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L’écart type, représenté soit par la lettre grecque σ (sigma) soit par la lettre S , est une mesure de la variabilité d’une série de données. Plus précisément, il représente une mesure des écarts moyens des données d’un échantillon ou d’une population par rapport à la moyenne de la population, indiquant ainsi la dispersion des données autour de ladite valeur de tendance centrale.
Un écart-type élevé indique qu’en moyenne, les données sont éloignées de la moyenne dans les deux sens (les données sont très dispersées), tandis qu’un petit écart-type indique le contraire.
L’écart type est toujours calculé comme la racine carrée d’une autre mesure de variabilité, appelée la variance. Il existe plusieurs façons de calculer la variance selon le type de données disponibles (échantillon ou population), ce qui entraîne plus d’une façon de calculer l’écart type.
Dans les deux cas, des formules légèrement différentes sont utilisées, qui sont décrites dans la section suivante. Ci-après, il est décrit comment calculer chacun d’eux pas à pas et « à la main ». Il décrit également comment utiliser des calculatrices avec des fonctions statistiques et des tableurs tels qu’Excel ou Google Sheets pour calculer cette importante variable statistique.
Il existe deux types d’écart type
En statistique, il existe deux types de mesures descriptives d’une série de données, selon que toutes les données d’une population ou seulement celles d’un échantillon sont disponibles. Les mesures utilisées pour décrire la population sont appelées paramètres de population et sont généralement représentées par des lettres grecques. Pendant ce temps, les paramètres qui décrivent un échantillon sont appelés statistiques et sont généralement représentés par des lettres minuscules.
De ce fait, il existe deux types d’écart type :
- L’ écart-type de la population , qui est un paramètre de population représenté par la lettre grecque σ (sigma minuscule).
- L’ écart type de l’ échantillon , qui est un paramètre statistique représenté par la lettre S.
Vous trouverez ci-dessous les formules de calcul des deux types d’écart type.
Formules pour calculer l’écart-type de la population σ
Dans ces équations, x i représente la valeur de chaque élément de données individuel, μ est la moyenne de la population et n est le nombre total d’éléments de données dans la population.
Formules pour calculer l’écart-type de l’échantillon S
Dans ces équations, x i représente la valeur de chaque élément de données individuel dans l’échantillon, ¯x est la moyenne de l’échantillon et n est le nombre total d’éléments de données dans l’échantillon.
La seule vraie différence dans la façon dont les deux écarts-types sont calculés est que dans un cas, il est divisé par n, tandis que dans l’autre, il est divisé par n – 1 . Cette dernière consiste à corriger la différence entre la moyenne de l’échantillon et la moyenne de la population, qui ne sont généralement pas les mêmes.
Quelle formule utiliser ?
La seule chose à considérer pour décider laquelle des formules utiliser est de savoir si les données pour lesquelles l’écart type doit être calculé représentent toutes les données d’une population ou ne représentent qu’un échantillon. Cela ressort généralement de la déclaration (au cas où un problème statistique est en cours de résolution) ou de la manière dont les données ont été obtenues.
CONSEIL : En cas de doute, il est plus sûr de supposer qu’il s’agit d’un échantillon, car vous disposez rarement de toutes les données pour une population.
Quant à utiliser la première (celle de gauche) ou la seconde (celle de droite) formule pour σ ou pour S, dans les deux cas les deux équations présentées donnent le même résultat. Cependant, il est plus pratique d’utiliser la formule de droite, même si cela peut sembler plus compliqué. La raison est très simple : moins d’étapes sont nécessaires pour calculer l’écart type avec les formules de droite qu’avec celles de gauche.
Comment calculer l’écart type « à la main »
Nous présentons ci-dessous les étapes à suivre pour calculer l’écart type, en utilisant un exemple pour illustrer le processus.
Problème
Le temps nécessaire à un échantillon de 15 voitures pour remplir le réservoir de carburant d’une station-service a été déterminé. Les données, mesurées en secondes, sont présentées ci-dessous :
| 71 | 65 | 48 | 76 | 80 |
| 64 | 42 | 55 | 80 | 66 |
| 53 | 49 | 70 | 67 | 42 |
Déterminer l’écart type.
