उत्प्लावक बल या उत्प्लावन बल क्या है? आर्किमिडीज का सिद्धांत

उत्प्लावक बल, उत्प्लावक बल या उत्प्लावक बल, एक बल है जो गुरुत्वाकर्षण के विपरीत दिशा में इंगित करता है और जो किसी भी ठोस पर कार्य करता है जो आंशिक रूप से या पूरी तरह से द्रव में डूबा हुआ है, चाहे वह तरल या गैस हो। तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में ग्रीक गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और इंजीनियर आर्किमिडीज द्वारा पहली बार इस बल की खोज और विशेषता की गई थी और, जैसा कि कहानी जाती है, यूरेका के प्रसिद्ध रोने का कारण था ! यह उपरोक्त यूनानी विद्वान की विशेषता है।

यद्यपि उनके पास एक ही मूल नहीं है, हम उत्प्लावक बल के बारे में सोच सकते हैं क्योंकि तरल पदार्थ और अन्य तरल पदार्थ उन निकायों पर सामान्य बल लगाते हैं जिनके साथ वे संपर्क में आते हैं।

यूरेका! और आर्किमिडीज का सिद्धांत

रोमन वास्तुकार विटरुवियस के खाते के अनुसार, उत्प्लावक बल की खोज आर्किमिडीज़ ने तब की थी जब वह बाथटब में थे। आर्किमिडीज़ को सिरैक्यूज़ के राजा हिरोन द्वारा यह निर्धारित करने के लिए नियुक्त किया गया था कि क्या उन्होंने अपने सुनार से जो मुकुट बनवाया था, वह शुद्ध सोने का बना था, या इसके विपरीत, सोने को चांदी या किसी अन्य कम मूल्यवान धातु के साथ जोड़कर उसे धोखा दिया गया था।

जाहिरा तौर पर, आर्किमिडीज़ ने इस बारे में बहुत सोचा कि कैसे इस समस्या को हल करने में सक्षम होने के बिना, एक दिन तक, जब वह बाथटब में उतर रहे थे, उन्होंने देखा कि पानी में डूबने पर, उनके शरीर ने तरल का हिस्सा विस्थापित कर दिया, जिससे यह नाले के किनारे गिर जाता है। फिर वह आर्किमिडीज़ के सिद्धांत के रूप में आज हम जानते हैं: पानी (या किसी अन्य तरल) में एक शरीर को डुबोते समय, यह एक धक्का बल महसूस करेगा जो विस्थापित पानी की मात्रा के बराबर राशि से अपना वजन कम कर देगा।

शरीर के मूल वजन और पानी में डूबे हुए शरीर के वजन के बीच का अंतर उत्प्लावक बल या उत्प्लावक बल से मेल खाता है। आर्किमिडीज़ के सिद्धांत को समीकरण के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

जहाँ B उत्प्लावक बल का प्रतिनिधित्व करता है (कुछ ग्रंथों में इसे F _B के रूप में दर्शाया गया है ) और W _f जलमग्न शरीर द्वारा विस्थापित द्रव के भार से मेल खाता है।

आर्किमिडीज जानते थे कि सोना किसी भी अन्य धातु की तुलना में एक भारी (सघन) धातु है जिसका उपयोग सुनार मुकुट बनाने के लिए कर सकते हैं, इसलिए यदि मुकुट ठोस शुद्ध सोने से बना होता है, तो उसे पानी के समान द्रव्यमान को किसी अन्य ठोस सोने के रूप में विस्थापित करना होगा। समान द्रव्यमान की वस्तु, इसलिए उत्प्लावक बल द्वारा कम किया गया स्पष्ट वजन या वजन मुकुट और नियंत्रण वस्तु के लिए समान होना चाहिए।

