स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणन नियम

ऐसी कई स्थितियाँ हैं जिनमें हम दो घटनाओं के एक साथ घटित होने की प्रायिकता ज्ञात करने में रुचि रखते हैं। उनमें से कुछ हैं:

• दो पासों को एक साथ या एक के बाद एक उछालने पर दोहरा छक्का आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
• प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक समूह से यदृच्छया चुना गया व्यक्ति महिला और साँवली दोनों है।
• स्कूल के एक वर्ग से विपरीत लिंग के छात्रों के जोड़े को चुनने की प्रायिकता।
• अंतरिक्ष रॉकेट लॉन्च में एक ही समय में दो निरर्थक नियंत्रण प्रणालियों के विफल होने की संभावना।

इस वर्ग की समस्याओं को संभावनाओं के गुणन के सामान्य नियम के माध्यम से हल किया जा सकता है। यह नियम स्थापित करता है कि, दो घटनाओं ए और बी के लिए, संभावना है कि वे एक साथ होते हैं, अर्थात्, प्रतिच्छेदन की संभावना, द्वारा दी गई है:

इस समीकरण में, P(A|B) सशर्त प्रायिकता है कि घटना A घटित होती है, जैसा कि B दिया गया है। उपरोक्त सामान्य गुणन नियम है और घटनाओं के किसी भी युग्म पर लागू होता है। कुछ मामलों में, सशर्त संभाव्यता अज्ञात है या निर्धारित करना मुश्किल है; हालाँकि, स्वतंत्र घटनाओं के मामले में, स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणन नियम को जन्म देने के लिए इस संभावना को सरल बनाया गया है।

स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणन नियम

स्वतंत्र घटनाएँ क्या हैं?

दो घटनाएँ A और B एक दूसरे से स्वतंत्र हैं यदि उनमें से एक का घटित होना दूसरे के घटित होने की संभावना को प्रभावित नहीं करता है। गणितीय शब्दों में, इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी घटना के घटित होने की सशर्त संभावना, यह देखते हुए कि हम जानते हैं कि दूसरा घटित हो चुका है, पहले घटित होने की साधारण संभावना के बराबर है। दूसरे शब्दों में, दो घटनाएँ तभी स्वतंत्र होंगी यदि:

उपरोक्त की व्याख्या यह है कि A के घटित होने की संभावना यह देखते हुए कि B हुआ है, A के होने की संभावना के बराबर है। इसका तात्पर्य है कि B के घटित होने से A के घटित होने की संभावना प्रभावित नहीं होती है, इसलिए दोनों घटनाएँ घटित होती हैं। रास्ता।

घटनाओं का कोई भी युग्म जो उपरोक्त शर्तों को पूरा नहीं करता है, आश्रित घटनाएँ होंगी।

इस मामले में गुणन नियम कैसे प्रभावित होता है?

जैसा कि हम देख सकते हैं, स्वतंत्रता स्थिति की पहली अभिव्यक्ति का उपयोग सामान्य गुणन नियम को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है, क्योंकि पहले कारक को ए की साधारण संभावना से बदला जा सकता है, इस प्रकार निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होती है:

उपरोक्त अभिव्यक्ति को स्वतंत्र घटनाओं के लिए संभावनाओं के गुणन के नियम के रूप में जाना जाता है । तात्पर्य यह है कि यदि हम जानते हैं कि दो घटनाएँ एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं और हम उनके घटित होने की संभावनाओं को जानते हैं, तो हम इन संभावनाओं को गुणा करके इन दोनों के एक ही समय में घटित होने की संभावना का पता लगा सकते हैं।

स्वतंत्र घटनाओं के उदाहरण

जानकारी की कमी से यह पहचानना मुश्किल हो सकता है कि क्या दो घटनाएं स्वतंत्र हैं। उदाहरण के लिए, हम सोच सकते हैं कि भूरे बालों का स्तन कैंसर होने से कोई लेना-देना नहीं है, लेकिन मानव शरीर का शरीर विज्ञान इतना जटिल है कि कोई भी डॉक्टर ऐसा बयान देने की हिम्मत नहीं करेगा।

हालाँकि, ऐसे कई सरल प्रयोग हैं जिनमें हम आसानी से पहचान सकते हैं कि दो घटनाएँ स्वतंत्र हैं या नहीं।

• एक ही समय में दो पासे फेंके। दो पासे फेंकते समय, एक का परिणाम किसी भी तरह से दूसरे पर दिखाई देने वाले परिणाम को प्रभावित नहीं करता है, इसलिए यह घटना कि एक दी गई संख्या पर मरता है, इस घटना से स्वतंत्र है कि दूसरा मरता है किसी अन्य संख्या पर। या वही, यहां तक ​​कि।
• एक ही पासे को लगातार दो बार लुढ़काने के परिणाम भी उन्हीं कारणों से एक-दूसरे से स्वतंत्र होते हैं।
• एक सिक्के को दो बार पलटें। यह तथ्य कि यह पहली बार हेड या टेल गिरता है, अगले टॉस के परिणाम को प्रभावित नहीं करेगा।
• एक रेफ़्रिजरेटर फ़ैक्टरी में, जिसमें अलग-अलग कच्चे माल और श्रम का उपयोग करने वाले घटकों के लिए दो स्वतंत्र उत्पादन लाइनें हैं, यह मान लेना स्वीकार्य है कि दो घटकों में से एक के विफल होने की संभावना दूसरे के विफल होने की संभावना से स्वतंत्र है।
• बेतरतीब ढंग से एक डेक से एक कार्ड या डेक खींचना, इसे बदलना, और फिर बेतरतीब ढंग से डेक से एक और कार्ड खींचना अलग-अलग घटनाएँ हैं, क्योंकि मूल कार्ड को डेक में बदलने से किसी भी मूल कार्ड को खींचने की संभावना रीसेट हो जाती है।

