Tabla de Contenidos
Az egymást kizáró események definíciója többféleképpen adható meg. Először is azt mondjuk, hogy két esemény kölcsönösen kizárja vagy nem diszjunkt, ha az egyik előfordulása kizárja a másik előfordulásának lehetőségét . Ez azt jelenti, hogy olyan eseményekről van szó, amelyek nem következhetnek be egyszerre . Például, ha egy kockával csak egyszer dobunk, a hat lap bármelyikére való landolás eredménye kizárja, hogy a másik öt lap bármelyikén landoljon. Így a 4-es és az mondjuk a 3-as esemény kölcsönösen kizárják egymást, mivel a kocka nem szállhat le egyszerre a 4-re és a 3-ra is.
Másrészt a valószínűség területén azt mondják, hogy két esemény kizárja egymást, amíg nem osztják meg egymással az eredményeket . Ez abból adódik, hogy egy eseményt valószínűleg egy kísérlet lehetséges eredményeinek halmazának tekintünk. Különböző események határozhatók meg, amelyek megosztják vagy nem osztják meg az eredményeket, és azok, amelyek nem osztják meg az eredményeket, kölcsönösen kizárják egymást.
Formálisabb matematikai értelemben és halmazelméleti jelöléssel az A és B események kölcsönösen kizárják egymást, ha metszéspontjuk az üres halmaz , azaz nem metszik egymást. Más szavakkal, A és B kölcsönösen kizárják egymást, amíg A ∩ B = Ø.
Mikor zárja ki két esemény egymást?
Azokban az esetekben, amikor a logika nem mondja meg előre, hogy két esemény kizárja-e egymást, a halmazelmélet és a valószínűség adja a megoldást. Az alábbiakban három egyszerű módszert mutatunk be annak kétségtelenül meghatározására, hogy két esemény mikor zárja ki egymást, vagy ha nem egyezik.
Az egyes halmazok elemeinek megfigyelése
Ha két esemény véges és kis elemhalmazt tartalmaz, nagyon könnyű meghatározni, hogy diszjunktak-e vagy sem, egyszerűen annak ellenőrzésével, hogy tartalmaznak-e közös elemeket vagy sem.
Példa
Tekintsük például a két kocka egyidejű dobásának kísérletét. Most határozzuk meg a következő két eseményt:
- Legyen A az az esemény, hogy a két kocka összege nagyobb vagy egyenlő, mint 10.
- Legyen B az az esemény, amelyben a két kocka összege pontosan 8.
Könnyen meghatározható, hogy az egyes események mely eredményeket tartalmazzák. Az elsőben csak az eredmények (5,5); (5,6) és (6,6) 10-nél nagyobb vagy azzal egyenlő összeget eredményez. Másrészt csak az eredmények (4,4); Az (5,3) és (6,2) 8-as hozamot adnak. Így most felírhatjuk halmazelméleti szimbolikával:
Mivel nincsenek közös elemek, a metszéspont az üres halmaz, így az események kölcsönösen kizárják egymást.
Venn-diagramok segítségével
Egy másik nagyon egyszerű módszer annak meghatározására, hogy két esemény kizárja-e egymást, ha ábrázoljuk őket egy Venn-diagramban. Ezeken a diagramokon a mintateret egy téglalap (vagy más alakzat) ábrázolja, míg az összes eseményt a mintatér belső területeként ábrázoljuk.
A Venn-diagramban az egymást kölcsönösen kizáró események könnyen felismerhetők, mint a téglalap azon területei, amelyek nem érintkeznek vagy nem fedik át egymást.
Az egyesülés valószínűsége szerint
Bizonyos esetekben a fenti két módszer nem alkalmazható. Egy másik módszer annak ellenőrzésére, hogy két esemény kizárja-e egymást, a valószínűségszámítás. Ha ismerjük az egyes események egyedi valószínűségét, azaz P(A) és P(B), valamint az egyik vagy másik esemény bekövetkezésének valószínűségét, azaz P(AUB), akkor tudjuk, hogy két esemény diszjunkt. ha teljesül, hogy:
Egy másik módszer a metszés valószínűsége. Két esemény kölcsönösen kizárja egymást, amíg P(A ∩ B) = 0 .
Példák egymást kizáró eseményekre
Az egyszerű események mindig kizárják egymást
Az egyszerű események azok, amelyek egyetlen eredményt tartalmaznak. Hatoldalas kocka dobásakor az az esemény, hogy feljön 6, egyszerű esemény, mert csak a 6 eredményből áll össze. Másrészt az az esemény, hogy feljön, nem egyszerű, hiszen három eredményből áll, ezek a 2, 4 és 6.
