Tabla de Contenidos
Egy valószínűségi változó varianciája az átlag körüli terjedésének mértéke . Ez azt jelenti, hogy ez egy olyan mennyiség, amely az említett változó értékeinek átlagos szórását jelzi az átlag mindkét oldalán, vagy annak valószínűségi eloszlásának amplitúdóját. Ez a paraméter minden valószínűségi változó fontos mennyisége, függetlenül annak valószínűségi eloszlásától.
Másrészt a Poisson-eloszlás egy diszkrét valószínűségi eloszlás, amely modellezi a diszkrét események előfordulásának gyakoriságát egy időintervallumon belül , bár más folytonos változókkal, például egy vezeték hosszával kapcsolatban is hivatkozhatunk rá. , felület stb.
A Poisson-eloszlás nagy jelentőséggel bír, hiszen lehetővé teszi a folyamatok napi modellezését, ahányan sorba érkeznek az ATM jegypénztárainál, valamint olyan összetett folyamatokat, mint amennyi radioaktív bomlás egy adott időintervallumban. nukleáris hulladékból vett mintából.
A Poisson-eloszlás matematikai meghatározása
Egy X valószínűségi változó Poisson-eloszlást követ, ha a valószínűségi tömegfüggvénye vagy a PMF alakja a következő:
A képletben λ az eloszlás mindig pozitív paramétere, x pedig a különböző értékeket jelöli, amelyeket a valószínűségi változó felvehet. A Poisson-folyamatokban a λ paraméter általában a sebességet vagy frekvenciát jelenti egységnyi idő alatt, egységnyi területen stb.
Amint később látni fogjuk, λ a Poisson-eloszlás átlaga, valamint szórása.
Most, hogy tudjuk, mi ez az eloszlásfüggvény, és mire való, nézzük meg a variancia formálisabb definícióját, kiszámításának általános módját, és végül, hogyan számítják ki a szórást a Poisson-eloszlás adott esetére.
Mi az eltérés?
Matematikailag egy X valószínűségi változó varianciája, amelyet a statisztikában Var(X) jelöl , megfelel az adott változó átlagától való eltérésének négyzetének várható értékének, amelyet a következő képlettel fejezünk ki:
Bár az előző definíció felhasználható bármely valószínűségi változó szórásának kiszámítására, az első és második közönséges momentumok vagy az origó körüli momentumok (m 1 , m 2 ) használatával is könnyebben kiszámítható a következőképpen :
Ez a varianciaszámítási mód kényelmesebb, mint az első, ezért ebben a cikkben ezt fogjuk használni a Poisson-eloszlás varianciájának kiszámításához.
A Poisson-eloszlás varianciájának kiszámítása
Az átlagos vagy első hétköznapi pillanat kiszámítása
Ne felejtsük el, hogy bármely diszkrét eloszlás esetén X átlaga vagy elvárása a következő kifejezéssel határozható meg, amely meghatározza az első momentumot:
Ezt az összeget x=1-től vehetjük fel, mivel az első tag nulla. Valamint, ha most mindent megszorzunk és elosztunk λ- val , és az x!/x-et is (x-1) -re cseréljük! , azt kapjuk:
Ez a kifejezés egyszerűsíthető az y = x – 1 változó megváltoztatásával , így hagyjuk:
Az összegzésen belüli függvény ismét a Poisson valószínűségi függvény, amely definíció szerint az összes valószínűség összege nullától a végtelenig bármely valószínűségi függvény, amelynek 1-gyel egyenlőnek kell lennie.
Már megvan a Poisson-függvény első mozzanata vagy átlaga. Most ezt az eredményt és az X négyzetének elvárását fogjuk használni a variancia meghatározásához.
A második hétköznapi pillanat számítása
A második pillanatot a következő adja:
Egy kis trükk segítségével megoldhatjuk ezt az összeget, amely abból áll, hogy x 2- t x(x-1)+x-re cserélünk:
Ahol az előző eredményt használjuk az összegzés második tagjában, ott szorozzuk és osztjuk λ 2- vel, így megkapjuk a λ x-2 kitevőt , és alkalmazzuk az y = x – 2 változó változását .
Most már csak az van hátra, hogy ezt a két momentumot lecseréljük az eltérés képletében, és meglesz a várt eredmény:
Hivatkozások
Devore, J. (2021). Valószínűségszámítás és statisztika a mérnöki és tudomány számára . CENGAGE LEARNING.
Rodó, P. (2020, november 4.). Poisson-eloszlás . Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/distribucion-de-poisson.html
UNAM [Luis Rincon]. (2013, december 16.). 0625 Poisson Distribution [Videó]. Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=y_dOx8FhHpQ
