Mi az átlag a matematikában?

A matematikában az átlag, más néven átlag egy olyan szám, amely egy szám- vagy adathalmaz értékét összegzi . A központi tendencia mérőszámaként ismert, mert valamilyen módon olyan értéket képvisel, amely egy adatgyűjtemény középpontjában áll.

Mire valók az átlagok?

Az átlagok nagyon hasznosak, mert lehetővé teszik, hogy nagy vonalakban meglássuk nagyszámú adat viselkedését anélkül, hogy elvesznénk az egyes értékek részleteiben. Ha egy analógiával élünk, az átlag kiszámítása lehetővé teszi, hogy az erdő egészét tekintsük, ahelyett, hogy a fákra összpontosítanánk.

Például rendelkezhetünk egy táblázattal, amelyben egy oktatási intézmény 100 azonos osztályú tanulójának magassági értékei vannak. Valószínűleg ezeknek az embereknek egyike sem pontosan ugyanolyan magas, így a táblázatban szereplő értékek többsége eltérő lesz.

Mi történne, ha valaki megkérdezné tőlünk, milyen magasak az adott évfolyam tanulói azon az egyetemen? Helytelen lenne válaszként bármelyik magasságát megadni. Itt kezdenek segíteni az átlagok. Ahelyett, hogy 100 különböző magasságot jelentene, az átlag lehetővé teszi, hogy az összes információt egyetlen számban foglalja össze. Azt mondhatnánk tehát, hogy az egyetem hallgatói átlagosan 1,67 m magasak (ha ez így lenne).

Ez nem jelenti azt, hogy nem minden diák 1,67-es, de még azt sem, hogy egyikük sem rendelkezik ilyen magassággal. Egyszerűen az a szám, amely a legjobban reprezentálja az adott osztályba járó tanulók magasságát az adott egyetemen, 1,67 m.

Információvesztés az átlagok kiszámításával

Nyilvánvaló, hogy az adatok átlagba foglalásával sok információ hiányzik. Az információt feláldozzák az egyértelműség érdekében. Az átlagok számítása része az úgynevezett leíró statisztikának, amely nem más, mint olyan technikák és számítások összessége, amelyek lehetővé teszik egy nagy adatgyűjtemény viselkedésének vagy jellemzőinek néhány számmal történő leírását.

Az átlagok önmagukban általában nem adnak elegendő információt az általunk megadott alkalmazások közül. A hiányzó információk egy részének helyreállítása érdekében gyakran átlagokat adnak meg az egyes adatok átlag körüli szóródásának mértékével együtt, például a szórással vagy a szórással.

Az átlagok típusai és képleteik

Az adatok gyűjteményéből különböző módon számítható ki az átlag. Ez különböző típusú átlagokat, vagy inkább átlagokat eredményez.

• Számtani átlag (X̅ vagy AM)
• Súlyozott aritmetikai átlag (WAM)
• Geometriai átlag (GM)
• Harmonikus átlag (HM)
• Négyzetgyökér (RMS)

Számtani átlag (X̅ vagy AM)

A számtani átlag vagy AM az átlag leggyakrabban használt formája a mindennapi életben. Ez az átlagolandó elemek egyszerű összege, osztva az elemek vagy adatok teljes számával.

A számtani középértéket sok matematikai kontextusban a változót átlagoló szimbólum képviseli, felette egy oszloppal. Például az X változó számtani középértéke X̅-ként (X-bar) van ábrázolva. _{Néha az AM X} is képviseli . Képletét a következőképpen adja meg:

Ebben az egyenletben X _i az i-edik egyedi adatelemet jelöli, n pedig az átlagolandó adatelemek teljes számát.

Ennek az átlagnak az a jellemzője, hogy az összes adat középpontjában van, oly módon, hogy az összes egyedi adat átlagtól való eltérésének összege mindig nulla.

A számtani átlag nagyon érzékeny a kiugró értékekre vagy a szélsőséges adatokra. Ez azt jelenti, hogy ha egy adathalmazban van egy érték, amely vagy sokkal nagyobb, mint a többi adat túlnyomó többsége, vagy sokkal kisebb, akkor ezek a szélsőséges adatok maguk felé vonják az átlagot, távol a többi adat többségétől.

