रूले में अपेक्षित मूल्य की गणना कैसे करें

संभाव्यता में, एक यादृच्छिक चर का अपेक्षित मूल्य चर के होने की बड़ी संख्या के औसत मूल्य को संदर्भित करता है । इसकी गणना यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों के भारित औसत के रूप में की जाती है, जहाँ भार कारक प्रत्येक मान के घटित होने की संभावना से अधिक कुछ नहीं होता है।

संभावना के खेल के क्षेत्र में संभाव्यता अध्ययन का एक महत्वपूर्ण क्षेत्र है, जिसमें से रूलेट सबसे लोकप्रिय और समझने में आसान है।

रूलेट क्या है और इसे कैसे खेला जाता है?

एक विशिष्ट अमेरिकी रूलेट व्हील में 1 से 36 तक लेबल वाले स्लॉट की एक श्रृंखला के साथ एक पहिया होता है, जिनमें से 18 काले होते हैं जबकि अन्य 18 लाल होते हैं। इसके अलावा, कुल 38 कोशिकाओं के लिए क्रमशः 0 और 00 की संख्या के साथ पहचाने जाने वाले पहिये के विपरीत छोर पर स्थित दो हरे रंग की कोशिकाएं या स्लॉट हैं।

फ्रेंच रूलेट्स भी हैं, जिनमें 00 बॉक्स नहीं है और इसलिए कुल मिलाकर 37 बॉक्स हैं।

खेल में पहिया घूमता है जबकि एक छोटी गेंद को विपरीत दिशा में फेंका जाता है। जैसे ही स्पिनर और गेंद धीमी हो जाती है, गेंद 37 या 38 पॉकेट या स्लॉट में से किसी एक में गिरकर समाप्त हो जाती है। गेंद के आराम में आने से पहले, प्रतिभागी विभिन्न प्रकार के दांव लगा सकते हैं। कुछ संभावित दांव हैं:

• एक विशिष्ट संख्या पर दांव (आमतौर पर 35: 1 का भुगतान करता है)
• दो सन्निकट नंबरों पर बेट लगाएं (आम तौर पर भुगतान 17:1 होता है)
• लाल या काले रंग पर बेट लगाएं (आमतौर पर 1:1 का भुगतान होता है)
• विषम या सम संख्याएँ (आमतौर पर 1:1 भुगतान करती हैं)
• लो या हाई बेट, यानी पहले 18 नंबर (1 से 18 तक) या आखिरी 18 (19 से 36 तक) (आम तौर पर 1:1 का भुगतान करता है)
• पहला दर्जन (1-12) (आमतौर पर 2:1 भुगतान करता है)
• दूसरा दर्जन (13 से 24 तक) (आमतौर पर 2:1 भुगतान करता है)
• तीसरा दर्जन (25 से 36 तक) (आमतौर पर 2:1 भुगतान करता है)

जैसा कि आप देख सकते हैं, इनमें से प्रत्येक दांव एक विशिष्ट भुगतान प्रदान करता है, जो इसके होने की संभावना पर निर्भर करता है।

अगला, हम विभिन्न प्रकार के दांवों के अनुसार जीत के अपेक्षित मूल्य की गणना करेंगे जो हम एक अमेरिकी रूलेट व्हील में लगा सकते हैं। यहां प्राप्त परिणामों को आसानी से सभी संभावनाओं के भाजक में संभावित परिणामों की कुल संख्या को बदलकर आसानी से फ्रेंच रूलेट के लिए एक्सट्रपलेशन किया जाता है।

सभी मामलों में, हम प्रत्येक डॉलर के दांव के लिए जीत का अपेक्षित मूल्य निर्धारित करेंगे, हालांकि संख्यात्मक मूल्य को किसी अन्य मुद्रा में ले जाया जा सकता है। इसके अलावा, इस अपेक्षित मूल्य को दांव के वास्तविक मूल्य से गुणा करने पर उस दांव के अपेक्षित मूल्य का उत्पादन होगा। इसलिए, यदि हम $1 की शर्त लगाने के बजाय $100 की शर्त लगाते हैं, तो हमें केवल $1 की शर्त के अपेक्षित मूल्य को 100 से गुणा करना होगा।

रूले में दांव के अपेक्षित मूल्य की गणना करने का सूत्र

यादृच्छिक चर जिसका अपेक्षित मूल्य हम निर्धारित करना चाहते हैं वह वह राशि है जो हम जीतेंगे, औसतन, यदि हम एक ही रूलेट को बड़ी संख्या में दांव लगाते हैं। जब हम एक शर्त लगाते हैं, तो हम एक प्रयोग कर रहे होते हैं जिसके केवल दो संभावित परिणाम होते हैं: हम जीतते हैं या हारते हैं। अगर गेंद हमारे दांव से मेल खाने वाले बॉक्स में गिरती है तो हम जीत जाएंगे, और अन्यथा हम हार जाएंगे।