दूसरी ओर, अगर सोने को चांदी या किसी अन्य धातु के साथ मिलाया जाता है, तो कम घने होने के कारण, इसे पानी की अधिक मात्रा (और इसलिए वजन) को विस्थापित करना चाहिए, इस प्रकार नियंत्रण वस्तु की तुलना में कम स्पष्ट वजन प्राप्त होता है ( चूँकि उछाल बल अधिक होगा)।

विटरुवियस के वृत्तांत के अनुसार, आर्किमिडीज़ समस्या के समाधान से इतने प्रभावित हुए कि वह सिरैक्यूज़ की सड़कों से होते हुए अपने स्नान से निकलकर यूरेका चिल्लाते हुए राजा के महल की ओर भागे ! यूरेका! (जिसका अर्थ है “मिल गया! समझ गया!”) बिना यह जाने कि वह पूरी तरह नग्न था।

आर्किमिडीज के सिद्धांत की व्याख्या

न्यूटन के नियमों के संदर्भ में आर्किमिडीज के सिद्धांत को आसानी से समझाया जा सकता है। ऊपर दिखाए गए आर्किमिडीयन सिद्धांत समीकरण का रूप यह साबित करता है कि उत्प्लावक बल जलमग्न वस्तु की विशेषताओं से स्वतंत्र है क्योंकि यह केवल विस्थापित द्रव (वस्तु नहीं) के द्रव्यमान पर निर्भर करता है। यानी यह शरीर की संरचना, घनत्व या आकार पर निर्भर नहीं करता है।

इसलिए, उदहारण के लिए, लकड़ी के एक घन द्वारा महसूस किया गया उत्प्लावन बल वही होना चाहिए जो उसी द्रव से बने घन द्वारा महसूस किया जाता है। अब, यदि हम एक ही तरल पदार्थ से बने घन की कल्पना करते हैं और जो जलमग्न है, जैसा कि निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है, तो यह स्पष्ट है कि यह तरल के साथ यांत्रिक संतुलन में होगा जो इसे घेरे हुए है (अन्यथा हम पानी की धाराएँ देखेंगे अनायास किसी भी गिलास पानी में बनता है)। न्यूटन के पहले नियम के अनुसार, किसी पिंड के यांत्रिक संतुलन में होने का एकमात्र तरीका है (अर्थात् स्थिर अवस्था में या स्थिर वेग से गतिमान) यदि कोई शुद्ध बल उस पर कार्य नहीं करता है। यह तभी हो सकता है जब पिंड पर कोई बल कार्य नहीं कर रहा हो या यदि सभी बल एक दूसरे को रद्द कर देते हैं (उनका सदिश योग शून्य है)।

चूंकि हम जानते हैं कि द्रव के ब्लॉक में द्रव्यमान होता है, इसलिए इसे गुरुत्वाकर्षण बल को महसूस करना चाहिए, इसलिए इसके संतुलन में रहने का एकमात्र तरीका यह है कि ब्लॉक पर कोई अन्य बल कार्य कर रहा है जो इसे विपरीत दिशा में धकेलता है। यह बल आर्किमिडीज़ द्वारा प्रस्तावित उत्प्लावक बल होना चाहिए।

इसलिए, चूंकि तरल पदार्थ के हमारे काल्पनिक ब्लॉक पर काम करने वाली केवल दो ताकतें इसका वजन और उत्प्लावक बल हैं, इनका परिमाण समान होना चाहिए और विपरीत दिशाओं में निर्देशित होना चाहिए, इसलिए द्रव के ब्लॉक पर उत्प्लावक बल इसके वजन के बराबर होता है और इशारा करता है। अब, चूंकि यह बल वस्तु की विशेषताओं से स्वतंत्र है, यदि हम द्रव के ब्लॉक को उसी आकार और आकार के किसी अन्य सामग्री के ब्लॉक से प्रतिस्थापित करते हैं, तो नए ब्लॉक द्वारा महसूस किया जाने वाला उत्प्लावक बल ठीक वैसा ही होना चाहिए जैसा कि तरल पदार्थ के ब्लॉक द्वारा महसूस किया गया कि हमें दूसरे ब्लॉक को उसके स्थान पर रखने के लिए जगह बनाने के लिए हटाना पड़ा, और यह बल इस विस्थापित द्रव के वजन के बराबर है।

