Tabla de Contenidos
A szabadságfok fogalma gyakran felmerül mind a matematikában, mind a statisztikában. A szóban forgó területtől függően a koncepció jelentősen eltér.
A szabadságfok intuitív fogalma
Intuitív módon a szabadsági fokok száma arra utal, hogy egy adott helyzetben hány szabad döntést tudunk meghozni . Tegyük fel például, hogy egy ötfős csoportnak 5 különböző gyümölcs közül kell választania. Az első személy szabadon választhat a gyümölcsök közül. A következő, a maradék négy gyümölcsből szabadon válogathatsz, stb. Az utolsó személy elérésekor, mivel kezdetben csak 5 gyümölcs volt, ez a személy kénytelen az utolsó gyümölcsöt választani, ami azt jelenti, hogy a valóságban az utolsónak nem volt választási szabadsága, míg a többieknek igen.
Ebben az esetben azt mondjuk, hogy négy szabadságfok volt, mivel az első négy gyümölcs kiválasztása után az ötödik személy gyümölcse automatikusan meghatározásra került.
Megjegyzendő, hogy az öt embernek azért nem volt lehetősége szabadon választani a gyümölcsét, mert kezdetben csak öt gyümölcs volt. Ha azt mondtuk volna az öt embernek, hogy mindegyik válassza ki a neki legjobban tetsző gyümölcsöt, anélkül, hogy bármilyen opciót megadnánk, akkor mind az öt ember választhatott volna. Ez azt mutatja, hogy az a tény, hogy csak öt gyümölcs volt, olyan korlátozást jelentett, amely csökkentette a választás szabadságát.
a matematika szabadságfokai
Matematikailag a szabadságfokokat egy véletlen vektor tartománydimenzióinak számaként határozzuk meg . Ez azt jelenti, hogy egy véletlen vektor azon komponenseinek száma, amelyek értékeit meg kell adnunk ahhoz, hogy a vektort teljesen megismerjük.
Hogy jobban megértsük ezt a fogalmat, elemezzük geometriai szempontból. Egy véletlen vektort úgy definiálhatunk, mint egy olyan, amelyet skaláris valószínűségi változók halmaza alkot . Ezen valószínűségi változók mindegyike a vektor egy-egy komponensét képviseli egy dimenzióban. Vagyis az ilyen változók vagy komponensek száma ( n ) meghatároz egy n-dimenziós teret, amelyen belül a véletlen vektor szabadon mozoghat, tehát azt mondjuk, hogy a vektornak n szabadságfoka van.
Például, ha a vektor egyetlen valószínűségi változóból áll, akkor ez a vektor csak egyetlen dimenzió mentén változhat szabadon. Ennek következtében egy adott vektor definiálásához csak az adott valószínűségi változó értékét kell kiválasztani, tehát azt mondjuk, hogy csak egy szabadságfok létezik.
Másrészt, ha egy vektort két komponens alkot, akkor az egy kétdimenziós térben, azaz egy síkban ábrázolható. Azt mondjuk, hogy ez a vektor szabadon mozoghat két dimenzió mentén attól függően, hogy ez a két valószínűségi változó milyen konkrét értékeket vesz fel, ezért azt mondjuk, hogy két szabadsági foka van.
Ugyanez az érvelés működik 3, 4 vagy több komponensből álló véletlen vektor esetén is.
A statisztikákban gyakran használt véletlen vektor tipikus példája egy n méretű minta. Ebben az esetben a minta n elemének mindegyike egy valószínűségi változó, és az összes n érték alkotja a mintának megfelelő véletlenvektort. Minden alkalommal, amikor új mintát választunk, új vektort kaphatunk, és semmi sem tiltja, hogy szabadon és függetlenül válasszuk ki a mintát alkotó adatokat.
A szabadságfokok korlátai
Az előző bekezdésekben leírtakból arra következtethetünk, hogy bármely n dimenziójú (azaz n független komponensből alkotott) véletlen vektornak n szabadságfoka lesz, mivel az n komponens bármelyikének tetszőleges értéke lehet, azaz , semmi sem korlátozza az n valószínűségi változó mindegyikének kiválasztását.