यदि हम X को सट्टेबाजी से प्राप्त लाभ कहते हैं (हमारा यादृच्छिक चर), p सफलता की संभावना, x ₁ लाभ जो हम जीतेंगे तो प्राप्त करेंगे, q विफलता की संभावना और x ₂ लाभ (या हानि) यदि हम प्राप्त करेंगे हम हार जाते हैं, तो हम शर्त के अपेक्षित मूल्य की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:

अब हम देखेंगे कि इस फॉर्मूले को उन विभिन्न दांवों पर कैसे लागू किया जाए जो हम लगा सकते हैं।

रूले में किसी विशेष नंबर पर दांव लगाने का अपेक्षित मूल्य

मान लीजिए कि हम किसी विशेष संख्या (0, 00, 1, 2, 3, …) पर $1 की शर्त लगाते हैं।

इस बेट का भुगतान, क्या हमें जीतना चाहिए, 35 से 1 है, जिसका अर्थ है कि हम प्रत्येक $1 के लिए $35 प्राप्त करते हैं, साथ ही हम अपना $1 दांव लगाते हैं। फिर हम कहेंगे कि सफलता की स्थिति में हमारे यादृच्छिक चर का मान (x ₁ ) होगा, इस मामले में, +$35, क्योंकि वह शुद्ध लाभ है। सफलता की संभावना (पी) 1/38 है, क्योंकि कुल 38 अलग-अलग वर्ग हैं जिनमें गेंद गिर सकती है जबकि केवल 1 जिसके साथ हम जीतेंगे।

दूसरी ओर, यदि गेंद किसी अन्य नंबर पर गिरती है, तो हम बाजी हार जाते हैं, जिस स्थिति में घर $1 रखता है हम शर्त लगाते हैं। इस प्रकार, हमारा “लाभ” -$1 होगा क्योंकि हम वास्तव में पैसे खो देते हैं। हारने की संभावना (q) 37/38 है, क्योंकि हम जिस नंबर पर बेट लगाते हैं, उसके अलावा कोई भी बॉक्स हमें हार देगा। इस डेटा के साथ, हम सूत्र लागू कर सकते हैं और इस शर्त के अपेक्षित मूल्य का निर्धारण कर सकते हैं:

दूसरे शब्दों में, रूले में किसी विशेष संख्या पर दांव लगाने का अपेक्षित मूल्य प्रत्येक डॉलर के लिए 5.3 सेंट का नुकसान है, जिस पर हम दांव लगाते हैं।

दो सन्निकट नंबरों पर दांव लगाने का अपेक्षित मूल्य

मान लीजिए कि हम दो आसन्न संख्याओं, जैसे 2 और 3 या 17 और 20 (जो लंबवत आसन्न हैं) के बीच एक चिप लगाकर $1 की शर्त लगाते हैं।

इस बेट के लिए भुगतान, पिछले वाले के विपरीत, 17 से 1 है, जिसका अर्थ है कि हम प्रत्येक $1 के लिए $17 वापस प्राप्त करते हैं, साथ ही हमें अपना $1 वापस मिलता है। जीत होगी, इस मामले में, +$17, जबकि सफलता की संभावना (पी) 2/38 होगी, क्योंकि दो संख्याएं हैं जो हमें जीत दिलाएंगी जबकि अभी भी वही 38 सेल हैं।

दूसरी ओर, यदि हम हार जाते हैं, तो हम उसी $1 को फिर से खो देते हैं जिस पर हमने दांव लगाया था, लेकिन हारने की संभावना (q) अब 36/38 है। इस शर्त का अपेक्षित मूल्य तब है:

फिर से, यह उम्मीद की जाती है कि रूले में आसन्न संख्याओं के किसी भी जोड़े पर कई बार दांव लगाने से, औसतन हम प्रत्येक डॉलर के लिए 5.3 सेंट खो देंगे।

दर्जनों द्वारा सट्टेबाजी का अपेक्षित मूल्य

रूले में हम छह अलग-अलग दांव लगा सकते हैं जिनमें एक दर्जन संभावित अनुकूल परिणाम शामिल हैं; उनमें से तीन में पहले, दूसरे या तीसरे दर्जन नंबरों (0 या 00 को शामिल नहीं) पर दांव लगाना शामिल है, और अन्य तीन में तीन स्तंभों में से एक पर दांव लगाना शामिल है जिसमें संख्याएं रूले की टेबल पर व्यवस्थित होती हैं।

