एक्सट्रपलेशन और इंटरपोलेशन के बीच अंतर

विभिन्न प्रकार की गणनाएँ करते समय, चाहे विज्ञान में हो या इंजीनियरिंग में, प्रयोगात्मक डेटा का सहारा लेना बहुत आम है जो हमें विभिन्न तालिकाओं में व्यवस्थित लगता है। ये डेटा आमतौर पर दो चरों से संबंधित होते हैं जिन्हें हम जानते हैं कि वे एक दूसरे पर निर्भर करते हैं, लेकिन जिनकी गणितीय निर्भरता हम नहीं जानते हैं। यह कोई समस्या नहीं होगी यदि हमें जो डेटा चाहिए वह सब तालिका में हो, लेकिन ऐसा बहुत कम होता है। यह अधिक सामान्य है कि हमें तालिका में नहीं पाए जाने वाले दूसरे के मान के लिए एक चर के मान की आवश्यकता होती है।

जब ऐसा होता है, तो हम प्रयोगात्मक या सारणीबद्ध डेटा को बहुपद गणितीय फ़ंक्शन में फ़िट कर सकते हैं, जिसका उपयोग हम रुचि के चर के अज्ञात मान का अनुमान लगाने के लिए कर सकते हैं। इस प्रक्रिया में इंटरपोलेशन या एक्सट्रपलेशन शामिल हो सकता है।

ये दो प्रक्रियाएं निकट से संबंधित हैं और एक ही मूल ट्यूनिंग प्रक्रिया पर आधारित हैं, लेकिन वे समान नहीं हैं। इसके बाद, हम इस बात पर चर्चा करेंगे कि एक स्वतंत्र चर के दिए गए मान के लिए आश्रित चर के मूल्य का आकलन करने के इन दो तरीकों के बीच मुख्य अंतर क्या हैं।

प्रक्षेप परिभाषा

इंटरपोलेशन स्वतंत्र चर के एक विशेष मूल्य के लिए एक आश्रित चर के मूल्य का अनुमान लगाने की प्रक्रिया है, जो उस बिंदु के ऊपर और नीचे असतत बिंदुओं के ज्ञान से होता है, जिसका हम अनुमान लगाना चाहते हैं। दूसरे शब्दों में, यह एक बिंदु का अनुमान लगाने की प्रक्रिया है जो दो ज्ञात बिंदुओं के बीच स्थित है। _{निम्नलिखित ग्राफ नीले बिंदुओं द्वारा दर्शाए गए डेटा की एक श्रृंखला दिखाता है और लाल बिंदु X 1} और X ₂ में बिंदुओं के बीच प्रक्षेप का प्रतिनिधित्व करता है ।

इंटरपोलेशन शब्द दो लैटिन शब्दों के मिलन से आया है जो उपसर्ग इंटर- हैं, जिसका अर्थ है बीच या अंतराल पर, और -पोलिरे , जिसका अर्थ है धक्का देना या धक्का देना, इस तथ्य का जिक्र करते हुए कि इंटरपोलेशन को दो को धक्का देने या आगे बढ़ने के साथ करना है डेटा। उस बिंदु पर जो उनके बीच स्थित है।

एक्सट्रपलेशन परिभाषा

एक्सट्रपलेशन को स्वतंत्र चर के मूल्य के लिए एक आश्रित चर के मूल्य का आकलन करने की प्रक्रिया के रूप में समझा जा सकता है, जो कि अंक या डेटा के एक सेट से या तो अनुमानित बिंदु से अधिक या उससे कम है।

दूसरे शब्दों में, यह उस बिंदु के मान का अनुमान लगाने की प्रक्रिया है जो सभी ज्ञात बिंदुओं या डेटा से ऊपर या नीचे है। निम्नलिखित आंकड़ा सभी ज्ञात डेटा के ऊपर डेटा को एक्सट्रपलेशन करने का एक उदाहरण दिखाता है।

व्युत्पत्ति के दृष्टिकोण से, एक्सट्रपलेशन का एक ही लैटिन मूल है – पोलिरे , केवल इस बार यह लैटिन उपसर्ग अतिरिक्त से पहले आता है – जिसका अर्थ है बाहर। इस प्रकार, शब्द उन बिंदुओं के अनुमान को संदर्भित करता है जो मूल डेटा सेट की सीमा के बाहर हैं, या तो क्योंकि यह सभी ज्ञात डेटा से अधिक या कम है।