Solution : dans ce cas, l’énoncé précise que les données correspondent à un échantillon, donc l’équation que nous utiliserons pour déterminer l’écart-type (échantillon) sera :
Pour appliquer cette formule, il suffit de calculer la somme des données (∑X i ), la somme des carrés des données (∑X i 2 ) et le nombre total de données (n). Ceci est facilement accompli en suivant les étapes suivantes :
Étape 1 : Organisez les données verticalement
Le calcul de l’écart type est plus facile si vos données sont disposées dans une liste verticale, car cela facilite les étapes suivantes. Ce n’est pas strictement nécessaire, mais il est également utile d’avoir chaque élément de données identifié par un numéro, car cela fournit facilement le nombre total d’éléments de données (n) nécessaires à l’utilisation de la formule. Les données n’ont pas besoin d’être ordonnées de quelque manière que ce soit.
| # | Xi _ | x je 2 |
| 1 | 71 | |
| 2 | 65 | |
| 3 | 48 | |
| 4 | 76 | |
| 5 | 80 | |
| 6 | 64 | |
| 7 | 42 | |
| 8 | 55 | |
| 9 | 80 | |
| dix | 66 | |
| onze | 53 | |
| 12 | 49 | |
| 13 | 70 | |
| 14 | 67 | |
| quinze | 42 |
Étape 2 : calculez le carré de chaque donnée
L’étape suivante consiste à mettre au carré chaque élément de données individuel, puis à écrire le résultat dans une colonne à côté.
| # | Xi _ | x je 2 |
| 1 | 71 | 5041 |
| 2 | 65 | 4225 |
| 3 | 48 | 2304 |
| 4 | 76 | 5776 |
| 5 | 80 | 6400 |
| 6 | 64 | 4096 |
| 7 | 42 | 1764 |
| 8 | 55 | 3025 |
| 9 | 80 | 6400 |
| dix | 66 | 4356 |
| onze | 53 | 2809 |
| 12 | 49 | 2401 |
| 13 | 70 | 4900 |
| 14 | 67 | 4489 |
| quinze | 42 | 1764 |
Étape 3 : Additionnez toutes les données d’origine
Nous ajoutons toutes les valeurs qui apparaissent dans la colonne que nous identifions comme X i et notons le résultat à la fin de cette colonne.
Étape 4 : Additionnez tous les carrés des données et écrivez le résultat en bas de la colonne
Nous additionnons toutes les valeurs qui apparaissent dans la colonne que nous identifions comme X i 2 et notons le résultat à la fin de cette colonne. Après avoir effectué les étapes 3 et 4, le tableau ressemblera à ceci :
| # | Xi _ | x je 2 |
| 1 | 71 | 5041 |
| 2 | 65 | 4225 |
| 3 | 48 | 2304 |
| 4 | 76 | 5776 |
| 5 | 80 | 6400 |
| 6 | 64 | 4096 |
| 7 | 42 | 1764 |
| 8 | 55 | 3025 |
| 9 | 80 | 6400 |
| dix | 66 | 4356 |
| onze | 53 | 2809 |
| 12 | 49 | 2401 |
| 13 | 70 | 4900 |
| 14 | 67 | 4489 |
| quinze | 42 | 1764 |
| Nombre de données (n) | Somme des données ( ∑X i ) | Somme des carrés ( ∑X i 2 ) |
| quinze | 928 | 59750 |
Étape 5 : Appliquer la formule d’écart type
La dernière étape consiste simplement à remplacer les valeurs à la fin du tableau dans la formule respective :
Comment calculer l’écart type avec la calculatrice statistique
La plupart des calculatrices scientifiques et financières ont des fonctions spéciales pour faciliter le calcul de toutes les mesures de tendance centrale et de dispersion utilisées dans les statistiques. La procédure, quel que soit le modèle de la calculatrice, est toujours la même :
Étape 1 – Entrer en mode Statistiques
Les calculatrices ont généralement un mode spécial pour les fonctions statistiques. Il est généralement accessible en appuyant sur le bouton MODE suivi d’un nombre qui apparaît généralement sur l’écran à côté de STAT , SD (pour l’écart type ) ou quelque chose de similaire.
