Tabla de Contenidos
Az axiómák olyan állítások sorozata, amelyeket bizonyítási igény nélkül igaznak fogadnak el, és amelyeken a tudomány összes elmélete és tétele alapul. Ezért a valószínűségi axiómák azok az alapvető állítások, amelyeken a valószínűségszámítás alapul . Ezek jelentik azt a végső vonatkoztatási keretet, amelyre a valószínűségszámításban minden létező tételnek logikusan hivatkoznia kell. Ezeket Andrej Nyikolajevics Kolmogorov orosz matematikus feltételezte 1933-ban, és kizárólag a józan észből származnak.
A valószínűségi axiómák célja a valószínűség matematikai fogalmának formalizálása annak biztosítása érdekében, hogy a számszerű értékek, amelyeket valami bekövetkezésének valószínűségéhez rendelünk, összhangban legyenek a valószínűség intuitív fogalmával.
Előzetes meghatározások
A valószínűségszámítás mindössze három axiómán alapul , de mielőtt belemennénk a részletekbe, meg kell állapítanunk néhány alapvető definíciót, valamint néhány konvenciót a valószínűségszámításban használt szimbolika körül:
- Kísérlet. Minden olyan cselekvés vagy folyamat, amely eredményt vagy megfigyelést generál. Például egy érme feldobása egy kísérlet (folyamat vagy cselekvés), amely fejeket vagy farkokat eredményezhet.
- Mintatér ( S ). Egy kísérlet összes lehetséges kimenetelének halmazára utal, és az S szimbólummal jelöljük. A fenti érmefeldobási példában a mintatér csak két eredmény halmazából áll: S ={fejek, farok}.
- Esemény ( E ). Az esemény a mintatér egy részhalmaza, vagyis a kísérlet tetszőleges számú lehetséges kimenetele. Az eseményeket általában nagybetűkkel és alsó indexekkel (például E 1 , E 2 , E 3 , stb.) vagy különböző betűkkel (A, B, C,…) azonosítják. Például egy érme feldobásakor felbukkanó fejjel esemény. A farok közeledése egy másik esemény.
- Valószínűség ( P ): Ez egy numerikus érték, amely egy eseményhez van rendelve, és azt jelzi, hogy az ember milyen bizonyossággal rendelkezik az esemény bekövetkeztével kapcsolatban. Általános szabály, hogy minél biztosabb abban, hogy egy esemény (például E 1 ) bekövetkezik, annál nagyobb valószínűségi értéket rendel az eseményhez.
készletek
Ezeken a definíciókon kívül érdemes megjegyezni néhány halmazokkal kapcsolatos műveletet is. A két halmaz metszéspontja egy új halmazt eredményez, mindkettőben közös elemekkel, ezt a ∩ szimbólum jelöli , és „és”-ként olvasható. Másrészt a két halmaz uniója egy új halmaz, mindkettő közös és nem közös elemével, amelyet a ∪ szimbólum jelöl , és „vagy”-nak kell lennie.
Példa:
- A P(E 1 ∩ E 2 ) kifejezés a következőképpen jelenik meg: „ Az E 1 esemény és az E 2 esemény egyidejű bekövetkezésének valószínűsége”
- A P(E 1 ∪ E 2 ) kifejezés „ E 1 esemény vagy E 2 esemény bekövetkezésének valószínűsége ”
A valószínűség 1. axiómája
A valószínűség első axiómája azt mondja, hogy adott kísérletben bármely esemény bekövetkezésének valószínűsége (E) nemnegatív valós szám kell, hogy legyen. Ezt formálisan a következőképpen fejezik ki:
Az 1. axióma azt az intuitív elképzelést képviseli, hogy értelmetlen negatív valószínűségről beszélni . Alsó korlátként nulla valószínűséget állapít meg, amely lehetetlen eseményhez van hozzárendelve. Ez utóbbi formálisan minden olyan eredményt (vagy eredményhalmazt) értendő, amely nem szerepel a kísérlet mintaterében.
