सांख्यिकी में पूरक नियम

सांख्यिकी और संभाव्यता में, पूरक नियम यह स्थापित करता है कि किसी भी घटना A के घटित होने की संभावना हमेशा एकता माइनस के बराबर होगी, संभावना है कि A के विपरीत या पूरक घटना घटित होगी । दूसरे शब्दों में, यह एक नियम है जो इंगित करता है कि किसी घटना की संभावनाएं और उसके पूरक निम्नलिखित अभिव्यक्ति के माध्यम से संबंधित हैं:

यह नियम संभाव्यता के मूल गुणों में से एक है और हमें बताता है कि हम हमेशा किसी भी घटना की संभावना की गणना कर सकते हैं यदि हम उसके पूरक की संभावना जानते हैं और इसके विपरीत। यह विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, क्योंकि वास्तविक दुनिया की कई स्थितियों में जहां हमें किसी घटना की संभावना की गणना करने की आवश्यकता होती है, इसके बजाय सीधे इसके पूरक की संभावना की गणना करना बहुत आसान होता है। फिर, एक बार इसकी गणना हो जाने के बाद, हम उस संभाव्यता को निर्धारित करने के लिए पूरक नियम का उपयोग करते हैं जो हम शुरू में चाहते थे।

इस नियम के अनुप्रयोग के कुछ सरल उदाहरण हैं:

• यदि रियल मैड्रिड के चैंपियंस लीग सॉकर मैच जीतने की प्रायिकता 34/57 या 0.5965 है, तो चैंपियंस लीग मैच न जीतने की संभावना 1-34/57 = 23/57 या 0.4035 है।
• संभावना है कि एक सामान्य 6-पक्षीय पासा 6 से कम संख्या पर गिरेगा 1/3 है, इसलिए संभावना है कि पासा 6 से कम संख्या पर नहीं आएगा, 2/3 है।

पूरक नियम का प्रमाण

पूरक नियम को कई अलग-अलग तरीकों से प्रदर्शित किया जा सकता है, जिनमें से कोई भी पाठक के लिए याद रखना आसान बना देगा। इस प्रदर्शन को करने के लिए, हमें कुछ बुनियादी शब्दों को परिभाषित करते हुए शुरुआत करनी चाहिए, जैसे कि एक घटना क्या है और इसकी पूरक क्या है। इसके अलावा, हमें कुछ मुख्य स्वयंसिद्धों को बताना चाहिए जिन पर संभाव्यता आधारित है।

प्रयोग, परिणाम, नमूना स्थान और घटनाएं

सांख्यिकी और प्रायिकता में हम प्रयोग करने की बात करते हैं, जैसे कि सिक्के उछालना, पासा पलटना, बेतरतीब ढंग से फेटे गए डेक से कार्ड या डेक चुनना, और इसी तरह। हर बार जब हम एक प्रयोग करते हैं, तो हमें एक परिणाम मिलता है , जैसे कि स्पैनिश प्लेइंग कार्ड्स के डेक से 2 क्लबों को चुनना।

सभी संभव विभिन्न परिणामों का कुल सेट जो एक प्रयोग दे सकता है उसे नमूना स्थान कहा जाता है और इसे आमतौर पर अक्षर S द्वारा दर्शाया जाता है।

दूसरी ओर, एक विशेष परिणाम या प्रयोग के परिणामों के सेट को एक घटना के रूप में जाना जाता है । घटनाएँ व्यक्तिगत परिणाम हो सकती हैं, जिस स्थिति में उन्हें साधारण घटनाएँ कहा जाता है, या वे मिश्रित घटनाएँ हो सकती हैं जो एक से अधिक तत्वों या परिणामों से बनी होती हैं।

किसी ईवेंट का प्लगइन क्या है?

