कैसे पता करें कि कोई नंबर प्राइम है

एक अभाज्य संख्या 1 से बड़ी संख्या होती है जिसे केवल स्वयं और 1 से ठीक-ठीक विभाजित किया जा सकता है। यदि किसी संख्या को किसी अन्य संख्या से ठीक-ठीक विभाजित किया जा सकता है जो स्वयं या 1 नहीं है, तो यह अभाज्य संख्या नहीं है और इसे यौगिक संख्या कहा जाता है।

भाजक और गुणक

अभाज्य संख्याओं का अध्ययन करने के लिए छात्रों को यह जानना आवश्यक है कि भाजक क्या है और गुणज क्या है। ये दो प्रकार की संख्याएँ अक्सर भ्रमित होती हैं। एक विभाजक एक संख्या है जो एक निश्चित संख्या को पूरी तरह विभाजित करती है। एक बहु एक संख्या है जो एक निश्चित संख्या को दूसरे पूर्णांक से गुणा करने के परिणामस्वरूप होती है।

अभाज्य संख्याएँ पूर्णांक हैं जो एक से अधिक होनी चाहिए; इसलिए 0 और 1 को अभाज्य संख्या नहीं माना जाता है, और न ही कोई संख्या शून्य से कम होती है। संख्या 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है, क्योंकि यह अपनी परिभाषा को पूरा करती है: इसे केवल स्वयं और 1 से विभाजित किया जा सकता है।

अभाज्य संख्या की पहचान करने के लिए गुणनखंडन विधि

आप यह जल्दी से निर्धारित कर सकते हैं कि क्या कोई संख्या इसे गुणनखंड करके या इसके प्रमुख कारकों में तोड़कर प्रमुख है। किसी संख्या को फैक्टर करने में उसके प्रमुख विभाजकों की पहचान होती है, एक भाजक एक पूर्णांक संख्या होती है जिसे मूल संख्या प्राप्त करने के लिए दूसरे से गुणा किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, यदि हम संख्या 10 पर विचार करते हैं, तो संख्याएँ 2 और 5 10 के विभाजक हैं क्योंकि उनमें से प्रत्येक एक पूर्णांक है जिसे परिणाम 10 प्राप्त करने के लिए दूसरे से गुणा किया जा सकता है। साथ ही, 1 और 10 भी भाजक हैं 10. इसके अलावा, 2 और 5 अभाज्य संख्याएँ हैं, और फिर संख्या 10 की संख्या के प्रमुख कारक हैं, क्योंकि 1 और 10 दोनों ही अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं, और 2 और 5 तब के प्रमुख कारकों में गुणनखंड या अपघटन का गठन करते हैं। संख्या 10 इस प्रकार हम देखते हैं कि संख्या 10 में स्वयं और संख्या 1 के अलावा अन्य कारक हैं, इसलिए 10 एक अभाज्य संख्या नहीं है।

छात्रों के लिए फैक्टरिंग का उपयोग करने का एक आसान तरीका यह निर्धारित करने के लिए है कि क्या कोई संख्या अभाज्य है, उन्हें गिनने के लिए ठोस आइटम देना है, जैसे कि बटन या सिक्के, जो एक निश्चित पूर्ण संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं। फिर वे उन्हें छोटे समूहों में विभाजित कर सकते हैं और पहचान सकते हैं कि क्या वे छोटे समूह जो इसे बनाते हैं, दोहराए जाते हैं और इस प्रकार एक विभाजक का गठन करते हैं। उदाहरण के लिए, वे 10 बटनों को पाँच के दो समूहों या दो के पाँच समूहों में विभाजित कर सकते हैं।

क्रमिक रूप से कारकों का निर्धारण करके किसी संख्या का फैक्टरिंग या प्राइम फैक्टराइजेशन किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आप संख्या 30 को प्रमुख कारकों में विभाजित करना चाहते हैं, तो आप 10 x 3 या 15 x 2 से शुरू कर सकते हैं। प्रत्येक मामले में, प्रत्येक घटक को तब तक गुणनखंड करना जारी रखें जब तक आपको केवल प्रमुख कारक न मिलें; इस मामले में 10 (2 x 5) और 15 (3 x 5)। अंतिम परिणाम वही अभाज्य गुणनखंड उत्पन्न करेगा क्योंकि किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंड अद्वितीय होता है। इस उदाहरण में यह 2, 3 और 5 है, क्योंकि 5 x 3 x 2 = 30, जैसा कि 2 x 3 x 5 है।

एक कैलकुलेटर का उपयोग करना

पिछले अनुभाग में वर्णित विधि का उपयोग करने के बाद, छात्र एक कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं और यह निर्धारित करने के लिए विभाज्यता की अवधारणा को लागू कर सकते हैं कि कोई संख्या अभाज्य है या नहीं।

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या अभाज्य है, छात्र संख्या को कैलकुलेटर में दर्ज कर सकता है और देख सकता है कि क्या इसे मूल संख्या से कम किसी पूर्ण संख्या से समान रूप से विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम संख्या 57 पर विचार करें, तो हम इसे 2 से विभाजित करने का प्रयास कर सकते हैं और हम देखेंगे कि भागफल 28.5 है, जो पूर्णांक नहीं है। लेकिन इसे 3 से भाग देने पर 19 अंक प्राप्त होगा; इसलिए 19 और 3, 1 और 57 से भिन्न 57 के विभाजक हैं, इस प्रकार यह दर्शाता है कि 57 एक अभाज्य संख्या नहीं है।

साधारण पेंसिल और कागज विभाजन भी युवाओं को यह सिखाने का एक अच्छा तरीका हो सकता है कि कैसे अभाज्य संख्याएँ निर्धारित की जाएँ। प्रश्न में दी गई संख्या को पहले 2 से विभाजित किया जाता है, फिर 3 से, फिर 5 से और इसी तरह निम्नलिखित अभाज्य संख्याओं से तब तक विभाजित किया जाता है जब तक हम उस संख्या तक नहीं पहुँच जाते जिसका हम अध्ययन कर रहे हैं। यदि सबसे छोटी अभाज्य संख्याओं से भाग देने का परिणाम किसी भी स्थिति में पूर्णांक नहीं देता है, तो प्रश्न में दी गई संख्या अभाज्य है। यह सरल विधि विद्यार्थियों को यह समझने में मदद करने में उपयोगी है कि कोई संख्या अभाज्य क्या होती है।