Tabla de Contenidos
Egy számhalmaz megszámlálhatatlan, ha nem lehet minden eleméhez egyedi természetes számot rendelni . Más szóval, megszámlálhatatlan halmazok azok, amelyek nem felelnek meg egy az egyhez a természetes számoknak.
Általában természetes számokat használunk intuitív módon a számoláshoz, és ezt úgy tesszük, hogy a csoport minden eleméhez rendelünk egy-egy természetes számot egymás után, amelyet meg akarunk számolni. Például, amikor megszámoljuk a kezünk ujjainak számát, mindegyik ujjhoz egyedi természetes számot rendelünk, amely 1-gyel kezdődik és 5-tel végződik. Ekkor tudjuk, hogy 5 ujj van a kezünkön, mert ez a legmagasabb érték. ujjakhoz rendeljük. Más szóval, megszámoljuk az ujjakat.
Ez az ötlet nem alkalmazható bizonyos számhalmazokra. Egyes esetekben a halmazok olyan nagyok, hogy még a végtelen természetes számok használata sem lenne elegendő a halmaz összes elemének megszámlálásához. Mivel a természetes számok halmaza végtelen, az az elképzelés, hogy vannak megszámlálhatatlan halmazok, azt az elképzelést sugallja, hogy vannak olyan végtelenek, amelyek nagyobbak a többinél, és csak azok a halmazok, amelyeknek a végtelenje akkora „méretű”, mint a természetes számok halmazának. megszámlálhatóak.a természetes számok. A halmaz elemeinek számát bíborosnak nevezzük, ezért megszámlálhatatlan halmazok azok, amelyeknek a kardinális értéke nagyobb, mint a természetes számoké.
Megszámlálható és megszámlálhatatlan halmazok néhány tulajdonsága
Annak megértéséhez, hogy egyes halmazok miért megszámlálhatók, mások miért nem, segít megismerni a halmazok néhány tulajdonságait:
- Ha A B részhalmaza és A megszámlálhatatlan, akkor B is megszámlálhatatlan. Más szavakkal, minden halmaz, amely megszámlálhatatlan halmazt tartalmaz, magának megszámlálhatatlannak kell lennie.
- Ha A megszámlálhatatlan és B bármely halmaz (megszámlálható vagy nem), akkor az AUB unió is megszámlálhatatlan.
- Ha A megszámlálhatatlan és B bármely halmaz, akkor az A x B derékszögű szorzat is megszámlálhatatlan.
- Ha A végtelen (akár megszámlálhatóan végtelen), akkor A hatványkészlete megszámlálhatatlan.
Példák a leggyakoribb megszámlálhatatlan halmazokra
A valós számok halmaza (R)
A valós számok halmaza a megszámlálhatatlan halmaz első példája. De honnan tudhatjuk, hogy megszámlálhatatlanok, ha végtelen elemeik vannak, és végtelen természetes számokat is hozzá kell rendelnünk? Ezt Cantor diagonális érvelésének köszönhetjük.
Kántor átlója
A Cantor-féle diagonális argumentum lehetővé teszi, hogy megmutassuk, hogy a valós számok azon részhalmaza, amelyek két jól meghatározott határérték között, például 0 és 1 között vannak, megszámlálhatatlan halmaz. Következésképpen a megszámlálhatatlan halmazok már említett tulajdonságai alapján az összes valós szám teljes halmazának is megszámlálhatatlannak kell lennie.
Tegyük fel, hogy végtelen listát hozunk létre 0 és 1 közötti valós számokból. Teljesen lényegtelen, hogy ez a lista hogyan épül fel. Az egyetlen dolog, ami számít, hogy minden szám egyedi. Most mindegyik számhoz egyedi természetes számot fogunk rendelni, 1-től kezdődően, és egymást követően. Ennek a listának egy példája a következő táblázatban látható:
| Nem. | R. | ||||||||
| 1 | 0, | 2 | 2 | 4 | 5 | 8 | 7 | 9 | 6… |
| 2 | 0, | 5 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 0 | 2… |
| 3 | 0, | 6 | 4 | 0 | 5 | 7 | 8 | 3 | 0… |
| 4 | 0, | 1 | 7 | 9 | 8 | 2 | 2 | 4 | 3… |
| 5 | 0, | 8 | 5 | 5 | 4 | 7 | 3 | 2 | 2… |
| 6 | 0, | 0 | 4 | 8 | 3 | 8 | 1 | 5 | 3… |
| 7 | 0, | 7 | 8 | 4 | 2 | 0 | 9 | 1 | 0… |
| 8 | 0, | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 1 | 3 | 5… |
| … | … |
Ezen a ponton a listánkban szereplő összes számhoz egyedi természetes számot rendelünk. Mivel ez a lista végtelen, és minden valós szám egy természetes számnak felel meg, ezért ebben a táblázatban az összes természetes számot „elköltjük”. Canto megmutatta, hogy van legalább egy további valós szám, amely nem szerepel ezen a listán, ezért nem számolható meg. Ez a szám úgy épül fel, hogy a táblázatot keresztező átló összes elemét felvesszük, majd hozzáadunk 1-et. Ez azt jelenti, hogy az új szám az első szám első számjegyével kezdődik egy egységgel növelve, majd a második számjegye lesz a második szám eggyel nőtt, majd a harmadik szám harmadik számjegye és így tovább.