Példa:
Ha csak egyszer dobunk egy kockát, a mintateret csak az S={1, 2, 3, 4, 5, 6} halmaz alkotja. Az első axióma kimondja, hogy bármely eredmény (például 4) elérésének valószínűsége nullánál nagyobb szám kell legyen ( P(4)>0 ). Másrészt annak a valószínűsége, hogy az eredmény 7, ami nem része a mintatérnek, nulla ( P(7)=0 ).
Megjegyzendő, hogy az első axióma nem adja meg a lehetséges események valószínűségének nagyságát, azaz nem mondja meg, hogy mekkora valószínűséggel kell lennie annak, hogy a kockadobás eredménye például a 4. Csak azt határozza meg, hogy valami pozitív szám..
A valószínűség 2. axiómája
A második valószínűségi axióma azt mondja, hogy minden kísérletnél a mintatér valószínűsége 1 , vagy formálisan:
A 2. axióma megértésének egyszerű módja az, hogy annak a valószínűsége, hogy a kísérletben valamilyen eredményt kapunk, bármi legyen is az, 1.
Példa:
Ahogy fentebb említettük, egy érme feldobásakor csak két lehetséges kimenetel lehetséges: fej vagy farok, tehát a 2. axióma szerint 1 annak a valószínűsége, hogy fej vagy farok fog feljönni.
Ha az első axióma a valószínűség alsó korlátját nullára állítja, a második axióma felső korlátját 1-re állítja. Ez azért van, mert a mintatér egy bizonyos esemény, és ennek valószínűsége ezért a lehető legnagyobb valószínűség kell legyen.
3. valószínűségi axióma
Ha az E 1 , E 2 , …, E n eseményeknek nincs közös kimenetele (metszéspontjuk egy üres halmaz), akkor egymást kölcsönösen kizárónak mondjuk, mivel az egyik előfordulása kizárja a másik előfordulását. A harmadik axióma kimondja, hogy az egymást kizáró események egyesülési valószínűsége egyenlő az egyes események valószínűségeinek összegével . Más szavakkal:
Abban a legegyszerűbb esetben, amikor csak két egymást kizáró esemény van (mint egy érmefeldobás esetén), a 3. axióma a következőképpen van megfogalmazva:
Ez az axióma formalizálja azt az elképzelést, hogy minél több lehetséges kimenetele van egy eseménynek, annál valószínűbb. Ez abból a tényből következik, hogy két egymást kizáró esemény egyesülésének definíció szerint tartalmaznia kell mindkét esemény összes kimenetelének összegét.
Az axiómák alkalmazása
A fent említett példákon kívül a három axióma felhasználható a valószínűségszámításban hasznos tételek megalkotására és bizonyítására. Egy egyszerű példa bármely esemény valószínűsége és annak komplementere közötti kapcsolat meghatározása.
Ha E bármely esemény, akkor a komplementere (amelyet E c képvisel ) úgy definiálható, mint az az esemény, hogy E- n kívül bármi bekövetkezik , vagy ami ugyanerre a dologra jön, akkor E nem következik be . Ennek a meghatározásnak két következménye van:
- Hogy E és E c kölcsönösen kizárják egymást.
- E és E c uniója az S mintateret eredményezi ( E ∪ E c = S ).
Mivel ezek kölcsönösen kizárják egymást, a harmadik axióma alapján megvan az
De mivel ez az unió S -t eredményez , akkor
Most a második axióma alkalmazásával ez lesz
amely úgy van átrendezve
Végül, mivel az első axiómából tudjuk , hogy P(E c ) nem negatív mennyiség, arra a következtetésre jutunk, hogy annak a valószínűsége, hogy bármely esemény bekövetkezik, mindig egyenlő lesz 1-gyel mínusz annak a valószínűsége, hogy az esemény nem következik be, és hogy a két valószínűség bármelyikének értékkel kell rendelkeznie a [0, 1] intervallumban.
Források
Devone, JL (1998). Valószínűség és statisztika mérnöki és tudományok számára (4. kiadás). Nemzetközi Thomson Kiadó.
