. terület háromszorosát, a VI., VII., VIII. IX. Ennek kijavításához először ki kell vonnunk az összes pár (A és B, A és C, A és D, B és C, B és D, valamint C és D) metszésponti valószínűségét. Ez viszont túl sokszor vonja ki az egyes hármas csoportok (ABC, ABD, ACD és BCD) metszésterületeit, ezért ezeket a területeket újra össze kell adni, és így tovább, amíg minden területet egyszer meg nem számolunk.
Az eredmény négy esemény esetén, függetlenül attól, hogy kölcsönösen kizárják-e vagy sem, a következő:
Négynél több esemény egyesülési valószínűsége
Eddig a pontig már észlelhetünk egy mintát a két, három és négy esemény egyesülési valószínűségére vonatkozó képletek között. Mindegyik az egyszerű valószínűségek összegével kezdődik, majd kivonja az összes lehetséges eseménypár metszésponti valószínűségét, majd hozzáadja a három eseményből álló minden egyes lehetséges csoport metszésponti valószínűségét, és így tovább, felváltva összeadva és kivonva a metszéspontokat. több eseményt, amíg el nem érjük az események metszéspontját. Páros számú esemény esetén ez az utolsó metszéspont mindig negatív (kivonva), míg páratlan számú esemény esetén mindig pozitív (összeadva).
Hivatkozások
- Arrizabalaga R., M. (2015, szeptember). VALÓSZÍNŰSÉGELMÉLET . AUTONÓM MEXIKÓI ÁLLAMI EGYETEM. https://core.ac.uk/download/pdf/55528069.pdf
- DeVore, J. (2002). Valószínűség és statisztika mérnöki és tudományok számára (5. kiadás). Thomson International.
- Manuel, M. (2020, július 1.). Az események egyesülésének valószínűsége . Könnyű matematika. https://lasmatesfaciles.com/2020/06/29/probabilidad-de-la-union-de-sucesos/
- Marta, M. (2021, március 27). Események vagy események egyesülése . Szuperprof. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/combinatoria/union-de-sucesos.html