उत्प्लावक बल की उत्पत्ति

उत्प्लावक बल हाइड्रोस्टेटिक दबाव में वृद्धि के कारण उत्पन्न होता है क्योंकि हम एक द्रव में डूबे होते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक तरल पदार्थ में नीचे की ओर बढ़ने से हमारे ऊपर तरल पदार्थ के स्तंभ की ऊंचाई (और इसलिए द्रव्यमान) बढ़ जाती है, इसलिए दबाव गहराई के साथ लगभग रैखिक रूप से बढ़ जाता है (कम से कम गैर-संपीड़ित तरल पदार्थों के मामले में)।

दबाव प्रति इकाई क्षेत्र बल है और यह शरीर और द्रव के बीच संपर्क सतह पर लंबवत लगाया जाता है। इसका मतलब यह है कि जलमग्न शरीर की सतह का प्रत्येक भाग एक दबाव महसूस कर रहा है जो इसे सभी दिशाओं से कुचलने की कोशिश करता है। जैसा कि हम नीचे देखेंगे, यह कुचलने वाला बल सतह के निकटतम भाग की तुलना में जलमग्न शरीर के तल पर अधिक होता है।

यह देखने के लिए कि यह उत्प्लावक बल कैसे उत्पन्न करता है, निम्न आकृति पर विचार करें जो किसी भी तरल पदार्थ में डूबे हुए घन के आकार के ब्लॉक को दर्शाता है। विश्लेषण को सरल बनाने के लिए, हम मान लेंगे कि ऊपर और नीचे के ढक्कन पानी की सतह के समानांतर हैं (अर्थात, वे ऊर्ध्वाधर के लंबवत हैं) और यह कि चार पार्श्व कैप पहले के लंबवत हैं।

चूंकि दबाव सतह पर लंबवत बल लगाता है, इसलिए छह अलग-अलग परिणामी बल होंगे जो क्यूब के छह चेहरों में से प्रत्येक पर एक को धकेलेंगे। चूंकि पार्श्व फलक लंबवत होते हैं, उन पर दबाव से उत्पन्न बल तरल की सतह के समानांतर होंगे और इसलिए उत्प्लावक बल में योगदान नहीं करते हैं जो ऊर्ध्वाधर होना चाहिए (जैसा कि हमने ऊपर देखा)। इसलिए हमें केवल ऊपर और नीचे की टोपी पर बलों पर विचार करने की जरूरत है। ऊपरी चेहरे पर दबाव शरीर को नीचे धकेलता है, जबकि निचले चेहरे पर दबाव ऊपर की ओर धकेलता है।

अब, ऊपरी फलक पर दबाव की तुलना करते समय, हम यह सत्यापित कर सकते हैं कि यह निचले फलक की तुलना में कम गहराई पर है। चूंकि दबाव गहराई के समानुपाती होता है, तो ऊपर के चेहरे पर दबाव नीचे के चेहरे द्वारा महसूस किए गए दबाव से कम होना चाहिए। अंत में, चूँकि दोनों चेहरों का क्षेत्रफल समान है, तो दोनों चेहरों पर दबाव द्वारा लगाया गया सापेक्ष बल केवल दबाव पर निर्भर करेगा और हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि शरीर ऊपर से नीचे से अधिक धक्का बल महसूस करता है। इन दो बलों का सदिश योग एक परिणाम देता है जो ऊपर की ओर इंगित करता है और जो उत्प्लावक बल से मेल खाता है।

इस तथ्य के बावजूद कि हमने एक बहुत ही सरल आकृति वाले पिंड पर विश्लेषण किया था, इसी तर्क को किसी भी आकार के किसी भी पिंड पर लागू किया जा सकता है।

उत्प्लावक बल कहाँ कार्य करता है?