A következő táblázatban az átlón lévő elemek félkövérrel vannak kiemelve, és a művelet eredményeként kapott szám az utolsó sorba kerül:
| Nem. | R. | ||||||||
| 1 | 0, | 2 | 2 | 4 | 5 | 8 | 7 | 9 | 6… |
| 2 | 0, | 5 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 0 | 2… |
| 3 | 0, | 6 | 4 | 0 | 5 | 7 | 8 | 3 | 0… |
| 4 | 0, | 1 | 7 | 9 | 8 | 2 | 2 | 4 | 3… |
| 5 | 0, | 8 | 5 | 5 | 4 | 7 | 3 | 2 | 2… |
| 6 | 0, | 0 | 4 | 8 | 3 | 8 | 1 | 5 | 3… |
| 7 | 0, | 7 | 8 | 4 | 2 | 0 | 9 | 1 | 0… |
| 8 | 0, | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 1 | 3 | 5 … |
| … | … | 2+1 | 2+1 | 0+1 | 8+1 | 7+1 | 1+1 | 1+1 | 5+1 |
| 0, | 3 | 3 | 1 | 9 | 8 | 2 | 2 | 6… |
Az eredmény: 0,33198226…
Amint látjuk, mivel az új szám első számjegye (ami 3) eltér a lista első számának első számjegyétől (ami 2), akkor ez más lesz, mint az első, még akkor is, ha az összes többi szám pontosan ugyanaz. Mivel a második számjegy (3) különbözik a második szám (2) második számjegyétől, akkor ez is különbözni fog a második számtól.
Ugyanez az érvelés a végtelenségig folytatható, ha az átló mentén haladunk, biztosítva, hogy a kapott szám legalább egy számjeggyel eltérjen a táblázat összes végtelen számától.
Mivel azonban az összes természetes számot már az új szám létrehozása előtt „elköltöttük”, vagy hozzárendeltük, így nem maradt egyedi természetes szám, amelyet hozzá kellene rendelnünk, ezért arra a következtetésre jutottunk, hogy a 0 és 1 közötti valós számok halmaza, és ezért az összes valós szám kiterjesztése megszámlálhatatlan halmaz.
A transzcendentális számok halmaza
A transzcendentális számok azok, amelyek a valós számok halmazához tartoznak, de nem algebrai számok. Ez azt jelenti, hogy ezek nem a következő alakú polinomiális egyenlet gyökei:
ahol az összes együttható egész szám. Nevezzük A- nak az összes algebrai valós szám halmazát, T-nek pedig a többi valós számot, vagyis a transzcendentális számokat. Könnyen belátható, hogy a valós számok teljes halmaza, R , az A és T halmazok uniója , azaz:
Megmutatható, hogy az algebrai számok halmaza megszámlálható. Ezenkívül már bebizonyítottuk, hogy a valós számok megszámlálhatatlanok. Mivel R megszámlálhatatlan, nem képezhető két megszámlálható halmaz uniójával. Tudva, hogy A megszámlálható, arra a következtetésre jutunk, hogy T megszámlálhatatlan.
Bináris számsorozatok halmaza
A bináris számok sorozata egyszerűen egy tetszőleges hosszúságú 0-ból és 1-ből álló karakterlánc. Ha az összes lehetséges bináris számsorozatot egyesítjük, akkor megkapjuk a bináris számsorozatok halmazát. Ez nem más, mint a valós számok egy részhalmaza, amelyben az egyetlen számjegy a 0 és az 1.
Nagyon könnyű megmutatni, hogy ez a számhalmaz megszámlálhatatlan ugyanazzal a Cantor-argumentummal, amellyel megmutatjuk, hogy R megszámlálhatatlan. Az egyetlen figyelmeztetés az, hogy ahelyett, hogy 1-et adnánk az átlón lévő számokhoz, egyszerűen megfordítjuk az értéküket, és a 0-t 1-gyel helyettesítjük, és fordítva.
Ahogy korábban is, a kapott bináris sorozat nem fog hasonlítani az eredeti listában esetleg felvett végtelen sorozatokhoz, tehát ez egy megszámlálhatatlan halmaz.
Más, különböző bázisú számsorozatok
A bináris számsorozatokból és a valós számokból származó argumentum bármely bázisú számsorozatra kiterjeszthető. Ebben az értelemben a hexadecimális számsorozatok összessége megszámlálhatatlan lesz; így lesz a hármas, négyes számok sorozatainak halmaza stb.
Hivatkozások
Gyakori példák megszámlálhatatlan halmazokra . (2020. március 16.). PeoplePerProject. https://en.peopleperproject.com/posts/9312-common-examples-of-uncountable-sets
Ivorra Castillo, C. (sf.). HALMAZELMÉLET . UV.es. https://www.uv.es/ivorra/Libros/TC.pdf
Szabadszövegek. (2021, július 7.). 1.4: Megszámlálható és megszámlálhatatlan halmazok . Matematika LibreTexts. https://math.libretexts.org/Bookshelves/Combinatorics_and_Discrete_Mathematics/An_Introduction_to_Number_Theory_(Veerman)/01%3A_A_Quick_Tour_of_Number_Theory/1.04%3A_Countable_Set_Uncountable
Schwartz, R. (2007, november 12.). Megszámlálható és megszámlálhatatlan halmazok . Barna matematika. https://www.math.brown.edu/reschwar/MFS/handout8.pdf
Megszámlálhatatlan készletek | Példák megszámlálhatatlan halmazokra . (2020, szeptember 21.). Cuemath. https://www.cuemath.com/learn/Mathematics/uncountable-sets/