Ha azonban a változók nem függetlenek egymástól, hanem valamilyen matematikai egyenlettel kapcsolódnak egymáshoz, akkor a szabadsági fokok száma csökken, mivel lesznek olyan változók, amelyek értéke az értékek kiválasztása vagy megadása után teljesen meghatározott. a többi változót.
Ezeket a vektort alkotó valószínűségi változók közötti kapcsolatokat megszorításoknak vagy feltételeknek ismerjük, és a szabadságfokokra vonatkozó intuitív magyarázatunk „csak öt gyümölcs van” feltételének matematikai megfelelői.
Példa:
Tegyük fel, hogy van egy valószínűségi vektorunk, amely három , x , y és z valószínűségi változóból áll . Kezdetben ennek a rendszernek három szabadságfoka van, mivel a három változó értékét meg kell választanunk egy adott vektor teljes megadásához.
Most azonban tegyük fel, hogy ezeknek a változóknak valamilyen oknál fogva meg kell felelniük annak a feltételnek, hogy összegük 5 y , x y z vagy y y z ) a harmadikat az x + y + z = 5 egyenlet határozza meg
Például, ha x = 10 és y = 5 értéket választunk , a z változó nem vehet fel semmilyen értéket, de szükségszerűen –10 értékűnek kell lennie, hogy megfeleljen a fent említett feltételnek.
Ha több megszorítást vagy több független kapcsolatot is beiktatunk a változók közé, tovább csökkenthetjük a szabadsági fokok számát, akár nullára is.
szabadságfokokat a statisztikában
A matematika szabadságfokainak tisztább vizsgálatával sokkal könnyebb lesz megérteni a szabadsági fokokat a statisztika területén, ahol a legtöbb hasznos.
A szabadságfokokat statisztikai számítások elvégzésére, valamint valószínűségi eloszlások meghatározására használják, mint például a t-student eloszlás vagy a khi-négyzet eloszlás.
Ezekben az összefüggésekben a szabadsági fokok azon változók számából állnak, amelyeket meg kell adnunk, hogy meghatározzuk valamely statisztikai változó értékét, mint például a minta átlaga, variancia, minta szórása stb.
Például egy n méretű minta mintaátlagának kiszámításakor ismernünk kell a mintában szereplő n elem összes értékét. Az átlagot a következő kifejezéssel számítjuk ki:
Ha azonban a minta átlagát, amely a sokaság átlagát számítja, kiszámították, más statisztikai változók, például a minta variancia és szórása kiszámítására is felhasználható. Ezekben az esetekben, tekintettel arra, hogy a mintaelemek átlaga és egyes értékei az előző egyenlet segítségével összefüggenek, ami megszorítást jelent, igaz, hogy bármely átlagból számított mennyiség n-1 szabadságfokkal rendelkezik. :
Hivatkozások
De la Cruz-Oré, JL (2013). Mit jelentenek a szabadságfokok? Peruvian Journal of Epidemiology , 17 (2), 1–6. https://www.redalyc.org/pdf/2031/203129458002.pdf
DeVore, J. (2002). Valószínűség és statisztika mérnöki és tudományok számára (5. kiadás). Thomson International.
A szabadság fokai . (2012, november 18.). Pénzügyi Enciklopédia. http://www.enciclopediafinanciera.com/definicion-grados-de-libertad.html
Minitab blogszerkesztő. (2019, április 18.). Mik azok a szabadságfokok a statisztikában? Minitab Blog. https://blog.minitab.com/en/what-are-degrees-of-freedom-in-statistics
Pacheco, J. (2019, október 15.). ▷ Szabadságfokok a statisztikában ( mik ezek és hogyan alkalmazzák őket) | 2021 . Web és cégek. https://www.webyempresas.com/grados-de-libertad-en-estadistica/