जैसा कि हमने अभी देखा है, उत्प्लावक बल वास्तव में जलमग्न पिंड की सतह पर डाले गए दबाव का परिणाम है। हालाँकि, जिस तरह वजन प्रत्येक कण द्वारा महसूस किए गए आकर्षक बल का योग है जो एक पिंड बनाता है और फिर भी, हम गुरुत्वाकर्षण के केंद्र पर कार्य करने वाले एकल सदिश के माध्यम से वजन का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, वही हम कर सकते हैं उछाल बल।

लेकिन हम इस बल को कहाँ रखते हैं?

इसका उत्तर फिर से न्यूटन के नियमों से मिलता है। एक तरल पर आराम से तैरते हुए शरीर के यांत्रिक संतुलन का तात्पर्य न केवल शुद्ध बल शून्य है, बल्कि यह भी है कि कोई टोक़ या घुमाव बल नहीं है, क्योंकि शरीर घूर्णन नहीं कर रहा है। नतीजतन, उत्प्लावक बल को न केवल वजन का प्रतिकार करना चाहिए ताकि शरीर ऊपर या नीचे गति न करे, बल्कि उसे वजन की कार्रवाई की एक ही रेखा पर भी कार्य करना चाहिए। इस कारण से, हम मान सकते हैं कि उत्प्लावक बल द्रव्यमान के केंद्र पर भी कार्य करता है।

उत्प्लावक बल सूत्र

यद्यपि उत्प्लावक बल का मूल समीकरण वही है जो आर्किमिडीज़ द्वारा प्रस्तावित किया गया था, इसे अन्य उपयोगी व्यंजकों को प्राप्त करने के लिए विभिन्न तरीकों से जोड़-तोड़ किया जा सकता है।

सबसे पहले, न्यूटन के दूसरे नियम से, हम जानते हैं कि विस्थापित द्रव का भार उसके द्रव्यमान के गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (W=mg) के गुणनफल के बराबर होता है। इसके अलावा, हम यह भी जानते हैं कि द्रव्यमान घनत्व के माध्यम से आयतन से संबंधित है। पिछले सूत्र के साथ इन सूत्रों का संयोजन निम्नलिखित परिणाम देता है:

जहाँ m _f विस्थापित द्रव के द्रव्यमान का प्रतिनिधित्व करता है, g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है, ρ _f द्रव का घनत्व है, और V _f विस्थापित द्रव का आयतन है।

इसके अलावा, हम तरल पदार्थ में डूबे हुए शरीर के स्पष्ट वजन के कार्य के रूप में उत्प्लावक बल को भी व्यक्त कर सकते हैं:

जहाँ W _{वास्तविक} जलमग्न पिंड का वास्तविक भार है जो हवा में उसके भार के लगभग बराबर होता है जबकि W _{स्पष्ट} वह कम भार है जिसे हम जलमग्न होने पर शरीर को उठाने की कोशिश करते समय महसूस करेंगे।

दूसरी ओर, समीकरण 3 को जलमग्न पिंड के आयतन के फलन के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, क्योंकि द्रव का विस्थापित आयतन जलमग्न शरीर के अंश के आयतन के बराबर होना चाहिए। यह दो अलग-अलग मामलों को जन्म देता है:

पूरी तरह से जलमग्न पिंडों पर उत्प्लावक बल

यदि V _o आयतन का एक पिंड पूरी तरह से जलमग्न है, तो तरल का विस्थापित आयतन पिंड के आयतन के बराबर होगा। इस प्रकार, समीकरण 3 बना रहता है:

आंशिक रूप से जलमग्न पिंडों पर उत्प्लावक बल

यदि, इसके विपरीत, शरीर का केवल एक अंश जलमग्न है, तो विस्थापित द्रव का आयतन शरीर के आयतन के उस भाग के बराबर होगा जो जलमग्न है ( V s ₎ :

