गणित में कोष्ठक, कोष्ठक और कोष्ठक का उपयोग कब और कैसे करें

अंकगणितीय गणनाओं या बीजगणितीय व्यंजकों को शामिल करने वाले प्रतीकों के संयोजन में, तीन प्रतीकों को खोजना आम है, जो अक्सर उनके उपयोग में भ्रमित होते हैं; कोष्ठक ( ), वर्गाकार कोष्ठक [], और कोष्ठक { }। आइए देखते हैं कि विचारों को ठीक करने के लिए कुछ उदाहरणों के साथ प्रत्येक का विशिष्ट अनुप्रयोग क्या है।

कोष्ठक ( ) का उपयोग किसी गणना या बीजगणितीय समीकरण में समूह संख्याओं और चरों के लिए किया जाता है। जब हम विभिन्न अंकगणितीय संक्रियाओं के बीच में कोष्ठक पाते हैं, तो हमें बताया जाता है कि उन्हें किस क्रम में किया जाना चाहिए। आइए याद रखें कि, बिना किसी अन्य संकेत के, गुणा और भाग जोड़ और घटाव पर वरीयता लेते हैं, और गुणा और भाग पर घातांक। जब एक ही प्राथमिकता के साथ संचालन किया जाना चाहिए, गणना गणितीय अभिव्यक्ति में बाएं से दाएं आगे बढ़ती है। आइए निम्नलिखित उदाहरण में संचालन के क्रम को इंगित करने वाले कोष्ठकों की भूमिका देखें।

9 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 6

कोष्ठक हमें बताते हैं कि इसके स्थान पर प्रस्तावित ऑपरेशन को पहले प्राथमिकता के सामान्य क्रम पर विचार किए बिना किया जाना चाहिए जिसमें अंकगणितीय ऑपरेशन किए जाते हैं। इस उदाहरण में घटाव से पहले गुणा और भाग की संक्रियाएँ करनी होंगी, हालाँकि संक्रिया 8 – 3 कोष्ठक में संलग्न होने के कारण हमें यह गणना पहले करनी होगी। एक बार कोष्ठक के अंदर सभी गणनाएं पूरी हो जाने के बाद, इस मामले में केवल 8 – 3, वे समाप्त हो जाते हैं और हम सामान्य प्राथमिकताओं के साथ अन्य कार्यों के साथ आगे बढ़ते हैं। इस मामले में (8 – 3) को 5 से बदल दिया जाता है, और इस गणना का संकल्प अनुक्रम निम्नलिखित होगा।

9 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 6 = 9 – 5 ÷ 5 × 2 + 6

9 – 5 ÷ 5 × 2 + 6 = 9 – 1 × 2 + 6

9 – 1 × 2 + 6 = 9 – 2 + 6

9 – 2 + 6 = 7 + 6

7 + 6 = 13

कोष्ठक भी स्पष्ट रूप से इंगित करते हैं कि यह एक गुणन संक्रिया है। उदाहरण के लिए, व्यंजक 3(2 + 5) में कोष्ठक इंगित करते हैं कि योग पहले कोष्ठक के स्थान, 2 + 5 के अंदर किया जाना चाहिए। लेकिन तीन और कोष्ठक के स्थान के बीच कोई स्पष्ट संक्रिया नहीं है, इसलिए जो गुणा माना जाता है। एक अधिक सामान्य मामला, दो कोष्ठकों के साथ, अभिव्यक्ति (6 –3)(2 + 3) होगा। फिर से, पहले हमें कोष्ठकों के बीच की जगह में दो गणनाओं को हल करना है, जो कि 6 – 3 और 2 + 3 है, और फिर हम मानते हैं कि हमें दोनों परिणामों का गुणनफल करना है। स्पष्टता के लिए, आइए गणना विकसित करें।

(6 – 3) (2 + 3) = (6 – 3) × (2 + 3)

(6 – 3) × (2 + 3) = (3) × (3)