इंटरपोलेशन और एक्सट्रपलेशन की अनिश्चितता में अंतर

एक्सट्रपलेशन के साथ प्रक्षेप की तुलना करते समय, यह देखा जा सकता है कि परिणाम उत्पन्न करने के जोखिम के संबंध में एक महत्वपूर्ण अंतर है जो उस डेटा के वास्तविक मूल्य से काफी भिन्न होता है जिसकी हम तलाश कर रहे हैं। इंटरपोलेशन के मामले में, चूंकि यह लगातार दो बिंदुओं के बीच किया जाता है, हम निश्चित रूप से निश्चित हो सकते हैं कि हम जिस मूल्य को इंटरपोल कर रहे हैं वह इन दो बिंदुओं के बीच कहीं है। अर्थात्, हमारे पास कुछ आश्वासन है कि अगले बिंदु पर पहुँचने से पहले अज्ञात फ़ंक्शन का मान ऊपर या नीचे नहीं जाता है, क्योंकि हम जानते हैं कि अगला बिंदु कहाँ है।

इसके बजाय, जब हम एक एक्सट्रपलेशन करते हैं, तो हम डेटा के व्यवहार को आगे या पीछे पेश कर रहे हैं, और चूंकि आगे कोई संदर्भ बिंदु नहीं हैं (या आगे पीछे, अगर ऐसा होता), तो हमारे पास यह जानने का कोई तरीका नहीं है कि यह कैसे व्यवहार करता है वास्तव में चर। यह उसी व्यवहार के साथ जारी रह सकता है जैसा पहले आया था, जैसे कि यह किसी भी दिशा में अचानक आग लगा सकता है। इस कारण से, एक्सट्रपलेशन में इंटरपोलेशन की तुलना में अधिक अनिश्चितता होती है।

वे आमतौर पर विभिन्न बहुपद कार्यों के लिए फिट होते हैं

एक्सट्रपलेशन और इंटरपोलेशन प्रक्रियाएं दो या दो से अधिक ज्ञात बिंदुओं के गणितीय फ़ंक्शन के समायोजन पर आधारित होती हैं जो हमें अन्य अज्ञात बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की भविष्यवाणी करने की अनुमति देगी। इंटरपोलेशन और एक्सट्रपलेशन दोनों मामलों में, अनुमान लगाने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला फ़ंक्शन लीनियर फ़ंक्शन (y = mx +b) है। जबकि यह फ़ंक्शन इंटरपोलेशन और एक्सट्रपलेशन दोनों के लिए उपयुक्त है, जब अज्ञात मूल्य का हम अनुमान लगाना चाहते हैं, ज्ञात बिंदुओं के काफी करीब है, यह अब मामला नहीं है जब एक्सट्रपलेशन चरम सीमा से दूर हो।

वास्तव में, यदि समग्र रूप से डेटा व्यवहार में उल्लेखनीय रूप से रैखिक नहीं है, तो एक्सट्रपलेशन बहुत तेज़ी से वास्तविक मूल्य से दूर जा सकते हैं क्योंकि हम किसी भी चरम सीमा से दूर जाते हैं। यही कारण है कि एक्सट्रपलेशन के लिए आमतौर पर अधिक देखभाल की आवश्यकता होती है और एक्सट्रपलेशन फ़ंक्शंस का उपयोग जो अधिक जटिल होते हैं या इंटरपोलेशन के लिए उपयोग किए जाने वाले कार्यों की तुलना में उच्च आदेश होते हैं।

बाद के मामले में, रैखिक प्रक्षेप लगभग हमेशा पर्याप्त होता है, यह मानते हुए कि ज्ञात डेटा या बिंदु बहुत दूर नहीं हैं।

वे अनुमान के लिए आवश्यक डेटा मदों की संख्या में भिन्न हो सकते हैं

प्रक्षेप और एक्सट्रपलेशन के बीच एक और महत्वपूर्ण अंतर अनुमान लगाने के लिए आवश्यक डेटा मदों की संख्या है। प्रक्षेप में, यह लगभग हमेशा माना जाता है कि मांगे गए बिंदु का मान दो निकटतम बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा पर स्थित है। इस मामले में, इन दो बिंदुओं को जानना प्रक्षेप करने के लिए पर्याप्त है। दूसरे शब्दों में, प्रक्षेप पर ढलान के अनुमान में त्रुटि का प्रभाव शायद ही कभी गंभीर होता है, क्योंकि अनुमानित बिंदु लगभग हमेशा दो ज्ञात बिंदुओं के बीच स्थित होगा।

दूसरी ओर, एक्सट्रपलेशन के मामले में, चूंकि हम उच्चतम (या निम्नतम) बिंदु से आगे बढ़ते हैं, रेखा के ढलान में अंतर का y के मान पर बढ़ता प्रभाव पड़ता है, इसलिए केवल दो को लेना बहुत जोखिम भरा है ढलान की गणना करने के लिए अंक। इन मामलों में, आमतौर पर सबसे कम वर्गों की प्रक्रिया के माध्यम से सबसे अच्छी रेखा या उच्च क्रम के किसी अन्य बहुपद समारोह के लिए कई बिंदुओं को फिट करना होता है, इस प्रकार यह सुनिश्चित करना कि हम जिस रेखा को आगे (या पीछे) एक्सट्रपलेशन करते हैं, वह सामान्य व्यवहार को दर्शाता है। संपूर्ण डेटा और न केवल उनमें से कुछ।