तैरते हुए पिंडों के लिए सूत्र

अंत में, हमारे पास एक विशेष मामला है जिसमें एक पिंड द्रव की सतह पर तैरता है, केवल उत्प्लावक बल द्वारा समर्थित होता है। इस मामले में, हम कह सकते हैं कि पिंड का आभासी भार शून्य है और इसलिए उत्प्लावन बल वास्तव में पिंड के वास्तविक भार के बराबर है (एक निष्कर्ष जिसे हम आरेख पर बलों के सरल विश्लेषण द्वारा भी पहुंचा सकते थे) ) मुक्त शरीर)। इस मामले में, शरीर के आयतन का केवल एक हिस्सा जलमग्न होता है, इसलिए समीकरण 5 भी लागू होता है।

तो, इसे शरीर के वजन के फॉर्मूले के साथ जोड़कर, हम निम्नलिखित समीकरण पर पहुँच सकते हैं:

जहां ρ _c शरीर का घनत्व है और अन्य चर पहले जैसे ही हैं। यह समीकरण किसी भी तैरते पिंड के जलमग्न अंश को उसके घनत्व और उस तरल पदार्थ के बीच के संबंध से आसानी से खोजना संभव बनाता है जिसमें वह तैरता है।

उछाल बल के साथ गणना के उदाहरण

उदाहरण 1: आइसबर्ग या आइस फ्लो

अभिव्यक्ति “सिर्फ हिमखंड का सिरा” इस तथ्य को संदर्भित करता है कि एक हिमखंड का वह हिस्सा जिसे हम पानी की सतह के ऊपर देख सकते हैं, हिमखंड के कुल द्रव्यमान का एक छोटा सा अंश है। लेकिन यह अंश वास्तव में कितना है? हम इसकी गणना समीकरण 6 से कर सकते हैं। हमें जो अतिरिक्त जानकारी चाहिए वह यह है कि 0 °C पर बर्फ का घनत्व 0.920 g/mL है और समुद्री जल का घनत्व लगभग 1.025 g/mL है क्योंकि यह खारे, ठंडे पानी के बारे में है जो उससे अधिक सघन है। शुद्ध पानी।

आंकड़े:

ρ _c = 0.920 g/mL

ρ _f = 1.025 g/एमएल

बर्फ का वह भाग जो बाहर निकला हो = ?

समाधान:

समीकरण 7 से हमारे पास वह है:

याद रखें कि यह एक तैरते हुए पिंड के आयतन का अंश है जो जलमग्न है, इसलिए यह परिणाम इंगित करता है कि हिमशैल के आयतन का 89.76% पानी के नीचे है। साथ ही, इसका तात्पर्य यह है कि हम सतह पर केवल 10.24% ही देखते हैं।

उदाहरण 2: हिरोन का ताज

मान लीजिए कि आर्किमिडीज़ राजा हिरोन का मुकुट लेकर उसे हवा में तौलते हैं, इस प्रकार 7.45 N का वजन प्राप्त करते हैं। फिर वह मुकुट को एक पतले धागे से बाँध देता है और इसे पानी (घनत्व 1.00 g/mL) में डुबो देता है, जबकि वजन को एक पैमाने के साथ रिकॉर्ड करता है। अब 6.86 N पढ़ता है। यह जानते हुए कि सोने का घनत्व 19.30 g/mL है और चांदी का घनत्व 10.49 g/mL है, क्या सुनार ने राजा हिरोन को धोखा दिया होगा?

आंकड़े:

वाक्चुअल = 7.45N

वापेरेंट = 6.86 एन

ρ _f = 1.00 g/mL

ρ _सोना = 19.30 ग्राम/एमएल

ρ _{चाँदी} = 10.49 g/mL

ρ _ताज = ?

