तीव्र त्रिकोण और अधिक त्रिकोण

एक त्रिभुज तीन रेखा खंडों से बनी एक बंद आकृति है जो उनके सिरों पर प्रतिच्छेद करती है। प्रत्येक त्रिभुज में तीन शीर्ष (खंडों के मिलन बिंदु), तीन भुजाएँ (खंड), और तीन आंतरिक कोण (प्रत्येक शीर्ष पर निर्मित) होते हैं। एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180∘ के बराबर होता है। इसे त्रिभुज योग प्रमेय कहा जाता है।

त्रिभुजों को उनके कोणों के आकार के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:

• तीव्र त्रिकोण।
• तिरछा त्रिकोण।
• समकोण त्रिभुज।

हालाँकि, त्रिभुजों को उनकी भुजाओं की संख्या के अनुसार भी वर्गीकृत किया जा सकता है:

• विषमबाहु त्रिकोण।
• समद्विबाहु त्रिकोण।
• समान भुजाओं वाला त्रिकोण।

इस लेख में हम समझाएंगे कि तीव्र त्रिभुज और अधिक त्रिभुज क्या हैं और वे कैसे भिन्न हैं।

त्रिकोण के तत्व

त्रिभुज के मूल तत्व हैं:

1. शिखर। वे दो पक्षों के बीच मिलन बिंदु हैं। छवि में त्रिभुज में 3 शीर्ष (A, B और C) हैं।
2. पक्ष। वे रेखा खंड हैं जो त्रिभुज के लगातार दो शीर्षों को जोड़ते हैं और इसकी परिधि को परिसीमित करते हैं। छवि में त्रिभुज की 3 भुजाएँ हैं (a, b और c)।
3. आंतरिक कोण। वे उस शीर्ष पर दो क्रमागत भुजाओं द्वारा बनाए गए कोण होते हैं जहां वे अभिसरित होते हैं। 3 आंतरिक कोण (α, β, और γ) हैं। त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° के बराबर होता है।
4. बाहरी कोण। यह लगातार भुजा के बाहरी विस्तार के साथ एक भुजा का कोण है। चित्र में त्रिभुज के 3 बाह्य कोण (θ) हैं। बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° के बराबर होता है।
5. त्रिभुज की ऊँचाई। त्रिभुज की ऊंचाई या ऊंचाई (एच) एक तरफ लंबवत रेखा खंड है जो विपरीत शीर्ष से उस तरफ (या इसके विस्तार) से शुरू होती है। इसे एक ओर से विपरीत शीर्ष तक की दूरी के रूप में भी समझा जा सकता है। संदर्भ के रूप में चुने गए शीर्ष के आधार पर एक त्रिकोण की तीन ऊंचाइयां होती हैं। तीन ऊँचाई एक बिंदु पर मिलती हैं जिसे ऑर्थोसेंटर कहा जाता है ।

तीव्र त्रिकोण

एक तीव्र त्रिभुज वह होता है जिसकी तीन भुजाएँ और तीन कोण प्रत्येक 90º से कम होते हैं। तीव्र त्रिभुज के तीन आंतरिक कोणों की माप 0° और 90° के बीच होती है, लेकिन सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है। त्रिभुजों को कोणों और भुजाओं के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है। एक तीव्र त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसे कोण के माप के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।

तीव्र त्रिकोण के प्रकार

जैसा कि हम जानते हैं, त्रिभुजों को भुजाओं और कोणों के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है। तीव्र त्रिभुज को निम्न प्रकार से भी वर्गीकृत किया जा सकता है:

1. तीव्र समबाहु त्रिभुज। इसे एक समबाहु त्रिभुज के रूप में भी जाना जाता है क्योंकि एक न्यून समबाहु त्रिभुज के तीन आंतरिक कोणों का माप 60° होता है।
2. समद्विबाहु तीव्र त्रिकोण। इस त्रिभुज में, दो भुजाएँ और दो कोणों का माप हमेशा समान होता है।
3. विषमबाहु तीव्र त्रिभुज। इस त्रिभुज में, तीनों भुजाएँ और आंतरिक कोण असमान हैं। सभी आंतरिक कोण 90 डिग्री से कम मापते हैं।

