वास्तविक संख्याएँ क्या हैं?

संख्याओं के अलग-अलग गुण होते हैं और इन्हें विभिन्न समूहों में वर्गीकृत किया जा सकता है। इनमें से एक समूह, गणित की विभिन्न शाखाओं में व्यापक अनुप्रयोगों के साथ, वास्तविक संख्याएँ हैं। उन्हें बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए पहले देखें कि विभिन्न प्रकार की संख्याएँ क्या हैं।

संख्या

संख्याओं के बारे में पहली चीज़ जो हम सीखते हैं वह यह है कि उन्हें गिनने के लिए कैसे उपयोग किया जाए; हम सरल ऑपरेशन करने के लिए उन्हें अपनी उंगलियों से मिलान करके शुरू करते हैं। इस प्रकार हमारी दसों अंगुलियां दशमलव प्रणाली का आधार हैं। वहां से हम मात्राओं को जितना बड़ा हो सके गिनते हैं और ध्यान दें कि संख्याएं अनंत हैं। और इसलिए, शून्य (0) जोड़ने पर जब हमारे पास गिनने के लिए कुछ नहीं होता है, तो प्राकृत संख्याएँ बनती हैं।

प्राकृतिक संख्याओं के साथ हम अंकगणितीय संक्रियाएँ करते हैं और जब हम किसी संख्या में से दूसरी संख्या घटाते हैं, तो हमें ऋणात्मक संख्याओं का परिचय देना पड़ता है। इसलिए, प्राकृतिक संख्याओं में ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ने पर, हम पूर्णांकों का समुच्चय प्राप्त करते हैं।

संख्याओं के साथ हम जो अंकगणितीय संक्रियाएँ करते हैं उनमें विभाजन है। और हम पाते हैं कि ऐसे मामले हैं जिनमें एक संख्या को दूसरे से विभाजित करने पर, परिणाम पूर्णांक नहीं होता है; कई मामलों में, इस विभाजन परिणाम को केवल विभाजन अभिव्यक्ति द्वारा ही सटीक रूप से दर्शाया जा सकता है, जो कि एक अंश है। इस प्रकार से परिमेय संख्याओं के समुच्चय का निर्माण होता है, जिसमें सभी संख्याओं को भिन्न के रूप में लिखा जाता है और पूर्णांकों में भाजक के रूप में संख्या 1 होती है।

यह प्राचीन सभ्यताएँ थीं जिन्होंने देखा कि ऐसी संख्याएँ थीं जिन्हें भिन्नों के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता था। ज्यामितीय आकृतियों के साथ काम करते समय, उन्होंने संख्या पाई पाई, त्रिज्या और एक वृत्त की लंबाई के बीच का संबंध, एक संख्या जिसे दो पूर्णांकों के बीच भागफल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। यह संख्या 2 के वर्गमूल का भी मामला है (अर्थात, वह संख्या जिसे स्वयं से गुणा करने पर परिणाम 2 प्राप्त होगा)। और कई संख्याएँ हैं जो ज्ञान की विभिन्न शाखाओं में उभरती हैं जो परिमेय संख्याओं के समुच्चय का हिस्सा नहीं हैं। ये संख्याएँ, जिन्हें दो पूर्ण संख्याओं के भागफल के रूप में सटीक रूप से प्रदर्शित नहीं किया जा सकता, अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं। परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय से वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बनता है।

वास्तविक संख्याएँ संख्याओं के एक और भी बड़े समूह का हिस्सा हैं: जटिल संख्याएँ। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का यह विस्तार तब होता है जब हम एक ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल की गणना करना चाहते हैं; चूँकि दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो स्वयं से गुणा करने पर ऋणात्मक हो। तब काल्पनिक संख्या i परिभाषित की जाती है , जो -1 के वर्गमूल का प्रतिनिधित्व करती है, और जटिल संख्याओं का समूह उत्पन्न होता है।