Súlyozott aritmetikai átlag (WAM vagy W)

A számtani átlag egyenlő fontosságot vagy súlyt ad az összes átlagolt adatnak. Ez azonban nem mindig kényelmes, mivel egyes adatok fontosabbak lehetnek, mint mások. Ezekben az esetekben a súlyozott számtani átlagot vagy súlyozott átlagot használják, amelyet általában a W szimbólum jelöl (az angol ” súlyozott átlag” ).

Súlyozott átlagolásnál az egyes adatelemek relatív fontosságát minden adatelemhez ( X _i ) egy adott súlyozási tényező ( w _i ) formájában veszik fel a számításba . Minél nagyobb az adat fontossága, annál nagyobb a súlyozási tényezője, így nagyobb a befolyása a végső átlagra. A súlyozott átlag kiszámításának képlete a következő:

A súlyozási tényező tetszőlegesen megválasztható, és adott esetben akár megfelelő súlyozási függvény segítségével is kiszámítható, ha szükséges.

Példa egy olyan helyzetre, amikor a súlyozott átlag megfelelőbb, mint az egyszerű átlag, a tanuló átlagának számításakor. A számtani átlag vagy az egyszerű átlag nem alkalmas ezekre az esetekre, hiszen vannak olyan tárgyak, amelyek sokkal több munkát és elhivatottságot igényelnek, mint mások, és vannak olyan tárgyak is, amelyek a többieknél fontosabbak a hallgató tanulmányi jövője szempontjából. Emiatt többet kell hozzájárulniuk a GPA-hoz, mint a kevésbé fontos tárgyakhoz.

Ezekben az esetekben általában a tárgy kreditegységeinek számát használják súlyozási tényezőként.

geometriai átlag (GM)

A geometriai átlag kiszámításakor ahelyett, hogy az adatok összegét vennénk és osztanák az adatok számával, az n egyedi adatot összeszorozzuk , és a közös szorzat n-edik gyökét veszik.

Ennek az átlagnak az a tulajdonsága, hogy nulla, ha az átlagolt adatok bármelyike ​​nulla. Illetve, ha az adatelemek száma páros, akkor a negatív adatokra nincs definiálva a geometriai átlag, ezért a használhatósága szigorúan pozitív számokra korlátozódik.

Ezt a fajta átlagot gyakran használják százalékos átlagok kiszámításakor.

Harmonikus átlag (HM)

A harmonikus átlag vagy HM egy olyan átlagtípus, amelyet gyakran használnak szorzatként vagy hányadosként kiszámított mennyiségek átlagolására. Néhány fontos példa az azonos hosszúságú utak átlagsebességének kiszámítása, a tőzsdei befektetések ár/nyereség aránya (PER) stb.

A harmonikus átlag kiszámítására szolgáló képlet az egyes adatok inverzeinek számtani középértékének inverzéből áll. Más szavakkal, a következő egyenlet adja meg:

Négyzetgyökér (RMS)

Az átlagos négyzetnek is nevezik, az RMS egy olyan átlagtípust képvisel, amely alkalmas pozitív és negatív értékeket is tartalmazó adatokhoz. Ez ugyanis megfelel az egyes adatok négyzeteinek számtani középértékének négyzetgyökének. Az egyes adatok négyzetre emelésével a kapott eredmény mindig pozitív lesz, így ennek az előjelnek az átlagszámításra gyakorolt ​​befolyása megszűnik.

Az RMS-t a következő adja:

Az RMS leggyakoribb alkalmazása a váltakozó áram effektív feszültségének szinuszos hullámú számítása. Ebben az esetben a hullám átlagos amplitúdója a legfontosabb és nem a feszültség átlagos értéke, ami a 0 V körüli szimmetria miatt nulla.

A központi tendencia további mérőszámai: a medián és a módusz

A korábban látott különböző eszközökön kívül vannak más központi tendencia mérőszámai is, amelyeket főként a statisztikában használnak. Ezek a medián és a módusz.

A medián (X̃)

A legkisebbtől a legnagyobbig rendezett mennyiségi adatok halmazában a medián a központi adatokat, vagy annak a változónak az értékét jelenti, amely az adatsort két részre vagy azonos számú adathalmazra osztja. Ily módon a medián meghatározása, amelyet úgy ábrázolunk, hogy egy hullámvonalat vagy hullámvonalat helyezünk a vizsgált változó szimbóluma fölé (például ṽ jelentheti egy sebességadat-sorozat mediánját), az összes változó számától függ. elérhető adatok.

