रैखिक समीकरण का ढलान-प्रतिच्छेद रूप

पहली डिग्री के समीकरण का ढलान-अवरोधन रूप उस समीकरण को एक सीधी रेखा के समीकरण के रूप में व्यक्त करने का एक तरीका है । दूसरे शब्दों में, इसे उसी गणितीय रूप में एक फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जाता है, जो कार्टेसियन समन्वय प्रणाली में ग्राफ़ किए जाने पर एक सीधी रेखा में परिणाम देता है। इस तरह व्यक्त एक रेखीय समीकरण के निम्नलिखित गणितीय रूप हैं:

जैसा कि देखा जा सकता है, रैखिक समीकरणों का प्रतिनिधित्व करने का यह तरीका उस चर के होने की विशेषता है जिसे हम आमतौर पर आश्रित चर के रूप में मानते हैं (ज्यादातर मामलों में तथा हालांकि यह भिन्न हो सकता है) समीकरण के सदस्यों में से एक में अलग (आमतौर पर बाएं) गुणांक 1 के साथ; जबकि अन्य सदस्य एक पद से बना होता है जिसमें स्वतंत्र चर (आमतौर पर x ) और एक स्वतंत्र शब्द होता है।

ढलान-अवरोधन रूप में रैखिक समीकरण की व्याख्या

जब इस तरह से व्यक्त किया जाता है, स्वतंत्र चर का गुणांक, इस मामले में m , रेखा के ढलान का प्रतिनिधित्व करता है जब इस समीकरण को कार्तीय समन्वय प्रणाली में चित्रित किया जाता है।

दूसरी ओर, स्वतंत्र शब्द, इस मामले में b , उस बिंदु को इंगित करता है जिस पर रेखा कोर्डिनेट अक्ष या y अक्ष को काटती या काटती है, जैसा कि निम्नलिखित ग्राफ में दिखाया गया है। इसीलिए इसे स्लोप-इंटरसेप्ट फॉर्म कहा जाता है।

ढलान व्याख्या

ढलान ( एम ) इंगित करता है कि रेखा पर एक बिंदु के वाई का मान एक इकाई द्वारा एक्स के मान को बढ़ाकर कितना बदल जाता है , इस प्रकार यह रेखा के ढलान का प्रतिनिधित्व करता है। यह मान धनात्मक और ऋणात्मक दोनों प्रकार की कोई भी परिमेय संख्या हो सकती है। मूल्यों की तीन संभावित श्रेणियां हैं जिनकी अलग-अलग व्याख्या की जाती है:

• एक सकारात्मक ढलान (एम> 0) इंगित करता है कि जब हम ग्राफ पर बाएं से दाएं चलते हैं तो रेखा ऊपर जाती है।
• जब स्वतंत्र चर शब्द प्रकट नहीं होता है (यानी, जब समीकरण में कोई एक्स नहीं होता है) इसका मतलब है कि ढलान शून्य है (एम = 0)। इस स्थिति में, रेखा क्षैतिज या भुज अक्ष (x-अक्ष) के समानांतर होती है।
• जब ढलान ऋणात्मक (m<o) होती है, तो रेखा नीचे की ओर जाती है क्योंकि हम ग्राफ़ पर बाएँ से दाएँ चलते हैं।

चौराहे की व्याख्या

स्वतंत्र शब्द, b , कोटि अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में y अक्ष के साथ है। उन मामलों में जिनमें कोई स्वतंत्र शब्द नहीं है, यह समझा जाता है कि इसका मान शून्य (b = 0) है, इसलिए रेखा समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति से होकर गुजरती है।

ढलान-अवरोधन रूप में एक रेखा के समीकरण के विशेष मामले

केस 1: वाई = बी

जब समीकरण का पिछला रूप होता है, अर्थात जब स्वतंत्र चर का पद प्रकट नहीं होता है, तो यह समझा जाता है कि ढलान शून्य है और इसलिए, समीकरण एक क्षैतिज रेखा का प्रतिनिधित्व करता है जो बिंदु (0; b) से होकर गुजरती है। ).

केस 2: वाई = एमएक्स

जब कोई स्वतंत्र शब्द नहीं होता है, तो इसका मतलब है कि इसका मान शून्य है, और इसलिए, यह y-अक्ष को 0 पर प्रतिच्छेद करता है। इसका मतलब है कि रेखा समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति से गुजरती है।

केस 3: 0 = एमएक्स + बी

इस मामले में, इसमें एक ऊर्ध्वाधर रेखा (y अक्ष के समानांतर) होती है जो पिछले ग्राफ में दिखाए गए बिंदु x = – b/m पर भुज अक्ष (या x अक्ष) को काटती है।