दशमलव प्रतिनिधित्व

सभी संख्याएँ दशमलव रूप में व्यक्त की जा सकती हैं; उदाहरण के लिए, परिमेय संख्या 1/2 को दशमलव रूप में 0.5 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। परिमेय संख्या 1/2 के विपरीत, जिसे केवल एक दशमलव स्थान द्वारा दर्शाया जा सकता है, अन्य परिमेय संख्याओं में दशमलव स्थानों की अनंत संख्या होती है और नहींउन्हें बिल्कुल दशमलव प्रतिनिधित्व के साथ व्यक्त किया जा सकता है। यह संख्या 1/3 की स्थिति है; इसका दशमलव निरूपण 0.33333… है, जिसमें अनंत संख्या में दशमलव स्थान हैं। इन परिमेय संख्याओं को आवधिक दशमलव संख्याएँ कहा जाता है, क्योंकि सभी मामलों में संख्याओं का एक क्रम होता है जो कई बार असीम रूप से दोहराया जाता है। संख्या 1/3 के मामले में वह क्रम 3 है; संख्या 1/7 के मामले में, इसका दशमलव रूप 0.1428571428571… है, और अनंत रूप से दोहराया जाने वाला क्रम 142857 है। अपरिमेय संख्या आवधिक दशमलव संख्या नहीं हैं; ऐसा कोई क्रम नहीं है जो इसके दशमलव निरूपण में कई बार असीम रूप से दोहराया गया हो।

दृश्य प्रतिनिधित्व

वास्तविक संख्याओं को उनमें से प्रत्येक को एक सीधी रेखा के साथ अपरिमित रूप से कई बिंदुओं में जोड़कर देखा जा सकता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इस ग्राफिक प्रतिनिधित्व में संख्या पाई स्थित है, जिसका मान लगभग 3.1416 है, संख्या ई , जो लगभग 2.7183 है, और संख्या 2 का वर्गमूल लगभग 1.4142 है। संख्या 0 से दाईं ओर धनात्मक वास्तविक संख्याएँ बढ़ते हुए रूप में स्थित हैं, और बाईं ओर ऋणात्मक संख्याएँ उस दिशा में अपना निरपेक्ष मान बढ़ा रही हैं।

वास्तविक संख्या के कुछ गुण

वास्तविक संख्याएँ पूर्णांकों या परिमेय संख्याओं की तरह व्यवहार करती हैं, जिनसे हम अधिक परिचित हैं। हम उन्हें एक ही तरह से जोड़, घटा, गुणा और भाग कर सकते हैं; एकमात्र अपवाद संख्या 0 से विभाजन है, एक संक्रिया जो संभव नहीं है। परिवर्धन और गुणन का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है, क्योंकि क्रमविनिमेय संपत्ति अभी भी बनी हुई है, और वितरण संपत्ति उसी तरह लागू होती है। उसी तरह, दो वास्तविक संख्याएँ x और y एक अनोखे तरीके से क्रमबद्ध हैं, और निम्न में से केवल एक संबंध सही है:

एक्स = वाई , एक्स < वाई या एक्स > वाई

वास्तविक संख्याएँ अनंत हैं, जैसे पूर्णांक और परिमेय संख्याएँ। सिद्धांत रूप में यह स्पष्ट है क्योंकि पूर्णांक और परिमेय दोनों ही वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय हैं। लेकिन एक अंतर है: पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं के मामले में यह कहा जाता है कि वे गणनीय रूप से अनंत संख्याएँ हैं; इसके बजाय, वास्तविक संख्याएँ अनंत असंख्य हैं।

एक सेट को गणनीय या गणनीय कहा जाता है जब इसके प्रत्येक घटक को प्राकृतिक संख्या से जोड़ा जा सकता है। पूर्णांकों के मामले में संघ स्पष्ट है; परिमेय संख्याओं के मामले में इसे प्राकृतिक संख्याओं के जोड़े, अंश और हर के साथ संबंध के रूप में देखा जा सकता है। लेकिन वास्तविक संख्या के मामले में यह जुड़ाव संभव नहीं है।

सूत्रों का कहना है

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