ऊपर की छवि 3 असमान पक्षों और कोणों के साथ विषमबाहु त्रिभुज का एक उदाहरण है। क्योंकि तीनों कोणों का मान 90 अंश से कम होता है और उनका योग 180 अंश होता है।

तीव्र त्रिकोण के गुण

कुछ ऐसे महत्वपूर्ण गुण हैं जो न्यूनकोण त्रिभुज को अन्य प्रकार के त्रिभुजों से अलग करते हैं। ये:

• कोण योग गुण के अनुसार एक न्यूनकोण त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग 180 डिग्री होता है।
• एक त्रिभुज समकोण त्रिभुज और तीव्र त्रिभुज दोनों नहीं हो सकता।
• तीव्र त्रिभुज कोणीय संपत्ति का कहना है कि एक तीव्र त्रिकोण के आंतरिक कोण हमेशा 90 डिग्री से कम या (0 डिग्री से 90 डिग्री) के बीच होते हैं।
• एक त्रिभुज एक ही समय में एक तीव्र त्रिभुज और एक अधिक त्रिभुज नहीं हो सकता है।

तीव्र त्रिभुज सूत्र

एक तीव्र त्रिकोण के लिए दो मूल सूत्र हैं और वे नीचे दिए गए हैं:

• एक तीव्र त्रिभुज का क्षेत्रफल।
• एक तीव्र त्रिकोण की परिधि।

एक तीव्र त्रिभुज का क्षेत्रफल

एक तीव्र त्रिभुज का क्षेत्रफल क्षेत्रफल = (1/2) × b × h वर्ग इकाइयों द्वारा दिया जाता है। यहां, “बी” आधार को संदर्भित करता है और “एच” एक तीव्र त्रिकोण की ऊंचाई को दर्शाता है।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यदि तीव्र त्रिभुज की सभी भुजाएँ दी गई हों, तो एक तीव्र त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना नीचे दिए गए हीरोन के सूत्र का उपयोग करके आसानी से की जा सकती है:

यहाँ a, b और c तीन भुजाएँ हैं और s आधे परिमाप को दर्शाता है जिसकी गणना S = (a + b + c) / 2 के रूप में की जा सकती है

एक तीव्र त्रिकोण की परिधि

एक तीव्र त्रिभुज की परिधि को तीन भुजाओं के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है और इसे P = (a + b + c) इकाइयों द्वारा दिया जाता है। यहाँ a, b और c न्यूनकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं। इसी तरह, परिधि एक तीव्र त्रिभुज बनाने के लिए आवश्यक कुल लंबाई देती है। दैनिक जीवन में हम परिमाप का उपयोग डोरी, तार, पेंसिल आदि के साथ एक न्यूनकोण त्रिभुज बनाने या बनाने के लिए करते हैं।

तिरछे त्रिकोण

एक अधिककोण त्रिभुज या अधिककोण त्रिभुज एक प्रकार का त्रिभुज है जिसमें शीर्ष कोणों में से एक 90° से अधिक होता है। एक अधिक कोण त्रिभुज का एक शीर्ष कोण अधिक कोण और दूसरा कोण न्यून कोण होता है, अर्थात यदि एक कोण 90° से अधिक है, तो अन्य दो कोणों का योग 90° से कम होता है। अधिक कोण के विपरीत वाली भुजा को सबसे लंबी भुजा माना जाता है। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज ABC में, त्रिभुज की तीन भुजाएँ a, b, और c को मापती हैं, जहाँ c त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है क्योंकि यह अधिक कोण के विपरीत भुजा है। इसलिए, त्रिभुज एक अधिककोण त्रिभुज है जहाँ a ² + b ² < c ² है ।

मोटे त्रिकोण के प्रकार

एक अधिक कोण त्रिभुज एक विषमबाहु त्रिभुज या एक समद्विबाहु त्रिभुज हो सकता है, लेकिन यह कभी भी समबाहु नहीं होगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं, और प्रत्येक कोण 60° का होता है। इसी तरह, एक त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज और एक समकोण त्रिभुज दोनों नहीं हो सकता है, क्योंकि एक समकोण त्रिभुज का एक कोण 90° का होता है और अन्य दो कोण तीव्र होते हैं। इसलिए, एक समकोण त्रिभुज एक अधिककोण त्रिभुज नहीं हो सकता है और इसके विपरीत भी। केंद्र और अंत: केंद्र अधिक त्रिकोण के अंदर हैं, जबकि परिधि और ऑर्थोसेंटर त्रिकोण के बाहर हैं।

