एक अभाज्य संख्या को यादृच्छिक रूप से चुनने की प्रायिकता क्या है?

गणित में, पूर्णांकों का अध्ययन करते समय अभाज्य संख्याएँ सामान्य विषयों में से एक हैं। चूँकि अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं, उनके साथ अभ्यास करने के लिए एक दिलचस्प अभ्यास यह पता लगाना है कि क्या संभावना है कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई 1 से X तक की संख्या एक अभाज्य संख्या है।

अभाज्य संख्याएँ क्या होती हैं

अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो केवल 1 से और स्वयं से, यानी प्रश्नगत संख्या से विभाज्य होती हैं। इसका मतलब यह है कि जब किसी अन्य संख्या से विभाजित किया जाता है, तो परिणाम पूर्णांक नहीं देता है। यह भी माना जाता है कि अनंत संख्या में अभाज्य संख्याएँ होती हैं।

अभाज्य संख्याओं के विपरीत, मिश्रित संख्याएँ वे होती हैं जिन्हें 1 से, स्वयं से और अन्य संख्याओं से विभाजित किया जा सकता है।

संख्या 1 को अभाज्य संख्या नहीं माना जाता है, न ही यह एक भाज्य संख्या है।

अभाज्य संख्याएँ और एराटोस्थनीज छलनी

सभी अभाज्य संख्याओं को जल्दी से खोजने के लिए, यूनानी गणितज्ञ एराटोस्थनीज (तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) ने एक निश्चित संख्या तक सभी अभाज्य संख्याओं को प्राप्त करने का एक त्वरित तरीका बनाया। इस विधि को “एराटोस्थनीज छलनी” के रूप में जाना जाता है।

एराटोस्थनीज छलनी एक एल्गोरिथ्म है जो किसी दिए गए प्राकृतिक संख्या से छोटी सभी अभाज्य संख्याओं को जानने की अनुमति देता है। ऐसा करने के लिए, 2 और चुनी हुई संख्या (n) के बीच सभी प्राकृतिक संख्याओं के साथ एक तालिका बनाई जाती है। इस उदाहरण में, n 100 है।

फिर, जो संख्याएँ अभाज्य नहीं हैं, उन्हें काट दिया जाता है। पहले, 2 से शुरू करें और इसके सभी गुणजों को काट दें। जब एक अपरिष्कृत संख्या पाई जाती है, तो उसके सभी गुणकों को काट दिया जाता है, और इसी तरह। यह प्रक्रिया तब समाप्त होती है जब अभाज्य के रूप में पुष्टि की गई अगली संख्या का वर्ग प्राप्त होता है जो “n” से अधिक होता है।

एराटोस्थनीज छलनी का उपयोग करके हम 0 और 100 के बीच 25 अभाज्य संख्याएँ प्राप्त करेंगे: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 , 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97।

अभाज्य संख्याओं के अन्य उदाहरण

100 और 1000 के बीच अभाज्य संख्याओं के अन्य उदाहरण हैं: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 , 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349 , 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499 , 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659 , 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829 , 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 और 997।

अभाज्य संख्या समस्या

जैसा कि गणित में लगभग हमेशा होता है, यह समझने का सबसे अच्छा तरीका है कि अभाज्य संख्याओं की गणना कैसे की जाती है, समस्याओं को हल करना है। आइए अब यह जानने के लिए एक साधारण समस्या देखते हैं कि हम किस प्रायिकता के साथ एक अभाज्य संख्या का चयन कर सकते हैं।

सबसे पहले, हम एक निश्चित संख्या X तक एक सकारात्मक पूर्णांक चुनेंगे, जो 1, 2, 3, आदि हो सकते हैं। फिर, हमें इनमें से किसी एक संख्या को यादृच्छिक रूप से चुनना होगा। इसका मतलब है कि सभी एक्स नंबरों के चुने जाने की संभावना है।

संख्या X के लिए इस समस्या का समाधान सरल है जो निम्न हैं। इन चरणों का पालन करने से समस्या हल हो जाती है:

• पहला कदम:
  • उन अभाज्य संख्याओं की गणना करें जो X से कम या उसके बराबर हैं।
• दूसरा कदम:
  • X से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या को स्वयं X से विभाजित करें। अर्थात, यदि हम 1 से 10 तक एक निश्चित अभाज्य संख्या को चुनने की संभावना जानना चाहते हैं, तो हमें अभाज्य संख्याओं की संख्या को 10 से विभाजित करना होगा।