रैखिक इंटरपोलेटेड और एक्सट्रपलेटेड

रैखिक इंटरपोलेशन और रैखिक एक्सट्रपलेशन के मामले में अनिवार्य रूप से समान गणितीय समीकरणों का उपयोग किया जाता है। दोनों ही मामलों में, इंटरपोलेशन फ़ंक्शन का रूप y = mx + b है, जहां y वह मान है जिसे हम x के दिए गए मान के लिए खोज रहे हैं, m उस सीधी रेखा का ढलान है जिस पर हम डेटा फ़िट कर रहे हैं, और b इंटरपोलेशन फ़ंक्शन के y-अक्ष के साथ कट है।

सूत्र का उपयोग करके किसी भी दो बिंदुओं से रैखिक फ़ंक्शन की ढलान की गणना की जा सकती है:

हम इस सूत्र को दो बार लागू कर सकते हैं, एक बार ज्ञात डेटा की श्रृंखला के किन्हीं दो बिंदुओं के बीच, और दूसरा एक ज्ञात बिंदु और उस बिंदु के बीच जिसे हम खोजना चाहते हैं। चूँकि दोनों ही मामलों में ढलान समान है, हम दोनों भावों का मिलान कर सकते हैं और इस प्रकार सूत्र प्राप्त कर सकते हैं जो y के मान से संबंधित है जिसे हम x के निश्चित मान के लिए देख रहे हैं जो हमारे पास है।

उदाहरण

मान लीजिए कि हम किसी बिंदु (x ; y) को प्रक्षेपित या एक्सट्रपलेशन करने के लिए लगातार दो बिंदुओं p _k-1 =(x _{k -1} ; y k – ₁ ) और p _k = (x k ; y _{k ) का उपयोग करना चाहते हैं।} फिर हम ढलान को दो बार लिख सकते हैं और प्राप्त करने के लिए समान कर सकते हैं:

इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम पाते हैं:

ध्यान दें कि, इस मामले में, अनुमान के लिए उपयोग किए जा रहे दो डेटा के संबंध में बिंदु (x; y) की स्थिति के बारे में कुछ भी नहीं माना जाता है, इसलिए प्रक्षेप और एक्सट्रपलेशन दोनों के लिए समान समीकरण का उपयोग किया जाता है।

यदि यह सत्यापित किया जाता है कि x _k-1 < x < x _k , या, दूसरे शब्दों में, कि x x _k-1 और x _k के बीच स्थित है , तो यह एक प्रक्षेप है। दूसरी ओर, यदि x>x _{अधिकतम} या x<x _मिनट , अर्थात, यदि x अधिकतम मान से अधिक है या डेटा श्रृंखला के न्यूनतम मान से कम है, तो यह एक एक्सट्रपलेशन है।

प्रक्षेप उदाहरण

मान लीजिए कि हम जानते हैं कि वेनेजुएला के मेरिडा शहर में पिज्जा की मांग प्रति वर्ष 500,000 यूनिट है, जब प्रति यूनिट औसत कीमत 20 डॉलर है, जबकि 15 डॉलर की औसत कीमत पर मांग बढ़कर 750,000 हो जाती है। हम यह अनुमान लगाने में रुचि रखते हैं कि यदि हम $16.5 पर कीमत निर्धारित करते हैं तो मांग क्या होगी।

समाधान

ध्यान दें कि यह प्रक्षेप का एक उदाहरण है, क्योंकि जिस बिंदु का हम अनुमान लगाना चाहते हैं, वह $16.5 की कीमत के अनुरूप है, दो ज्ञात बिंदुओं के बीच स्थित है (यानी, यह $15 और $20 के बीच है)। इस उदाहरण के लिए, हमारे पास है:

अब, रैखिक इंटरपोलेशन फॉर्मूला लागू करना:

 इस प्रकार, यदि पिज्जा की औसत कीमत 16.5 डॉलर प्रति यूनिट निर्धारित की जाती है, तो वार्षिक मांग 675,000 पिज्जा प्रति वर्ष होगी।

एक्सट्रपलेशन के उदाहरण

मान लीजिए कि उपरोक्त उदाहरण में हम यह निर्धारित करना चाहते हैं कि यदि कीमत बढ़कर $25 प्रति यूनिट हो जाए तो मांग क्या होगी। चूंकि इस मामले में यह सत्यापित है कि x = $25 > $20, तो यह एक एक्सट्रपलेशन है। डेटा फिर से है:

प्रतिस्थापन:

इसलिए, एक्सट्रपलेशन भविष्यवाणी करता है कि यदि कीमत 25 डॉलर तक बढ़ जाती है, तो मांग 20 डॉलर की तुलना में आधी हो जाती है।

संदर्भ

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