A mediánt nem feltétlenül számítják ki, hanem egy adathalmazban azonosítják. A medián azonosításához először az összes adatot a legkisebbtől a legnagyobbig kell rendezni, majd sorszámozni őket 1-től kezdve. A következő lépés attól függ, hogy a jelenlévő adatok teljes száma (n) páros vagy páratlan:

Páratlan adatok száma: Ha a sorozat páratlan számú adatot tartalmaz, akkor a medián az (n+1)/2 számmal azonosított adat lesz. Például, ha összesen 15 adatpont van, akkor a medián a (15+1)2=8 adatpont lesz, mivel így 7 adatpont marad a medián alatt és 7 adatpont a medián felett.

Páros adatok száma: Ebben az esetben nincs olyan központi adat, amely a sorozatot két egyenlő részre osztja, így a mediánt a két központi adat, azaz az n/2 számú adat és az adatok számtani középértékeként számítjuk ki. (n/2) +1. Például, ha egy adatsor 24 adatelemet tartalmaz, akkor a medián a 2/2=12 adatelem és a (2/24)+1=13 adatelem egyszerű átlaga lesz.

A medián azt az előnyt kínálja, hogy kevésbé érzékeny a szélsőséges értékekre, mint az átlag. Azonban nem jó mércéje a központi tendenciának, ha az adatok torzak.

Az üzemmód (Mo _X )

A mód egyszerűen az adatkészlet leggyakrabban előforduló értéke vagy kategóriája. Ez valami olyasmi, mint a sorozat „legforróbb” értéke, és a legmagasabb csúcsot jelenti, ha az adatokat hisztogram formájában ábrázoljuk.

Példa különböző átlagok kiszámítására

Tegyük fel, hogy egy fővárosi iskola matematika tagozatán 30 tanuló magasságának megfelelő adatsor áll rendelkezésünkre. Minden magasság méterben értendő.

Ezekből az adatokból határozza meg a) a számtani átlagot; b) a mértani átlag; c) a harmonikus átlag; d) az RMS és e) a medián.

Megoldás

Mivel meg kell határoznunk a mediánt, ehhez pedig az adatok sorrendjét és azonosítását kell végeznünk, ezzel kezdjük, mivel ez általában megkönnyíti a többi számítást:

Most ennek a táblázatnak a segítségével kiszámítjuk az átlagokat, amelyeket ki kell számítanunk. Mindkét esetben egyszerűen a fent bemutatott egyenletek alkalmazásáról van szó:

Számtani átlag

Geometriai átlag

harmonikus átlag

RMS

Középső

Mivel páros számú adatról van szó, a medián a 30/2=15 és a (30/2)+1=16 adatok számtani átlaga lesz, azaz 1,58 és 1,59 közötti átlag:

Hivatkozások

Conthe, M. (2017, július 21.). Számtani vagy geometriai átlag? Terjeszkedés. https://www.expansion.com/blogs/conthe/2017/07/21/un-calculo-poco-armonico.html

Élvezze a matematikát. (2011). Meghatározás: Átlagos . Enjoythemathematics.com. https://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/average.html

Larios, R. (2020, szeptember 9.). Mi az átlag a matematikában? Tanulj otthon II . Jalisco Unió. https://www.unionjalisco.mx/2020/09/09/que-es-el-promedio-en-matematicas-aprende-en-casa-ii/

López, JF (2021, február 2.). geometriai átlag . Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/media-geometrica.html

Matematika, M. (2020, június 25.). átlagok; Számtan; geometriai és harmonikus; tulajdonságok; alkalmazások . Math. https://matematicas.review/promedios-aritmetico-geometrico-y-armonico-propiedades-aplicaciones/

Pérez P., J. és Merino, M. (2011). Az átlag meghatározása . Meghatározása. https://definicion.de/average/

A Nyílt Egyetem. (2020). Alaptudomány: a számok megértése . OpenLearn. Elérhető: https://www.open.edu/openlearn/science-maths-technology/basic-science-understanding-numbers/content-section-overview .