Étape 2 – Nettoyer la mémoire
Sur les calculatrices plus anciennes, il n’est pas affiché s’il y a déjà des données stockées dans la mémoire de la calculatrice, c’est donc toujours une bonne idée d’effacer la mémoire avant de commencer. Pour ce faire, appuyez sur la touche CLR ou MCL puis sélectionnez l’ option MODE (ceci n’effacera que les données stockées dans le mode statistique). Dans de nombreux cas, il est nécessaire de repasser en mode statistiques après cette étape.
Étape 3 : saisissez toutes les données
Toutes les données sont saisies séquentiellement, une par une, en appuyant sur la touche DT , DATA ou similaire entre les deux.
Étape 4 : obtenir le résultat
La dernière étape consiste simplement à demander à la calculatrice l’écart type. L’emplacement des résultats varie considérablement entre les modèles et les marques de calculatrices. Dans certains cas, vous devez appuyer sur la touche SHIFT suivie de la touche indiquant S-VAR ci-dessus , dans d’autres, c’est différent. Il est conseillé de se référer au manuel de la calculatrice.
Une fois que nous obtenons le bon menu, nous devons sélectionner lequel des deux écarts-types nous avons besoin. S’il s’agit de données de population, nous sélectionnons l’option indiquant σ ou σ(n). S’il s’agit de données d’échantillon, nous sélectionnons l’option indiquant σ(n-1) ou S.
Comment calculer l’écart type dans Microsoft® Excel™
Le moyen le plus simple de calculer l’écart type consiste à utiliser des feuilles de calcul telles qu’Excel ou Google Sheets. Ces programmes disposent déjà de tous les protocoles pour calculer les différentes variables statistiques dont nous pouvons avoir besoin. Cela se fait en deux étapes simples :
Étape 1 : collez ou ajoutez les données
C’est aussi simple que de copier les données directement, une par une dans des cellules séparées (sous forme de colonnes, de lignes ou de matrices, peu importe). Dans le cas de notre exemple :
ÉTAPE 2 : Écrivez la formule de l’écart type dont nous avons besoin
Cela dépend de la feuille de calcul utilisée et de la langue dans laquelle elle est définie. Dans le cas de Microsoft® Excel™, version espagnole, les formules pour l’écart type sont :
| Exemple d’écart type (S) : | =STDEV.M(donnée 1; donnée 2;…;donnée n) |
| Écart-type de la population (σ) : | =STDEV.P(donnée 1; donnée 2;…;donnée n) |
Vous n’avez pas besoin d’entrer les données individuelles, sélectionnez simplement les cellules dans lesquelles les données ont déjà été collées. Dans notre exemple, les données se situent dans la plage allant de la cellule B1 à la cellule F3, qui est écrite sous la forme B2:F3.
Enfin, la touche ENTER est enfoncée et READY ! L’écart type est obtenu.
Les références
- Bhandari, P. (2021, 21 janvier). Comprendre et calculer l’écart-type . Extrait de https://www.scribbr.com/statistics/standard-deviation/
- Espinoza, CI, & Echecopar, AL (2020). Applications statistiques utilisant MS Excel avec des exemples pas à pas (édition espagnole) (1ère éd .). Lima, Pérou : Luis Felipe Arizmendi Echecopar et Duo Negocios SAC.
- En ligneWebster, A. (2001). Statistiques appliquées aux entreprises et à l’économie (édition espagnole) . Toronto, Canada : Irwin Professional Publishing.
- DEVESTA (fonction DEVESTA) . Prise en charge de Microsoft Office. Extrait de https://support.microsoft.com/es-es/office/desvesta-funci%C3%B3n-desvesta-5ff38888-7ea5-48de-9a6d-11ed73b29e9d .
