संभाव्यता और सांख्यिकी में जोड़ नियम

संभाव्यता और सांख्यिकी में अतिरिक्त नियम उन विभिन्न तरीकों को संदर्भित करते हैं जिनमें हम उन घटनाओं के संघ द्वारा गठित नई घटनाओं की संभावना निर्धारित करने के लिए दो या दो से अधिक विभिन्न घटनाओं की ज्ञात संभावनाओं को जोड़ सकते हैं ।

आँकड़ों और संभाव्यता में, हम अक्सर इस संभावना को जानते हैं कि कुछ घटनाएँ (उदाहरण के लिए, घटनाएँ ए और बी) अलग-अलग घटित होंगी, लेकिन संभावना नहीं है कि वे एक ही समय में घटित होंगी या एक या दूसरी घटित होंगी। यह वह जगह है जहाँ अतिरिक्त नियम काम आते हैं।

उदाहरण के लिए: हम दो पासे फेंकते समय छक्का आने की संभावना जान सकते हैं, इसे P(6 फेंकना) कहते हैं, और दोनों पासों के सम संख्या पर आने की संभावना, इसे P(सम संख्या) कह सकते हैं।

यह अपेक्षाकृत आसान है। लेकिन कभी-कभी हम इस संभावना को निर्धारित करने में रुचि रखते हैं कि जब दो पासे फेंके जाते हैं, तो वे दोनों एक सम संख्या के साथ आते हैं या उनका योग छह होता है। सांख्यिकीय संकेतन और समूह सिद्धांत में, यह “या” प्रतीक यू के साथ दर्शाया गया है जो दो घटनाओं के मिलन को इंगित करता है और इस मामले में, इस संभावना को निम्नानुसार दर्शाया जाएगा:

इस प्रकार की संभावनाओं की गणना अलग-अलग संभावनाओं और अतिरिक्त नियमों के माध्यम से कुछ अतिरिक्त डेटा से की जा सकती है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक मामले में हमें कौन से जोड़ नियम का उपयोग करना चाहिए, यह उन घटनाओं की संख्या पर निर्भर करता है जिन पर हम विचार कर रहे हैं और ये घटनाएँ पारस्परिक रूप से अनन्य हैं या नहीं। कुछ साधारण मामलों के लिए अतिरिक्त नियम नीचे वर्णित हैं।

केस 1: विसंधित या परस्पर अनन्य घटनाओं के लिए योग नियम

दो घटनाओं को पारस्परिक रूप से अनन्य कहा जाता है जब उनमें से एक की घटना दूसरे के होने की संभावना को बाहर करती है। अर्थात्, वे ऐसी घटनाएँ हैं जो एक ही समय में घटित नहीं हो सकतीं। उदाहरण के लिए, एक पासे को फेंकते समय, वह परिणाम जिसमें 4 आता है, उसमें यह शामिल नहीं है कि अन्य 5 संभावित परिणामों में से कोई भी आया है।

यदि हम दो या दो से अधिक घटनाओं (ए, बी, सी…) पर परस्पर अनन्य विचार करते हैं, तो संघ संभावना में इन घटनाओं में से प्रत्येक की व्यक्तिगत संभावनाओं का योग होता है। अर्थात्, इस मामले में संघ संभावना द्वारा दिया गया है:

इसे वेन आरेख के माध्यम से सबसे आसानी से समझा जा सकता है। यहाँ नमूना स्थान एक आयताकार क्षेत्र द्वारा दर्शाया गया है; जबकि, इस बड़े क्षेत्र के भीतर प्रत्येक घटना की संभावना को सेक्टरों द्वारा दर्शाया गया है। एक वेन आरेख में, परस्पर अनन्य घटनाओं को अलग-अलग क्षेत्रों के रूप में देखा जाता है जो न तो स्पर्श करते हैं और न ही ओवरलैप करते हैं।

इस प्रकार के आरेखों में, संघ संभाव्यता की गणना में उन सभी घटनाओं के कब्जे वाले कुल क्षेत्रफल को प्राप्त करना शामिल है जिनकी संभावनाओं पर हम विचार कर रहे हैं। पिछली छवि के मामले में, इसका तात्पर्य सेक्टर ए, बी और सी के कुल क्षेत्रफल को प्राप्त करना है, जो कि निम्न आकृति में नीला क्षेत्र है।

यह देखना आसान है कि यदि उपरोक्त दो छवियों के मामले में घटनाएं अलग-अलग हैं, तो संघ संभावना केवल तीन क्षेत्रों का योग है।

उदाहरण 1: एक पासा फेंकते समय एक समान परिणाम प्राप्त करने की प्रायिकता की गणना

मान लीजिए कि हम एक पासा फेंकते हैं और हम एक सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता जानना चाहते हैं। चूँकि 6-पक्षीय पासे पर केवल संभव सम संख्याएँ 2, 4, और 6 हैं, तो हम वास्तव में जानना चाहते हैं कि पासे के 2, 4, या 6 पर आने की प्रायिकता है, क्योंकि इनमें से किसी भी मामले पर एक सम संख्या में आ गए हैं।