नीचे दिए गए त्रिभुज का कोण 90° से अधिक है। इसलिए इसे समकोण त्रिभुज कहते हैं।

अधिक त्रिकोण सूत्र

एक अधिक त्रिभुज की परिधि और क्षेत्रफल की गणना के लिए अलग-अलग सूत्र हैं। आइए प्रत्येक को जानें:

• एक अधिक कोण त्रिभुज की परिधि । यह इसके सभी पक्षों के उपायों का योग है। उसका सूत्र: अधिक त्रिभुज का परिमाप = (a + b + c) मात्रक।
• एक कुंठित त्रिभुज का क्षेत्रफल। एक अधिक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम त्रिभुज के बाहरी भाग के लिए लंबवत रेखा का निर्माण करते हैं जहाँ हमें ऊँचाई प्राप्त होती है। चूँकि एक अधिककोण त्रिभुज का कोणीय मान 90° से अधिक होता है। एक बार ऊँचाई प्राप्त हो जाने के बाद, हम नीचे दिए गए सूत्र को लागू करके एक अधिक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

छवि ΔABC के अधिक कोण वाले त्रिभुज में, हम जानते हैं कि एक त्रिभुज में तीन शीर्षों से विपरीत दिशाओं में तीन शीर्षलंब होते हैं। किसी अधिककोण त्रिभुज के न्यून कोणों की ऊँचाई या ऊँचाई त्रिभुज के बाहर होती है। हम दिखाए गए अनुसार आधार का विस्तार करते हैं और अधिक त्रिभुज की ऊंचाई निर्धारित करते हैं।

ΔABC का क्षेत्रफल = 1/2 × h × b जहाँ BC आधार है और h त्रिभुज की ऊँचाई है। इस प्रकार, सूत्र है: एक अधिक त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि तीव्र त्रिकोण में प्रयुक्त हीरोन के सूत्र का उपयोग करके एक अधिक त्रिभुज का क्षेत्रफल भी प्राप्त किया जा सकता है।

अधिक त्रिकोण के गुण

प्रत्येक त्रिकोण के अपने गुण होते हैं जो इसे परिभाषित करते हैं। एक अधिककोण त्रिभुज के चार अलग-अलग गुण होते हैं। ये:

1. त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा अधिककोण के विपरीत भुजा होती है।
2. एक त्रिभुज में केवल एक अधिक कोण हो सकता है। हम जानते हैं कि एक त्रिभुज के कोणों का योग 180° के बराबर होता है। इसलिए, एक त्रिभुज में दो अधिक कोण नहीं हो सकते क्योंकि सभी कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक नहीं हो सकता।
3. अधिक कोण त्रिभुज के अन्य दो कोणों का योग हमेशा 90° से कम होता है। इस प्रकार, हमने अभी सीखा है कि जब एक कोण अधिक कोण होता है, तो अन्य दो कोणों का योग 90° से कम होता है।
4. एक अधिक त्रिभुज का परिकेन्द्र और लंबकेन्द्र त्रिभुज के बाहर स्थित होता है। ऑर्थोसेंटर (H), जो त्रिभुज की सभी ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, एक अधिक त्रिभुज में बाहर स्थित है। इसी प्रकार परिधि (O), जो त्रिभुज के सभी शीर्षों का मध्य बिंदु है, एक अधिक त्रिभुज के बाहर है।

तीव्र और कुंठित त्रिभुजों के बीच अंतर

तीव्र और अधिक त्रिकोण के बीच मुख्य अंतर उनके कोणों के माप के साथ करना है। इस प्रकार, जबकि अधिक कोणों में एक शीर्ष कोण 90° से अधिक होता है, तीव्र त्रिभुजों में सभी भुजाएँ और कोण 90° से कम होते हैं।

झरना

बैरेडो ब्लैंको, डी। (एसएफ)। त्रिभुज की ज्यामिति ।