घटनाओं के उदाहरण जो स्वतंत्र नहीं हैं

• बेतरतीब ढंग से एक डेक से एक कार्ड या डेक खींचना और फिर उसी डेक से दूसरे कार्ड को पहले वाले को बदले बिना खींचना स्वतंत्र घटना नहीं है, क्योंकि पहले वाले को खींचने से डेक में मौजूद कार्डों की कुल संख्या कम हो जाती है, जो किसी भी कार्ड की संभावना को प्रभावित करता है। अन्य कार्ड बाहर आ रहा है। इसके अलावा, यदि हम पहले कार्ड को नहीं बदलते हैं, तो उस कार्ड के दूसरी बार निकलने की संभावना शून्य हो जाती है।
• एक दौड़ती हुई कार में, कार के इंजन के ज़्यादा गरम होने की संभावना और इंजन को ठंडा करने वाला पानी का पंप विफल होने की संभावना स्वतंत्र घटनाएँ नहीं हैं, क्योंकि अगर पानी का पंप विफल हो जाता है, तो इंजन के ज़्यादा गरम होने की संभावना बढ़ जाती है।
• समझने के लिए एक और भी आसान उदाहरण यह है कि सांख्यिकी में अच्छे ग्रेड प्राप्त करना अध्ययन से स्वतंत्र नहीं है , क्योंकि यदि हम अध्ययन करते हैं, तो हमें अच्छे ग्रेड प्राप्त होने की संभावना अधिक होती है।

स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणन नियम का उपयोग करते हुए संभाव्यता गणना के उदाहरण

उदाहरण 1: एक सिक्के को दो बार उछालना

मान लीजिए कि हम इस संभावना की गणना करना चाहते हैं कि एक सिक्के को दो बार उछालने पर परिणाम दोनों उछालों पर चित आता है।

यदि हम ए को वह घटना कहते हैं जिसमें पहला टॉस हेड आता है और बी वह इवेंट जिसमें दूसरा टॉस लैंड हेड करता है, तो जिस संभावना की हमें गणना करने के लिए कहा जाता है वह बी के साथ ए के प्रतिच्छेदन की संभावना है, क्योंकि हम चाहते हैं कि दोनों घटनाएं हों . अर्थात् अज्ञात P(A∩B) है।

चूँकि प्रत्येक टॉस के लिए केवल दो संभावित परिणाम हैं, किसी भी घटना के घटित होने की प्रायिकता समान है:

अब, चूँकि हम जानते हैं कि घटनाएँ स्वतंत्र हैं, हम प्रतिच्छेदन की प्रायिकता निर्धारित करने के लिए गुणन नियम का उपयोग कर सकते हैं:

उदाहरण 2: दो पासे फेंकना

आइए इस प्रायिकता की गणना करें कि, दो सामान्य छह-पक्षीय पासों को लुढ़काते समय, उनमें से एक एक पर और दूसरा एक सम संख्या पर गिरता है।

आइए निम्नलिखित घटनाओं को ए और बी कहते हैं:

       A = पासों में से एक 1 पर गिरता है।

       B = एक पासा एक सम संख्या पर गिरता है।

हम जो गणना करना चाहते हैं, वह फिर से, P(A∩B) है।

चूँकि प्रत्येक पासे का परिणाम उस संख्या से स्वतंत्र होता है जिसके परिणाम दूसरे पासे होते हैं, हम स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणन नियम का उपयोग करके P(A∩B) की गणना कर सकते हैं। लेकिन पहले, हमें ए और बी की संभावनाओं की आवश्यकता है।

पासे के 6 फलक होते हैं जिनमें 1 से 6 तक की संख्याएँ होती हैं, जिनकी पुनरावृत्ति नहीं होती है। इसलिए, केवल एक 1 है, और तीन सम संख्याएँ हैं, अर्थात् 2, 4, और 6। इसलिए, अलग-अलग घटनाओं के घटित होने की प्रायिकताएँ हैं:

इन संभावनाओं और गुणन नियम का उपयोग करके, हम वांछित संभावना प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 3: भाग जो विफल हो जाते हैं

एक कारखाना जो कंप्यूटर उपकरण बनाता है, अन्य घटकों के बीच, दो अलग-अलग निर्माताओं से दो अलग-अलग चिप्स या एकीकृत सर्किट का उपयोग करता है। पहली चिप के निर्माता के अनुसार, सामान्य परिचालन परिस्थितियों में इसके विफल होने की संभावना 0.00133 है। अपने हिस्से के लिए, दूसरा निर्माता दावा करता है कि स्थापित प्रत्येक 5,000 इकाइयों के लिए उसके केवल दो चिप्स विफल होते हैं। कारखाना मालिक इस संभावना का पता लगाना चाहता है कि दोनों घटक एक ही समय में विफल हो जाएंगे। प्रत्येक चिप ब्रांड की विफलता को दूसरे से स्वतंत्र माना जा सकता है।

इस स्थिति में, कथन स्वयं निर्दिष्ट करता है कि दो घटनाएँ स्वतंत्र हैं, इसलिए हम उपरोक्त गुणन नियम का उपयोग कर सकते हैं। इसके अलावा, पहली चिप के विफल होने की संभावना भी प्रदान की जाती है, जिसे हम घटना A कहेंगे। दूसरी चिप के विफल होने की संभावना (घटना B) की गणना निर्माता द्वारा प्रदान की गई जानकारी से की जा सकती है:

तो संभावना है कि दोनों घटक एक ही समय में विफल हो जाते हैं:

संदर्भ

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