एक घटना का पूरक नमूना स्थान में अन्य सभी संभावित परिणामों के सेट से ज्यादा कुछ नहीं है, जिसमें स्वयं घटना के परिणाम शामिल नहीं हैं । पासे को फेंकने के उदाहरण के मामले में, उस घटना का पूरक जिसमें डाई 5 पर आती है, उदाहरण के लिए, एक और घटना है जिसमें डाई 1, 2, 3, 4, या 6, या जो भी हो। यह वही है, यह 5 में नहीं आता है।

प्लगइन्स को अक्सर अलग-अलग तरीकों से दर्शाया जाता है। दो सबसे आम तरीके हैं:

• घटना के नाम के ऊपर एक स्लैश लगाना (उदाहरण के लिए, A̅ घटना A के पूरक का प्रतिनिधित्व करता है)।
• C को सुपरस्क्रिप्ट (A ^C ) के रूप में रखना।

किसी भी मामले में, यह “ए-पूरक,” “ए का पूरक,” या “ए नहीं” पढ़ता है।

वेन आरेखों का उपयोग करके प्लगइन अवधारणा और प्लगइन नियम दोनों को समझने का एक आसान तरीका है । निम्नलिखित आंकड़ा किसी भी प्रयोग और एक घटना का एक सरल चित्र दिखाता है जिसे हम ए कहेंगे।

इस तरह के वेन आरेखों में, संपूर्ण आयत प्रयोग के नमूना स्थान का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि आयत का संपूर्ण क्षेत्र (इस मामले में, ग्रे और नीला दोनों क्षेत्र) नमूना स्थान की संभावना का प्रतिनिधित्व करता है, जो, द्वारा परिभाषा, 1 के बराबर है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि यदि हम एक प्रयोग करते हैं, तो यह बिल्कुल निश्चित है कि नमूना स्थान में निहित कुछ परिणाम प्राप्त होंगे, क्योंकि इसमें सभी संभावित परिणाम शामिल हैं।

नीला वृत्त शो स्पेस के क्षेत्र को घेरता है जिसमें घटना A के सभी संभावित परिणाम निहित होने चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि घटना A एक सम संख्या को रोल कर रहा है, तो इस नीले क्षेत्र में परिणाम 2, 4 और 6 होने चाहिए। । दूसरी ओर, वह सारा क्षेत्र जो घटना A के बाहर है (अर्थात, ग्रे ज़ोन), A का पूरक है क्योंकि इसमें अन्य परिणाम (1, 3 और 5) शामिल हैं।

पूरक नियम और वेन आरेख

वेन आरेखों का उपयोग करके पूरक नियम को समझने की कुंजी यह है कि इन आरेखों के भीतर किसी भी घटना का क्षेत्र उसकी संभावना के समानुपाती होता है; आयत का कुल क्षेत्रफल 1 की संभावना से मेल खाता है। जैसा कि हम स्पष्ट रूप से देख सकते हैं, घटना A (नीला वृत्त) और इसका पूरक, A̅ (ग्रे क्षेत्र) मिलकर संपूर्ण आयत बनाते हैं।

इस कारण से, उनके क्षेत्रों का योग, जो उनकी संबंधित संभावनाओं का प्रतिनिधित्व करता है, 1 के बराबर होना चाहिए, जो कि नमूना स्थान का क्षेत्र है, एस। इसे पुन: व्यवस्थित करते हुए, हम प्राप्त करेंगे:

यह पूरक नियम है।

संभाव्यता के स्वयंसिद्धों से पूरक नियम

कोई भी घटना और उसका पूरक असंयुक्त या परस्पर अनन्य घटनाओं की एक जोड़ी बनाता है, क्योंकि यदि एक घटित होता है, तो परिभाषा के अनुसार, दूसरे का घटित होना असंभव है। इन शर्तों के तहत, इन दो घटनाओं की संघ संभावना केवल व्यक्तिगत संभावनाओं के योग से दी जाती है। यानी:

^{साथ ही, जैसा कि हमने पहले कहा था, घटनाओं A और उसके पूरक A C} के संयोजन का परिणाम प्रतिदर्श समष्टि होता है:

उपरोक्त समीकरण में P(AUC ^C ) को प्रतिस्थापित करना और फिर S की प्रायिकता को प्रतिस्थापित करना जो कि परिभाषा के अनुसार 1 है, हम प्राप्त करते हैं:

अंतिम दो सदस्यों को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें पूरक नियम प्राप्त होता है।

एक प्लगइन नियम आवेदन समस्या का उदाहरण

निम्नलिखित एक विशिष्ट समस्या का एक उदाहरण है जहाँ प्लगइन नियम का उपयोग विशेष रूप से उपयोगी है।