Egy kísérlet minden egyszerű eseménye mindig kizárja egymást.
Példa
Tegyük fel, hogy egy tanulmány meghatározza a kórházban hetente született férfiak számát. Ennek a kísérletnek a mintatér S
Néhány egyszerű esemény a következő lenne:
Mint látható, mivel nem több eredményük van, és mindegyik különbözik, egyik esemény sem oszthat meg elemeket a másikkal, és ezért mindig kizárják egymást.
Dobj három kockával egyszerre
Három kocka egyidejű dobása egy kísérlet, amelynek 36 különböző eredménye lehet, hiszen a kocka sorrendje nem számít: az eredmények (1,2,3); (1,3,2); (2,1,3); (2,3,1); (3,1,2) és (3,2,1) ugyanazt az eredményt jelenti.
Képzelje el, hogy a következő három esemény történik:
- A = esemény, amelyben minden kocka ugyanazt az eredményt adja.
- B = esemény, amelyben csak két kocka adja ugyanazt az eredményt.
- C = esemény, amelyben az összes kocka különböző eredményt ad.
Csak józan ésszel arra a következtetésre juthatunk, hogy A, B és C egymást kizáró események, hiszen ha minden kocka ugyanazt az eredményt adja (A esemény bekövetkezik), akkor lehetetlen, hogy csak kettő legyen egyforma és egy különböző, ill. hogy minden más legyen.
Kártyajáték
Képzeljünk el egy kísérletet, amelyben véletlenszerűen két lapot húznak egy 52 pókerkártya pakliból. Most határozzuk meg a következő eseményeket:
- A = csak piros pontok rajzolódnak ki.
- B = csak fekete pontok rajzolódnak ki.
Ezek az események kölcsönösen kizárják egymást, mivel ha mindkét kártya piros, nem lehet mindkettő fekete és fordítva.
Példák olyan eseményekre, amelyek nem zárják ki egymást
Dobj három kockával egyszerre
Vegyük ugyanazt a három kocka kísérletet, amelyet fent leírtunk, de most határozzuk meg a következő eseményeket:
- A = esemény, ahol minden kocka egyenlő = {(1,1,1); (2,2,2); (3,3,3);…}
- B = esemény, amelyben minden kocka páros = { (2,2,2); (2,2,4); (2,2,6)…}
Az A-n és B-n belüli elemek összehasonlításával könnyen belátható, hogy lesznek egyezések, és hogy A és B metszéspontja:
Mivel a metszéspont nem az üres halmaz, ezért ezek az események nem diszjunktak.
Kártyajáték
Megismételve ugyanazt a kísérletet, amikor két lapot húzunk egy pakliból, vegyük figyelembe a következő új eseményeket:
- A = legalább egy kártya szív.
- B = legalább egy kártya király.
Ebben az esetben, amikor a Szívek Királyát húzzák, A és B egyszerre fordul elő. Valójában nem ez az egyetlen eredmény, ami megtörténik, hiszen ha egy pikkkirályt és egy szívászt húznak, akkor A és B is egyszerre fog bekövetkezni. Ezért A és B nem zárja ki egymást.
Egymást kizáró események jelentősége és alkalmazása
A matematikában a többszörös események valószínűségének kiszámítása nagymértékben függ attól, hogy ezek kölcsönösen kizárják-e egymást. Például a valószínűség egyik axiómája kimondja, hogy több esemény egyesülési valószínűsége akkor és csak akkor egyenlő az egyes események egyéni valószínűségének összegével , ha az összes esemény kizárja egymást . Más szavakkal,
Csak akkor, ha A és B diszjunkt vagy egymást kizáró események.
Ha nem zárják ki egymást, akkor a valószínűségek összege a két esemény közös kimenetelének, azaz a metszés valószínűségének kétszeresét számolja. Emiatt ezekben az esetekben az egyesülési valószínűséget más módon számítják ki:
Három egymást nem kizáró és egymást is metsző esemény, A, B és C esetében a dolgok még bonyolultabbak:
Ebben az esetben a három esemény metszéspontjának valószínűségét, P( A ∩ B ∩ C) kell utoljára összeadni, mivel azt háromszor vontuk ki a különböző eseménypárok metszéspontjainak kivonásával.
