संभाव्यता के सिद्धांत

अभिगृहीत कथनों की एक श्रृंखला है जिसे प्रमाण की आवश्यकता के बिना सत्य के रूप में स्वीकार किया जाता है, और जिस पर विज्ञान के सभी सिद्धांत और प्रमेय आधारित होते हैं। इसलिए, संभाव्यता के स्वयंसिद्ध वे मूलभूत कथन हैं जिन पर संभाव्यता सिद्धांत आधारित है । वे संदर्भ के अंतिम फ्रेम का प्रतिनिधित्व करते हैं जिसके लिए संभाव्यता सिद्धांत में सभी मौजूदा प्रमेयों को तार्किक रूप से संदर्भित करना चाहिए। वे 1933 में रूसी गणितज्ञ एंड्री निकोलाइविच कोलमोगोरोव द्वारा पोस्ट किए गए थे और सामान्य ज्ञान से पूरी तरह से प्राप्त हुए थे।

संभाव्यता के स्वयंसिद्धों का उद्देश्य संभाव्यता की गणितीय अवधारणा को औपचारिक रूप देना है ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि हम जो संख्यात्मक मान किसी चीज़ के घटित होने की संभावना को निर्दिष्ट करते हैं, वह संभाव्यता की हमारी सहज धारणा के अनुरूप है।

प्रारंभिक परिभाषाएँ

संभाव्यता सिद्धांत केवल तीन स्वयंसिद्धों पर आधारित है , लेकिन विवरण में जाने से पहले, कुछ बुनियादी परिभाषाओं को स्थापित करना आवश्यक है, साथ ही संभाव्यता में प्रयुक्त सहजीवन के आसपास के कुछ सम्मेलन:

• प्रयोग। यह कोई भी क्रिया या प्रक्रिया है जो परिणाम या अवलोकन उत्पन्न करती है। उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालना एक प्रयोग (एक प्रक्रिया या क्रिया) है जिसके परिणामस्वरूप हेड या टेल हो सकता है।
• नमूना स्थान ( एस )। एक प्रयोग के सभी संभावित परिणामों के सेट को संदर्भित करता है और प्रतीक एस द्वारा निरूपित किया जाता है। ऊपर दिए गए सिक्के के उदाहरण में, नमूना स्थान में केवल दो परिणामों का सेट होता है: S = {हेड्स, टेल्स}।
• घटना ( ई )। एक घटना नमूना स्थान का एक उपसमुच्चय है, यानी प्रयोग के संभावित परिणामों की संख्या। घटनाओं को आमतौर पर बड़े अक्षरों और सबस्क्रिप्ट (जैसे ई ₁ , ई ₂ , ई ₃ , आदि) या विभिन्न अक्षरों (ए, बी, सी,…) के साथ पहचाना जाता है। उदाहरण के लिए, सिक्के को उछालने पर चित आना एक घटना है। पूंछ आना एक अलग घटना है।
• प्रायिकता ( पी ): यह एक संख्यात्मक मान है जो किसी घटना को सौंपा गया है, और यह निश्चितता की डिग्री को इंगित करता है कि किसी की घटना के बारे में है। एक सामान्य नियम के रूप में, आप जितने अधिक आश्वस्त होंगे कि एक घटना (उदाहरण के लिए E ₁ ) घटित होगी, उस घटना के लिए आपके द्वारा निर्दिष्ट प्रायिकता मान उतना ही अधिक होगा।

सेट

इन परिभाषाओं के अतिरिक्त, समुच्चयों से संबंधित कुछ संक्रियाओं को याद रखना भी उपयोगी होता है। दो समुच्चयों के बीच प्रतिच्छेदन का परिणाम एक नए समुच्चय में होता है जिसमें दोनों के लिए सामान्य तत्व होते हैं, इसे प्रतीक ∩ द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे “और” पढ़ा जाता है। दूसरी ओर, दो सेटों के बीच संघ एक नया सेट है जिसमें दोनों के सभी सामान्य और गैर-सामान्य तत्व हैं, इसे प्रतीक ∪ द्वारा दर्शाया गया है और इसे “या” पढ़ा जाता है।

उदाहरण:

• व्यंजक P(E ₁ ∩ E ₂ ) को “घटना E ₁ और घटना E ₂ के एक साथ घटित होने की प्रायिकता” पढ़ा जाता है।
• व्यंजक P(E ₁ ∪ E ₂ ) को “घटना E ₁ या घटना E ₂ के घटित होने की प्रायिकता ” पढ़ा जाता है।

संभाव्यता का अभिगृहीत 1

प्रायिकता का पहला अभिगृहीत कहता है कि, एक प्रयोग दिए जाने पर, किसी भी घटना के घटित होने की प्रायिकता (E) एक अऋणात्मक वास्तविक संख्या होनी चाहिए। यह औपचारिक रूप से व्यक्त किया गया है:

स्वयंसिद्ध 1 सहज ज्ञान युक्त धारणा का प्रतिनिधित्व करता है कि नकारात्मक संभाव्यता के बारे में बात करना अर्थहीन है । यह शून्य संभाव्यता को निचली सीमा के रूप में भी स्थापित करता है, जो एक असंभव घटना को सौंपा गया है। उत्तरार्द्ध को औपचारिक रूप से किसी भी परिणाम (या परिणामों के सेट) के रूप में परिभाषित किया गया है जो प्रयोग के नमूना स्थान में निहित नहीं है।