कथन

मान लीजिए कि हमारे पास श्रृंखला में जुड़े 5 समान चिप्स से बना एक सर्किट है, जो कि एक के बाद एक है। इसके निर्माण के पहले वर्ष के भीतर एक चिप के विफल होने की प्रायिकता 0.0002 है। यदि 5 चिप्स में से कोई एक भी विफल हो जाता है, तो पूरा सिस्टम विफल हो जाता है। आप संभावना खोजना चाहते हैं कि सिस्टम पहले वर्ष में विफल हो जाएगा।

समाधान

आइए हम एफ (विफलता के लिए) का परिणाम कहते हैं जिसमें एक घटक या सिस्टम चिप विफल हो जाता है और ई (सफलता) उस परिणाम के लिए जिसमें घटक विफल नहीं होता है या जो समान है, वह काम करता है। फिर, कथन द्वारा प्रदान किया गया डेटा है:

वह प्रयोग जिसमें यह निर्धारित किया जाता है कि क्या पूरी प्रणाली वास्तव में विफल होती है, वास्तव में 5 एक साथ प्रयोग करने से मेल खाती है जिसमें यह निर्धारित किया जाता है कि क्या कोई घटक विफल होता है। इसलिए, इस प्रयोग के लिए नमूना स्थान में 5 घटकों में से प्रत्येक पर सफलता या विफलता के सभी संयोजन शामिल हैं। श्रृंखला में जुड़े होने के कारण, हम जानते हैं कि क्रम मायने रखता है। इसलिए, नमूना स्थान निम्न द्वारा बनता है:

इस नमूना स्थान में ES और Fs के सभी संभावित संयोजनों के अनुरूप 2 ^{5 =32 संभावित परिणाम हैं।} चूंकि हम इस संभावना की गणना करना चाहते हैं कि सिस्टम विफल हो जाता है, जिस घटना में हम रुचि रखते हैं, जिसे हम ए कहते हैं, सभी परिणामों द्वारा दिया जाता है जिसमें कम से कम एक घटक विफल रहता है। दूसरे शब्दों में, यह निम्नलिखित परिणाम सेट द्वारा दिया जाता है:

वास्तव में, 2 ⁵ -1=31 संभावित परिणाम हैं जिनमें पांच घटकों में से कम से कम एक विफल रहता है। यदि हम A की प्रायिकता (अर्थात् P(A)) की गणना करना चाहते हैं, तो हमें इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता की गणना करनी होगी; यह काफी काम होगा।

^{हालाँकि, अब हम A की पूरक घटना पर विचार करते हैं, यानी वह घटना जिसमें सिस्टम काम करता है (जिसे हम A C} कहेंगे )। जैसा कि हम देख सकते हैं, पूरे सिस्टम के काम करने का एकमात्र तरीका सर्किट के सभी पांच घटकों के काम करना है, वह है:

इस संभावना की गणना करना पिछले वाले की तुलना में बहुत आसान है। ^{फिर, इस संभावना को देखते हुए, हम ए की संभावना की गणना करने के लिए पूरक नियम का उपयोग करते हैं। चूँकि प्रत्येक चिप के परिणाम एक दूसरे की स्वतंत्र घटनाएँ हैं, ए सी} की संभावना केवल उस संभावना का उत्पाद है जो प्रत्येक चिप काम करती है, कहते हैं :

लेकिन E की प्रायिकता क्या है? याद रखें कि प्रत्येक चिप या तो काम करती है या काम नहीं करती है, इसलिए E, F का पूरक है। इसलिए, यदि हमारे पास F की प्रायिकता है (जो अभ्यास में दी गई है), तो हम पूरक नियम का उपयोग करके E की प्रायिकता की गणना कर सकते हैं:

अब हम इस संभावना की गणना कर सकते हैं कि पूरा सिस्टम काम करता है:

और, पूरक नियम को फिर से लागू करते हुए, हम इस संभावना की गणना करते हैं कि सिस्टम विफल हो जाता है:

उत्तर

संभावना है कि सिस्टम पहले वर्ष में विफल हो जाएगा 0.010 या 1.0% है।

संदर्भ

देवोर, जेएल (1998)। इंजीनियरिंग और विज्ञान के लिए संभाव्यता और सांख्यिकी । इंटरनेशनल थॉमसन पब्लिशर्स, एसए

पूरक नियम । (रा)। फाइबिया। https://www.fhybea.com/complement-rule.html

संभावनाओं में पूरक का नियम । (2021, 1 जनवरी)। मेटमोबाइल। https://matemovil.com/regla-del-complemento-en-probabilidades/