इनमें से किसी भी दांव के लिए भुगतान 2 से 1 है, जिसका अर्थ है कि हम प्रत्येक $1 के लिए $2 जीतते हैं और अपना $1 वापस प्राप्त करते हैं। सफलता की संभावना 12/38 है क्योंकि हम 12 अलग-अलग नंबरों की टोकरी पर दांव लगा रहे हैं। अंत में, विफलता की संभावना 26/38 है जिसमें $ 1 का समान नुकसान (या – $ 1 का लाभ, जो एक ही बात है)।

हमारे यादृच्छिक चर का अपेक्षित मूल्य इस मामले में है:

रेड या ब्लैक, ईवन या ऑड, या लो या हाई पर बेटिंग का अपेक्षित मूल्य

अंत में, रूलेट में हम छह अलग-अलग दांव लगा सकते हैं जो सफलता की समान संभावना और जीतने पर समान भुगतान, साथ ही विफलता की समान संभावना और हारने पर धन की समान हानि दोनों प्रस्तुत करते हैं, इसलिए हम सभी के लिए समान रूप से उनके अपेक्षित मूल्य की गणना करेंगे। ये दांव हैं:

• लाल पर दांव लगाओ।
• काले पर शर्त
• सम संख्या पर दांव लगाएं
• विषम संख्या पर दांव
• निचली 18 संख्याओं पर दांव लगाएं (1 से 18 तक की संख्याएं)
• उच्च 18 नंबरों पर बेट लगाएं (19 से 36 तक की संख्याएं)

हालांकि वे बहुत अलग दांव की तरह दिखते हैं, वे वास्तव में बिल्कुल एक जैसे हैं। वे सभी प्रत्येक $1 दांव के लिए $1 का भुगतान करते हैं, साथ ही $1 लौटाया जाता है, इसलिए वे सभी +$1 शुद्ध करते हैं।

इसके अलावा, उन सभी की सफलता की समान संभावना है (और, पूरक द्वारा, विफलता की)। उदाहरण के लिए, 1 से 36 तक की आधी संख्या लाल रंग से पहचानी जाती है, जबकि दूसरी आधी संख्या काले रंग से पहचानी जाती है, इसलिए 18/38 संभावना है कि यह लाल या काली आएगी (याद रखें कि 0 और 00 हरे हैं, इस प्रकार कुल 38 संभावित परिणाम पूरे होते हैं)।

विषम और सम संख्याओं के संबंध में, चूँकि लगातार 36 संख्याएँ हैं, आधी सम संख्याएँ होंगी (2, 4, 6, 8, 10, 12, ,…, 34 और 36) और दूसरी छमाही विषम (1, 3, 5, 7, 9, 11, …, 33 और 35)। हमें याद रखना चाहिए कि शून्य को सम या विषम संख्या नहीं माना जाता है, इसलिए न तो 0 और न ही 00 बॉक्स दो परिणामों में से किसी का हिस्सा हैं।

अंत में, 18 निम्न संख्याएं और 18 उच्च संख्याएं हैं, इसलिए एक या दूसरे परिणाम प्राप्त करने की संभावना भी 18/38 है।

दूसरी ओर, इन सभी मामलों में विफलता में बेट प्लस 0 और 00 में न गिने जाने वाले अन्य आधे नंबर शामिल हैं, इसलिए कुल 20 संभावित प्रतिकूल परिणाम हैं। इसका तात्पर्य 20/38 की विफलता की संभावना है।

इनमें से किसी भी दांव का अपेक्षित मूल्य तब है:

इन परिणामों की व्याख्या कैसे की जाती है?

इस परिणाम का मतलब यह नहीं है कि यदि हम एक कैसीनो में प्रवेश करते हैं और 21 पर $1 की शर्त लगाते हैं, उदाहरण के लिए, हम $0.053 खो देंगे। वास्तव में, यदि हम केवल एक बार खेलते हैं , तो हम या तो घर $1 कम कमाएंगे, या $35 अधिक।

इस परिणाम का अर्थ यह है कि यदि हम रूलेट पर कई बार दांव लगाते हैं और हमेशा एक ही नंबर पर दांव लगाते हैं, तो कभी-कभी हम $35 जीतेंगे और अन्य बार हम $1 खो देंगे, लेकिन औसतन हम प्रत्येक डॉलर के दाँव पर $0.053 खो देंगे।

यह परिणाम लोकप्रिय कहावत की पुष्टि करता है कि “बैंक हमेशा जीतता है,” इस तथ्य का जिक्र करते हुए कि, भले ही एक कैसीनो कभी-कभी किसी भाग्यशाली जुआरी को जैकपॉट का भुगतान करता है, वे हमेशा वह सब कुछ जीतेंगे जो उन्होंने खोया है, और इससे भी अधिक। सभी छोटे दांव जिनमें प्रतिभागी हार जाते हैं।

संदर्भ

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