6 में से किसी भी चित के आने की प्रायिकता 1/6 है (जब तक कि यह उचित पासा है)। इसके अलावा, जैसा कि हमने कुछ समय पहले देखा, तीन परिणाम परस्पर अनन्य घटनाएँ हैं, क्योंकि यदि 2 रोल, 4 या 6 रोल नहीं हो सकते हैं, और इसी तरह। इन शर्तों के तहत, संघ संभावना द्वारा दिया जाता है:

स्थिति 2: दो घटनाओं के लिए योग नियम जो परस्पर अपवर्जी नहीं हैं

यदि A और B ऐसी घटनाएँ हैं जो एक दूसरे के साथ परिणाम साझा करती हैं, अर्थात वे एक ही समय में घटित हो सकती हैं, तो घटनाओं को पारस्परिक रूप से अनन्य नहीं कहा जाता है। इस मामले में, वेन आरेख इस तरह दिखता है:

जैसा कि देखा जा सकता है, नमूना स्थान का एक क्षेत्र है जिसमें दोनों घटनाएं एक ही समय में होती हैं। यदि हम संघ की संभावना का निर्धारण करना चाहते हैं, अर्थात P(AUB), तो हमें पिछले चित्र में दाईं ओर वेन आरेख में दर्शाए गए क्षेत्र को खोजने की आवश्यकता है।

यह देखना आसान है कि इस मामले में, यदि हम केवल ए और बी के क्षेत्रों को जोड़ते हैं, तो हम सामान्य क्षेत्र की दो बार गणना करेंगे, इसलिए हमें एक क्षेत्र (पढ़ें, प्रायिकता) जो हम चाहते हैं उससे बड़ा मिलेगा। इस अतिरिक्त त्रुटि को ठीक करने के लिए, घटनाओं ए और बी द्वारा साझा किए गए क्षेत्र को घटाना आवश्यक है, जो प्रतिच्छेदन की संभावना से मेल खाता है:

संघ की संभावना के लिए यह अभिव्यक्ति पिछले मामले पर भी लागू होती है, क्योंकि पारस्परिक रूप से अनन्य होने के कारण, संभावना है कि वे एक ही समय में होते हैं (प्रतिच्छेदन की संभावना) शून्य है।

उदाहरण 2: एक पासा फेंकते समय सम परिणाम प्राप्त करने या 4 से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता की गणना

इस मामले में, दोनों घटनाएँ परिणाम 2 साझा करती हैं, जो दोनों सम और 4 से कम है, इसलिए संघ संभावना होगी:

स्थिति 3: तीन घटनाओं के लिए योग नियम जो परस्पर अपवर्जी नहीं हैं

एक और थोड़ा अधिक जटिल मामला तब होता है जब 3 घटनाएँ घटित होती हैं जो परस्पर अनन्य नहीं होती हैं, जैसे कि निम्नलिखित वेन आरेख में दिखाया गया है:

इस मामले में, तीन क्षेत्रों का योग ए और बी के बीच, बी और सी के बीच और सी और डी के बीच चौराहे के दो बार गिना जाता है, और तीन घटनाओं ए, बी और सी के चौराहे क्षेत्र के तीन गुणा की गणना करता है। यदि हम करते हैं पहले की तरह और तीन क्षेत्रों के योग से घटनाओं की प्रत्येक जोड़ी के बीच चौराहे के क्षेत्रों को घटाएं, हम केंद्र के क्षेत्र का तीन गुना घटाएंगे, इसलिए इसे तीन घटनाओं के प्रतिच्छेदन की संभावना के रूप में जोड़ा जाना चाहिए। अंत में, तीन गैर-अनन्य घटनाओं के लिए सामान्य जोड़ नियम इस प्रकार दिया गया है:

पहले की तरह, यह अभिव्यक्ति तीन घटनाओं के किसी भी सेट के लिए सामान्य है, चाहे वे अलग हों या न हों, क्योंकि इस मामले में चौराहे खाली होंगे और परिणाम पहले मामले की समान अभिव्यक्ति होगी।

उदाहरण 3: एक सम संख्या, 10 से छोटी संख्या या 20 भुजाओं वाले पासे पर अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता की गणना

इस मामले में, तीन घटनाएं हैं जो परिणामों के बीच साझा करती हैं और उन परिणामों को भी शामिल करती हैं जिन्हें साझा नहीं किया जाता है, इसलिए उपरोक्त अभिव्यक्ति द्वारा संघ की संभावना दी जाती है।

व्यक्तिगत घटनाओं की संभावनाएं हैं:

अब, चौराहे की संभावनाएं हैं:

अब, संघ संभाव्यता के लिए समीकरण लागू करना:

संदर्भ

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• लुमेन। (रा)। संभाव्यता नियम | असीम सांख्यिकी । https://courses.lumenlearning.com/boundless-statistics/chapter/probability-rules/#:%7E:text=The%20addition%20rule%20states%20the,probability%20that%20both%20will%20happen से लिया गया ।
• मेटमोबाइल। (2021, 1 जनवरी)। संभावनाओं के योग या जोड़ का नियम | matmobile . Https://matemovil.com/regla-de-la-suma-o-adicion-de-probabilidades/ से लिया गया
• वेबस्टर, ए। (2001)। सांख्यिकी व्यापार और अर्थव्यवस्था के लिए लागू (स्पेनिश संस्करण) । टोरंटो, कनाडा: इरविन प्रोफेशनल पब्लिशिंग।