उदाहरण के लिए, प्रायिकता ज्ञात करने के लिए कि 1 से 10 में से एक अभाज्य संख्या का चयन किया गया है, हमें अभाज्य संख्या को 10 से विभाजित करना होगा। नंबर प्राइम है: 4/10 = 0.4, यानी 40%।

इसी तरह, अगर हम जानना चाहते हैं कि क्या संभावनाएं हैं कि 1 से 50 तक की अभाज्य संख्या का चयन किया जाता है, तो पिछले चरणों को पूरा किया जा सकता है। हम 50 से कम अभाज्य संख्याओं की गणना करते हैं, जो 15: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 और 47 हैं। और हम इस राशि को विभाजित करते हैं। 50: 15 /50 = 0.3, यानी 30%। इसलिए, 1 से 50 तक अभाज्य संख्या चुनने की 30% संभावना है।

अभाज्य संख्या प्रमेय क्या है

एक निश्चित संख्या तक अभाज्य संख्याओं को जानने और उनमें से किसी एक को चुनने की संभावना की गणना करने का दूसरा तरीका प्राइम नंबर प्रमेय का उपयोग करना है । यह प्रमेय 18वीं शताब्दी के दौरान जर्मन गणितज्ञ गॉस द्वारा प्रतिपादित किया गया था, और लगभग एक सदी बाद अन्य गणितज्ञों, जैसे फ्रांसीसी जैक्स हैडमार्ड और बेल्जियन चार्ल्स-जीन डे ला वल्ली पुसिन द्वारा प्रदर्शित किया गया था।

अभाज्य संख्या प्रमेय में कहा गया है कि लगभग X / ln(X) अभाज्य संख्याएँ हैं जो X से कम या उसके बराबर हैं। इस कथन में:

• ln(X): X का प्राकृतिक लघुगणक है।
• X: वह संख्या है जिस तक हम अभाज्य संख्याएँ जानना चाहते हैं।

जैसे-जैसे X का मान बढ़ता है, X से कम अभाज्य संख्याओं और कथन X/In(X) के बीच सापेक्ष त्रुटि घटती जाती है।

प्राइम नंबर प्रमेय कैसे लागू करें

अभाज्य संख्या प्रमेय के साथ हम पिछले एक जैसी समस्याओं को हल कर सकते हैं, खासकर यदि हम बड़ी मात्रा में संख्याओं के बीच अभाज्य संख्याएँ जानना चाहते हैं।

अभाज्य संख्या प्रमेय द्वारा, हम जानते हैं कि लगभग X/ln(X) अभाज्य संख्याएँ हैं जो X से कम या उसके बराबर हैं। इसके अलावा, कुल X सकारात्मक पूर्णांक X से कम या उसके बराबर हैं। इसलिए, संभावना कि इस श्रेणी में एक यादृच्छिक रूप से चुनी गई संख्या प्रमुख है: (X / ln(X) ) / X = X / ( ln(X) . X ) = 1 / ln(X)।

उदाहरण के लिए, हम उस परिणाम का उपयोग पहले मिलियन पूर्णांकों के बीच एक अभाज्य संख्या को यादृच्छिक रूप से चुनने की प्रायिकता की गणना करने के लिए कर सकते हैं।

ऐसा करने के लिए, हमें एक मिलियन के प्राकृतिक लघुगणक की गणना करनी चाहिए। इसलिए, हमारे पास है:

पी (1,000,000) = (एक्स / एलएन (एक्स) / एक्स = 1 / एलएन (एक्स)

पी(1,000,000) = 1 / एलएन(1,000,000)

तो हमें मिलता है ln(1,000,000) = 13.8155 और 1 / ln(1,000,000) लगभग 0.07238 है। इसलिए, हमारे पास पहले मिलियन पूर्णांकों में से एक अभाज्य संख्या को बेतरतीब ढंग से चुनने का लगभग 7.238% मौका है।

ग्रन्थसूची

• लोपेज़ माटेओस, एम. बुनियादी गणित। (2017)। स्पेन। क्रिएटस्पेस।
• डीके। गणित की किताब। (2020)। स्पेन। डीके।
• Gracian, E. अभाज्य संख्याएँ: अनंत तक का लंबा रास्ता। (2010)। स्पेन। आरबीए पुस्तकें।