यह उस रेखा के समीकरण का असामान्य रूप है जिसमें गुणांक m और स्वतंत्र पद b अपना सामान्य अर्थ खो देते हैं। एक ऊर्ध्वाधर रेखा में एक अपरिभाषित ढलान होता है, अर्थात इसकी ढलान मौजूद नहीं होती है। यह कहने जैसा नहीं है कि इसकी ढलान शून्य है।

दूसरी ओर, चूँकि यह y अक्ष के समानांतर एक खड़ी रेखा है, यह उस अक्ष को कभी नहीं काटती है। इसलिए, स्वतंत्र शब्द, बी, अब प्रतिच्छेदन को इंगित नहीं करता है जैसा कि पिछले मामलों में किया था।

स्लोप-इंटरसेप्ट फॉर्म के फायदे

रैखिक समीकरणों को निरूपित करने के अन्य तरीकों की तुलना में स्लोप-इंटरसेप्ट फॉर्म के निम्नलिखित फायदे हैं:

• ढलान के मान और रेखा के y-अवरोधन को तुरंत लौटाता है।
• ऊपर एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक रैखिक समीकरण के ग्राफ को एक बहुत ही सरल और तेज़ तरीके से देखने की अनुमति देता है।
• ढलान का मान प्रदान करके, यह आपको उस कोण की त्वरित गणना करने की अनुमति देता है जो रेखा स्पर्शरेखा का उपयोग करके एक्स-अक्ष के साथ बनाती है।
• यह आपको जल्दी से यह जानने की अनुमति देता है कि क्या दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर हैं या नहीं, बस उनकी ढलानों की तुलना करके।
• यह आपको जल्दी से यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि दो रेखाएँ एक दूसरे के लंबवत हैं या नहीं।
• केवल समीकरण के रूप को देखने से हमें तुरंत पता चल जाता है कि क्या यह एक बढ़ती हुई, घटती, क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर रेखा है।
• आपको एक चरण में इसके x-मान दिए गए रेखा पर किसी भी बिंदु के y-निर्देशांक की गणना करने देता है।
• यह दो चरों के रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधि को सुगम बनाता है क्योंकि उनमें से एक (y) के लिए समीकरण पहले ही हल हो चुका है।

मानक फॉर्म को स्लोप-इंटरसेप्ट फॉर्म में बदलने के लिए कदम

स्लोप-इंटरसेप्ट फॉर्म के अलावा, एक रेखा के समीकरण को अन्य तरीकों से भी प्रदर्शित किया जा सकता है, जिनमें से सबसे महत्वपूर्ण मानक फॉर्म है:

इस स्थिति में, गुणांक A, B और C पूर्णांक हैं। जब आपके पास इस तरह व्यक्त एक समीकरण है और आप इसे ढलान-प्रतिच्छेद रूप में लिखना चाहते हैं, तो आपको केवल निम्नलिखित चरणों का पालन करना होगा:

चरण 1: एक्स को समीकरण के दोनों पक्षों से घटाया जाता है।

चरण 2: सभी गुणांक और स्वतंत्र पद को गुणांक B (इसके चिन्ह सहित) से विभाजित किया जाता है।

चरण 3: यदि संभव हो, तो विभाजन से उत्पन्न किसी भी भिन्न को सरल करें।

मानक रूप से ढलान-अवरोधन रूप में परिवर्तन के उदाहरण

उदाहरण 1: 3x + 2y = 4

स्टेप 1:

चरण दो:

चरण 3:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह समीकरण एक अवरोही रेखा से संबंधित है जो y-अक्ष को 2 पर प्रतिच्छेद करती है।

उदाहरण 2: x – 4y = 6

स्टेप 1:

चरण दो:

चरण 3:

इस स्थिति में, परिणाम एक अवरोही रेखा है जो y-अक्ष को -1.5 पर प्रतिच्छेद करती है।

संदर्भ

• ढलान-अवरोधन (एसएफ) फॉर्म में रेखांकन समीकरण । https://content.nroc.org/Algebra.HTML5/U04L1T3/TopicText/es/text.html से लिया गया
• खान अकादमी (एनडी)। ढाल-अवरोधन रूप परिचय | बीजगणित (लेख) । https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:forms-of-linear-equations/x2f8bb11595b61c86:intro-to-slope-intercept-form/a/introduction-to-slope से 20 जुलाई, 2021 को लिया गया -अवरोधन-रूप
• MiProfe (2020, 12 मई)। इसके ढलान-प्रतिच्छेदन रूप में रेखा का समीकरण । 20 जुलाई, 2021 को https://miprofe.com/ecuacion-de-la-recta-en-su-forma-pendiente-intersecion/ से लिया गया
• रोड्रिगो, आर। (2020, 18 सितंबर)। ▷ रेखीय समीकरण: अवरोधन, मानक रूप और रेखांकन । 20 जुलाई, 2021 को https://estudyando.com/ecuaciones-lineales-intersecciones-forma-estandar-y-graficos/ से लिया गया