उदाहरण:

एक पासे को केवल एक बार उछालने पर, प्रतिदर्श समष्टि केवल समुच्चय S={1, 2, 3, 4, 5, 6} से बनेगा। पहला स्वयंसिद्ध बताता है कि किसी भी परिणाम (4, उदाहरण के लिए) को प्राप्त करने की संभावना शून्य से अधिक संख्या होनी चाहिए ( P(4)>0 )। दूसरी ओर, संभावना है कि परिणाम 7 है, जो नमूना स्थान का हिस्सा नहीं है, शून्य है ( P(7)=0 )।

ध्यान दें कि पहला अभिगृहीत संभावित घटनाओं की प्रायिकता के परिमाण को नहीं बताता है, अर्थात, यह नहीं बताता है कि मरने के रोल के परिणाम की क्या प्रायिकता होनी चाहिए, उदाहरण के लिए, 4. यह केवल निर्दिष्ट करता है कि यह होना चाहिए कुछ सकारात्मक संख्या…

संभाव्यता का अभिगृहीत 2

प्रायिकता का दूसरा अभिगृहीत कहता है कि, प्रत्येक प्रयोग के लिए, प्रतिदर्श स्थान की प्रायिकता 1 है , या, औपचारिक रूप से:

अभिगृहीत 2 को समझने का एक सरल तरीका यह है कि प्रयोग में कुछ परिणाम, चाहे वह कुछ भी हो, प्राप्त होने की प्रायिकता 1 है।

उदाहरण:

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, एक सिक्के को उछालने पर केवल दो संभावित परिणाम होते हैं: चित या पट, इसलिए अभिगृहीत 2 के अनुसार, चित या पट आने की संभावना 1 है।

यदि पहला स्वयंसिद्ध संभाव्यता की निचली सीमा को शून्य पर सेट करता है, तो दूसरा स्वयंसिद्ध अपनी ऊपरी सीमा को 1 पर सेट करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि नमूना स्थान एक निश्चित घटना है और इसकी संभावना इसलिए अधिकतम संभव संभावना होनी चाहिए।

संभाव्यता का अभिगृहीत 3

यदि घटनाएँ E ₁ , E ₂ , …, E _n का कोई उभयनिष्ठ परिणाम नहीं है (उनका प्रतिच्छेदन एक रिक्त समुच्चय है), तो उन्हें पारस्परिक रूप से अनन्य कहा जाता है, क्योंकि एक की घटना दूसरे की घटना को बाहर करती है। तीसरे स्वयंसिद्ध में कहा गया है कि पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाओं की संघ संभावना प्रत्येक व्यक्तिगत घटना की संभावनाओं के योग के बराबर है । दूसरे शब्दों में:

केवल दो परस्पर अपवर्जी घटनाओं के सबसे सरल मामले के लिए (जैसा कि एक सिक्का टॉस के मामले में होता है), अभिगृहीत 3 को निम्नानुसार सूत्रबद्ध किया जाता है:

यह स्वयंसिद्ध इस विचार को औपचारिक रूप देता है कि किसी घटना के जितने अधिक संभावित परिणाम होते हैं, उतनी ही अधिक संभावना होती है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि दो पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाओं के मिलन में परिभाषा के अनुसार दोनों घटनाओं के सभी परिणामों का योग होना चाहिए।

अभिगृहीतों का अनुप्रयोग

उपरोक्त उदाहरणों के अलावा, तीन स्वयंसिद्धों का उपयोग संभाव्यता सिद्धांत में उपयोगी प्रमेय बनाने और सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है। किसी भी घटना की संभावनाओं और उसके पूरक के बीच के संबंध को निर्धारित करने के लिए एक सरल उदाहरण है।

यदि E कोई घटना है, तो इसका पूरक ( E ^c द्वारा दर्शाया गया ) इस घटना के रूप में परिभाषित किया गया है कि E के अलावा कुछ भी घटित होता है , या, जो एक ही बात पर आता है, कि E घटित नहीं होता है । इस परिभाषा के दो परिणाम हैं:

• कि E और E ^c परस्पर अपवर्जी हैं।
• ई और ई ^सी के बीच संघ का परिणाम नमूना स्थान एस ( ई ∪ ई ^सी = एस ) में होता है।

चूंकि वे परस्पर अनन्य हैं, तीसरे स्वयंसिद्ध के आधार पर , हमारे पास वह है

लेकिन चूँकि इस संघ का परिणाम S है , तब

अब, दूसरे अभिगृहीत को लागू करने पर , यह बन जाता है

जिसे इस रूप में पुनर्व्यवस्थित किया गया है

अंत में, चूंकि हम पहले अभिगृहीत से जानते हैं कि P(E ^c ) एक गैर-ऋणात्मक मात्रा होनी चाहिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि किसी भी घटना के घटित होने की प्रायिकता हमेशा 1 माइनस प्रायिकता के बराबर होगी कि घटना घटित नहीं होगी, और अंतराल [0, 1] में दो संभावनाओं में से किसी का भी मान होना चाहिए।

सूत्रों का कहना है

डेवोन, जेएल (1998)। इंजीनियरिंग और विज्ञान के लिए संभाव्यता और सांख्यिकी (चौथा संस्करण)। अंतर्राष्ट्रीय थॉमसन प्रकाशक।