पारस्परिक रूप से अनन्य – अर्थ, अनुप्रयोग और उदाहरण

परस्पर अनन्य घटनाओं की परिभाषा विभिन्न तरीकों से दी जा सकती है। आरंभ करने के लिए, दो घटनाओं को पारस्परिक रूप से अनन्य या असंयुक्त कहा जाता है यदि किसी एक की घटना दूसरे के घटित होने की संभावना को बाहर करती है । इसका मतलब है कि वे ऐसी घटनाएं हैं जो एक साथ नहीं हो सकती हैं । उदाहरण के लिए, जब किसी पासे को केवल एक बार लुढ़काते हैं, तो छह में से किसी भी फलक पर उतरने का परिणाम उसे अन्य पांच में से किसी पर भी उतरने से बाहर कर देता है। इस प्रकार, वह घटना जो 4 पर उतरती है और वह घटना जो 3 पर आती है, परस्पर अनन्य हैं, क्योंकि पासा एक ही समय में 4 और 3 दोनों पर नहीं आ सकता है।

दूसरी ओर, संभाव्यता के क्षेत्र में यह कहा जाता है कि दो घटनाएँ परस्पर अनन्य हैं जब तक कि वे एक दूसरे के साथ परिणाम साझा नहीं करती हैं । यह इस तथ्य से आता है कि प्रायिकता में, एक घटना को एक प्रयोग के संभावित परिणामों के एक सेट के रूप में माना जाता है। अलग-अलग घटनाओं को परिभाषित किया जा सकता है जो परिणाम साझा करते हैं या साझा नहीं करते हैं, और जो परिणाम साझा नहीं करते हैं उन्हें पारस्परिक रूप से अनन्य माना जाता है।

अधिक औपचारिक गणितीय शब्दों में, और सेट थ्योरी नोटेशन का उपयोग करते हुए, घटनाएँ A और B परस्पर अनन्य होंगी यदि उनका प्रतिच्छेदन खाली सेट है , अर्थात, वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। दूसरे शब्दों में, A और B परस्पर अनन्य होंगे जब तक A ∩ B = Ø।

दो घटनाएँ परस्पर अनन्य कब होती हैं?

ऐसे मामलों में जहां तर्क हमें पहले से नहीं बताता है कि क्या दो घटनाएं पारस्परिक रूप से अनन्य हैं, सेट सिद्धांत और संभाव्यता समाधान प्रदान करती है। निस्संदेह, यह निर्धारित करने के तीन आसान तरीके हैं, जब दो घटनाएं पारस्परिक रूप से अनन्य या अलग होती हैं।

प्रत्येक सेट में तत्वों का अवलोकन करना

जब दो घटनाओं में तत्वों का एक परिमित और छोटा समूह होता है, तो यह निर्धारित करना बहुत आसान होता है कि वे असंयुक्त हैं या नहीं, केवल यह जाँच कर कि उनमें सामान्य तत्व हैं या नहीं।

उदाहरण

उदाहरण के लिए, दो पासों को एक साथ फेंकने के प्रयोग पर विचार करें। अब निम्नलिखित दो घटनाओं को परिभाषित करते हैं:

• मान लीजिए A घटना है कि दो पासों का योग 10 से अधिक या उसके बराबर है।
• मान लीजिए कि B वह घटना है जिसमें दोनों पासों का योग ठीक 8 के बराबर है।

यह निर्धारित करना आसान है कि प्रत्येक घटना में कौन से परिणाम शामिल हैं। पहले में, केवल परिणाम (5,5); (5,6) और (6,6) का परिणाम 10 से अधिक या उसके बराबर होता है। दूसरी ओर, केवल परिणाम (4,4); (5,3) और (6,2) उपज 8। तो अब हम सेट-सैद्धांतिक सहजीवन का उपयोग करके लिख सकते हैं:

चूंकि कोई सामान्य तत्व नहीं हैं, चौराहा खाली सेट है, और इसलिए घटनाएं पारस्परिक रूप से अनन्य हैं।

वेन आरेखों का उपयोग करना

यह निर्धारित करने का एक और बहुत आसान तरीका है कि क्या दो घटनाएँ परस्पर अनन्य हैं, उन्हें वेन आरेख में दर्शाना है। इन आरेखों में, नमूना स्थान को एक आयत (या अन्य आकृति) द्वारा दर्शाया जाता है, जबकि सभी घटनाओं को नमूना स्थान के आंतरिक क्षेत्रों के रूप में दर्शाया जाता है।

एक वेन आरेख में, पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाओं को आयत के भीतर उन क्षेत्रों के रूप में आसानी से पहचाना जाता है जो स्पर्श या ओवरलैप नहीं करते हैं।

मिलन की संभावना से

कुछ मामलों में, उपरोक्त दो विधियों को लागू नहीं किया जा सकता है। दो घटनाएँ परस्पर अनन्य हैं या नहीं, यह जाँचने का एक वैकल्पिक तरीका संभाव्यता के माध्यम से है। यदि प्रत्येक घटना की अलग-अलग संभावनाएँ ज्ञात हों, अर्थात् P(A) और P(B), साथ ही साथ एक या दूसरी घटना के घटित होने की प्रायिकता, अर्थात् P(AUB), तो हम जानते हैं कि दो घटनाएँ अलग हैं। अगर यह पूरा हो जाता है कि:

चौराहे की संभावना के माध्यम से एक वैकल्पिक तरीका है। जब तक P(A ∩ B) = 0 है तब तक दो घटनाएँ परस्पर अपवर्जी होंगी ।

परस्पर अनन्य घटनाओं के उदाहरण

सरल घटनाएँ हमेशा परस्पर अनन्य होती हैं

साधारण घटनाएँ वे होती हैं जिनमें एक ही परिणाम होता है। छह भुजाओं वाले पासे को लुढ़काते समय, 6 आने वाली घटना एक साधारण घटना होती है, क्योंकि यह केवल परिणाम 6 से बनी होती है। तीन परिणामों से बना है, जो कि वे 2, 4 और 6 हैं।

एक प्रयोग में सभी सरल घटनाएँ हमेशा परस्पर अपवर्जी होंगी।

उदाहरण

मान लीजिए कि एक अध्ययन एक अस्पताल में प्रति सप्ताह जन्म लेने वाले पुरुषों की संख्या निर्धारित करता है। इस प्रयोग के लिए नमूना समष्टि, S , है

कुछ साधारण घटनाएँ होंगी:

जैसा कि देखा जा सकता है, चूंकि उनके पास एक से अधिक परिणाम नहीं हैं और वे सभी अलग-अलग हैं, इनमें से कोई भी घटना दूसरे के साथ तत्वों को साझा नहीं कर सकती है और इसलिए, वे हमेशा परस्पर अनन्य रहेंगे।

एक साथ तीन पासे रोल करें

एक ही समय में तीन पासा फेंकना एक प्रयोग है जिसमें 36 अलग-अलग परिणाम हो सकते हैं, क्योंकि पासा का क्रम मायने नहीं रखता: परिणाम (1,2,3); (1,3,2); (2,1,3); (2,3,1); (3,1,2) और (3,2,1) सभी एक ही परिणाम का प्रतिनिधित्व करते हैं।

कल्पना कीजिए कि निम्नलिखित तीन घटनाएं होती हैं:

• A = वह घटना जिसमें सभी पासे समान परिणाम देते हैं।
• B = वह घटना जिसमें केवल दो पासे समान परिणाम देते हैं।
• C = वह घटना जिसमें सभी पासे अलग-अलग परिणाम देते हैं।