(3) × (3) = 3 × 3

3 × 3 = 9

ब्रैकेट का उपयोग तब भी किया जाता है जब गणना में या बीजगणितीय समीकरण में समूह संख्या और चर के लिए आवश्यक होता है, लेकिन जब कोष्ठक पहले ही उपयोग किए जा चुके होते हैं। यही है, यदि पहले से ही समूहीकृत स्थान में संख्याओं और चरों को समूहित करना आवश्यक है, तो आंतरिक समूह को कोष्ठकों के साथ और बाहरी को वर्ग कोष्ठकों के साथ इंगित किया जाता है। यदि एक ही स्थान में एक और तीसरे क्रम का समूह बनाना आवश्यक है, तो ब्रेसिज़ का उपयोग किया जाएगा। अनुक्रम, जिसे नेस्टेड कोष्ठक के रूप में भी जाना जाता है, निम्नलिखित क्रम का पालन करेगा: { [ ( ) ] }

आइए गणितीय अभिव्यक्ति का एक उदाहरण देखें जो कोष्ठक और वर्ग कोष्ठक को जोड़ता है। कोष्ठक के मामले में, यदि कोष्ठक के आगे कोई स्पष्ट संक्रिया नहीं है तो यह माना जाता है कि यह एक गुणन है।

4 – 3 [4 – 2 (6 – 3)] ÷ 3

इस व्यंजक में, हमें सबसे पहले कोष्ठकों के स्थान के भीतर संक्रियाओं को हल करने की आवश्यकता है।

4 – 2(6 – 3)

बदले में, इस अभिव्यक्ति में प्राथमिकताओं का क्रम कोष्ठकों द्वारा इंगित किया गया है; सबसे पहले, आपको 6 – 3 के अंतर को हल करना होगा। आइए गणना क्रम के पूर्ण विकास को देखें।

4 – 3[4 – 2(6 – 3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 2 × (6 – 3)] ÷ 3

4 – 3 × [4 – 2 × (6 – 3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 2 × (3)] ÷ 3

4 – 3 × [4 – 2 × (3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 6] ÷ 3

4 – 3 × [4 – 6] ÷ 3 = 4 – 3 × [-2] ÷ 3

4 – 3 × [-2] ÷ 3 = 4 + 6 ÷ 3

4 + 6 ÷ 3 = 4 + 2

4 + 2 = 6

अब आइए एक उदाहरण देखें जो तीन प्रतीकों को जोड़ता है।

2{1 + [4(2 + 1) + 3]}

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, सामान्य नियम नेस्टेड कोष्ठकों को अंदर से बाहर हल करना है। आइए गणना क्रम देखें।

2{1 + [4(2 + 1) + 3]} = 2 × {1 + [4 × (2 + 1) + 3]}

2 × {1 + [4 × (2 + 1) + 3]} = 2 × {1 + [4 × (3) + 3]}

2 × {1 + [4 × (3) + 3]} = 2 × {1 + [12 + 3]}

2 × {1 + [12 + 3]} = 2 × {1 + [15]}

2 × {1 + [15]} = 2 × {16}

2 × {16} = 32

कोष्ठक, कोष्ठक और ब्रेसिज़ को भी अक्सर क्रमशः गोल, चौकोर और घुंघराले कोष्ठक के रूप में संदर्भित किया जाता है। कुछ भावों में केवल कोष्ठकों का उपयोग तब भी किया जाता है जब कई नेस्टेड गणना स्थान होते हैं। यह विशेष रूप से तब किया जाता है जब नेस्टिंग तीन स्तरों से अधिक होती है, उस स्थिति में अब ऐसे प्रतीक नहीं होंगे जो नेस्टिंग स्तरों को अलग करते हों। जब केवल कोष्ठकों का उपयोग किया जाता है, तो नेस्टिंग में कोष्ठकों के बीच पहले स्थान की पहचान करने, इसे हल करने और फिर अगले स्तर तक आगे बढ़ने के लिए विशेष ध्यान रखा जाना चाहिए।

झरना

शमूएल Selzer, बीजगणित और विश्लेषणात्मक ज्यामिति। दूसरा संस्करण। ब्यूनस आयर्स, 1970।