समाधान:

घनत्व किसी पदार्थ का एक गहन और चारित्रिक गुण है, इसलिए इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें क्या करने की आवश्यकता है, कोरोना के घनत्व का निर्धारण करना है। यदि ताज ठोस सोने से बना है, तो उसमें सोने का घनत्व समान होना चाहिए। अन्यथा, और यदि सामग्री को चांदी के साथ मिलाया जाता है, तो मुकुट का घनत्व बहुत कम होगा।

दूसरी ओर, हमारे पास वास्तविक वजन और स्पष्ट वजन है। इसके अलावा, हम जानते हैं कि स्पष्ट वजन निर्धारित होने पर मुकुट पूरी तरह से पानी में डूब जाता है, इसलिए हम समीकरण 4 और 5 का उपयोग कर सकते हैं। इन्हें शरीर के आयतन के कार्य के रूप में वास्तविक वजन के समीकरणों के साथ भी जोड़ा जा सकता है। और उसका घनत्व…

आइए उछाल बल का निर्धारण करके शुरू करें:

फिर, चूंकि ताज पूरी तरह से जलमग्न है, हमारे पास यह है कि उछाल बल बराबर है:

इस समीकरण को ताज घनत्व समीकरण और न्यूटन के दूसरे नियम से प्राप्त भार समीकरण के साथ जोड़ा जा सकता है:

निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करने के लिए:

फिर, ताज के घनत्व को खोजने के लिए समीकरण को हल करना, हमारे पास है:

यह देखते हुए कि सोने का घनत्व 19.30 g/mL है, यह स्पष्ट है कि राजा को मूर्ख बनाया गया है। या तो मुकुट खोखला है, या वह शुद्ध सोने का नहीं है।

उदाहरण 3: आंशिक रूप से जलमग्न घन

^{2.0 सेमी 3} आयतन वाला एक घन पानी में आधा डूबा हुआ है। घन द्वारा अनुभव किया जाने वाला उत्प्लावक बल क्या है?

आंकड़े

वी ₀ = 2.0 सेमी ³

वी _एस = ½ वी ₀

ρ _f = 1.00 g/mL

बी = ?

समाधान:

हमारे पास द्रव का घनत्व है क्योंकि हम जानते हैं कि यह पानी है और पानी का घनत्व 1.00 ग्राम/सेमी ³ है । इसके अलावा, वे हमें घन के आयतन के साथ-साथ उसके डूबे हुए अंश को भी प्रदान करते हैं, इसलिए हम समीकरण 5 को सीधे लागू कर सकते हैं। हालाँकि, हमें यह विचार करना चाहिए कि, चूंकि हम एक बल की गणना कर रहे हैं, यदि हम N में परिणाम चाहते हैं, तो हमें कुछ इकाई रूपांतरण करने होंगे:

इसलिए उत्प्लावक बल 0.0098 N होगा।

उदाहरण 4: एक अज्ञात घन

2.0 सेमी3 आयतन वाला एक घन पानी पर ^{तैरता है} , इसकी मात्रा का एक चौथाई सतह के ऊपर छोड़ता है। घन का घनत्व कितना होता है?

आंकड़े:

वी ₀ = 2.0 सेमी ³

V _{सतह के ऊपर} = ¼ V ₀

ρ _f = 1.00 g/mL

ρ _घन = ?

समाधान:

फिर से, हमारे पास द्रव का घनत्व है क्योंकि हम जानते हैं कि यह पानी है। इस मामले में वे हमें उस मात्रा का अंश प्रदान करते हैं जो फैला हुआ है, लेकिन जिसकी हमें आवश्यकता है वह जलमग्न है, जो कि V ₀ का ¾ है । अंत में, वे हमें बताते हैं कि घन मुक्त रूप से तैरता है, इसलिए हम सीधे समीकरण 6 लागू कर सकते हैं:

इस प्रकार, हम जानते हैं कि घन का घनत्व 0.750 g/cm3 ^है ।

संदर्भ

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