अकेले सामान्य ज्ञान से, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि A, B, और C सभी परस्पर अनन्य घटनाएँ हैं, क्योंकि यदि सभी पासा एक ही परिणाम देते हैं (घटना A घटित होती है) तो केवल दो का समान होना और एक का अलग होना असंभव है, या कि सभी अलग हों।

कार्ड खेल

एक प्रयोग की कल्पना करें जिसमें 52 पोकर कार्डों के एक डेक से यादृच्छिक रूप से दो कार्ड निकाले जाते हैं। अब निम्नलिखित घटनाओं को परिभाषित करते हैं:

• ए = केवल लाल बिंदु खींचे जाते हैं।
• B = केवल काले बिंदु खींचे गए हैं।

ये घटनाएँ परस्पर अनन्य हैं, क्योंकि यदि कार्ड दोनों लाल हैं, तो वे काले और इसके विपरीत दोनों नहीं हो सकते।

उन घटनाओं के उदाहरण जो परस्पर अनन्य नहीं हैं

एक साथ तीन पासे रोल करें

आइए ऊपर वर्णित वही तीन पासा प्रयोग लें, लेकिन अब निम्नलिखित घटनाओं को परिभाषित करें:

• ए = घटना जहां सभी पासा बराबर हैं = {(1,1,1); (2,2,2); (3,3,3);…}
• B = वह घटना जिसमें सभी पासे सम हैं = { (2,2,2); (2,2,4); (2,2,6)…}

ए और बी के अंदर के तत्वों की तुलना करके, यह देखना आसान है कि मैच होंगे, और यह कि ए और बी का प्रतिच्छेदन होगा:

चूंकि प्रतिच्छेदन खाली समुच्चय नहीं है, इसलिए ये घटनाएँ असम्बद्ध नहीं हैं।

कार्ड खेल

एक गड्डी से दो पत्ते निकालने के इसी प्रयोग को दोहराते हुए, आइए निम्नलिखित नई घटनाओं पर विचार करें:

• ए = कम से कम एक कार्ड दिल है।
• B = कम से कम एक पत्ता बादशाह है।

इस मामले में, जब भी दिल का राजा खींचा जाता है, ए और बी एक ही समय में होते हैं। वास्तव में, यह एकमात्र ऐसा परिणाम नहीं है जो होता है, क्योंकि यदि हुकुम का राजा और दिल का इक्का खींचा जाता है, तो A और B भी एक साथ घटित होंगे। इसलिए, A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ नहीं हैं।

परस्पर अनन्य घटनाओं का महत्व और अनुप्रयोग

गणित में, कई घटनाओं की संभावना की गणना काफी हद तक इस बात पर निर्भर करती है कि वे परस्पर अनन्य हैं या नहीं। उदाहरण के लिए, संभाव्यता के स्वयंसिद्धों में से एक में कहा गया है कि कई घटनाओं की संघ संभावना प्रत्येक घटना की व्यक्तिगत संभावना के योग के बराबर होती है , और केवल अगर, सभी घटनाएं पारस्परिक रूप से अनन्य होती हैं । दूसरे शब्दों में,

केवल अगर A और B असंयुक्त या परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं।

यदि वे पारस्परिक रूप से अनन्य नहीं हैं, तो संभावनाओं का योग दोनों घटनाओं के सामान्य परिणामों की संभावना से दोगुना गिना जाता है, अर्थात प्रतिच्छेदन की संभावना। इस कारण से, इन मामलों में, संघ संभाव्यता की गणना एक अलग तरीके से की जाती है:

तीन घटनाओं के लिए, ए, बी और सी जो परस्पर अनन्य नहीं हैं और जो एक-दूसरे को भी काटते हैं, चीजें और भी जटिल हो जाती हैं:

इस मामले में, तीन घटनाओं, P( A ∩ B ∩ C) के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता को सबसे अंत में जोड़ा जाना चाहिए, क्योंकि इसे घटनाओं के विभिन्न युग्मों के प्रतिच्छेदन को घटाकर तीन बार घटाया गया था।