Quelle est la probabilité de choisir au hasard un nombre premier ?

En mathématiques, les nombres premiers sont l’un des sujets communs lors de l’étude des nombres entiers. Puisque les nombres premiers sont infinis, un exercice intéressant à pratiquer avec eux est de savoir quelle est la probabilité qu’un nombre de 1 à X choisi au hasard soit un nombre premier.

Quels sont les nombres premiers

Les nombres premiers sont ceux qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes, c’est-à-dire par le nombre en question. Cela signifie que lorsqu’il est divisé par un autre nombre, le résultat ne donne pas un nombre entier. On considère également qu’il existe une infinité de nombres premiers.

Contrairement aux nombres premiers, les nombres composés sont ceux qui peuvent être divisés par 1, par eux-mêmes et par d’autres nombres.

Le nombre 1 n’est pas considéré comme un nombre premier, ni comme un nombre composé.

Les nombres premiers et le crible d’Eratosthène

Afin de trouver rapidement tous les nombres premiers, le mathématicien grec Eratosthène (IIIe siècle av. J.-C.) a créé un moyen rapide d’obtenir tous les nombres premiers jusqu’à un certain nombre. Cette méthode est connue sous le nom de « tamis d’Eratosthène ».

Le crible d’Eratosthène est un algorithme qui permet de connaître tous les nombres premiers inférieurs à un nombre naturel donné. Pour ce faire, un tableau est créé avec tous les nombres naturels compris entre 2 et le nombre choisi (n). Dans cet exemple, n vaut 100.

Ensuite, les nombres qui ne sont pas premiers sont barrés. Tout d’abord, commencez par 2 et rayez tous ses multiples. Lorsqu’un nombre non barré est trouvé, tous ses multiples sont barrés, et ainsi de suite. Cette procédure se termine lorsque le carré du nombre suivant confirmé comme premier est obtenu supérieur à « n ».

A l’aide du crible d’Eratosthène nous obtiendrons 25 nombres premiers entre 0 et 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 , 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Autres exemples de nombres premiers

D’autres exemples de nombres premiers entre 100 et 1000 sont : 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 , 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349 , 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499 , 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659 , 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829 , 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 et 997.

problème des nombres premiers

Comme c’est presque toujours le cas en mathématiques, la meilleure façon de comprendre comment les nombres premiers sont calculés est de résoudre des problèmes. Voyons maintenant un problème simple pour savoir avec quelle probabilité on peut sélectionner un nombre premier.

Premièrement, nous allons choisir un entier positif, qui peut être 1, 2, 3, etc., jusqu’à un certain nombre X. Ensuite, nous devons choisir au hasard l’un de ces nombres. Cela signifie que tous les nombres X ont des probabilités d’être choisis.

La solution à ce problème est simple pour des nombres X faibles. Le problème est résolu en suivant ces étapes :

• Premier pas:
  • Comptez le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à X.
• Deuxième pas:
  • Divisez le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à X par le nombre lui-même X. Autrement dit, si nous voulons connaître la probabilité de choisir un certain nombre premier de 1 à 10, nous devons diviser le nombre de nombres premiers par 10.

Par exemple, pour trouver la probabilité qu’un nombre premier de 1 à 10 soit sélectionné, il faut diviser le nombre de nombres premiers par 10. Puisqu’il y a 4 nombres premiers de 1 à 10 : 2, 3, 5, 7, la probabilité de sélectionner un nombre premier est : 4/10 = 0,4, soit 40 %.

De la même manière, si nous voulons savoir quelles sont les probabilités qu’un nombre premier de 1 à 50 soit sélectionné, les étapes précédentes peuvent être réalisées. On compte les nombres premiers inférieurs à 50, qui sont 15 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 et 47. Et on divise ce montant par 50 : 15 /50 = 0,3, soit 30 %. Il y a donc 30 % de chance de choisir un nombre premier entre 1 et 50.

Quel est le théorème des nombres premiers

Une autre façon de connaître les nombres premiers jusqu’à un certain nombre et de calculer la probabilité d’en choisir un est d’utiliser le théorème des nombres premiers . Ce théorème a été énoncé par le mathématicien allemand Gauss au XVIIIe siècle, et démontré près d’un siècle plus tard par d’autres mathématiciens, comme le français Jacques Hadamard et le belge Charles-Jean de la Vallée Poussin.

Le théorème des nombres premiers stipule qu’il y a environ X / ln(X) de nombres premiers qui sont inférieurs ou égaux à X. Dans cette déclaration :

• ln(X) : est le logarithme népérien de X.
• X : est le nombre jusqu’auquel on veut connaître les nombres premiers.

Lorsque la valeur de X augmente, l’erreur relative entre le nombre de nombres premiers inférieur à X et l’énoncé X / In(X) diminue.

Comment appliquer le théorème des nombres premiers

Avec le théorème des nombres premiers, nous pouvons résoudre des problèmes similaires au précédent, surtout si nous voulons connaître les nombres premiers parmi de plus grandes quantités de nombres.

Par le théorème des nombres premiers, nous savons qu’il y a approximativement X/ln(X) nombres premiers qui sont inférieurs ou égaux à X. De plus, il existe un total de X entiers positifs inférieurs ou égaux à X. Par conséquent, la probabilité qu’un nombre choisi au hasard dans cette plage est premier est : ( X / ln(X) ) / X = X / ( ln(X) . X ) = 1 / ln(X).

Par exemple, nous pouvons utiliser ce résultat pour calculer, approximativement, la probabilité de sélectionner au hasard un nombre premier parmi les premiers millions d’entiers.

Pour ce faire, nous devons calculer le logarithme naturel du million. Par conséquent, nous avons :

P(1 000 000) = (X/ln(X) / X = 1 / ln(X)

P(1 000 000) = 1 / ln(1 000 000)

Nous obtenons donc ln(1 000 000) = 13,8155 et 1 / ln(1 000 000) vaut environ 0,07238. Par conséquent, nous avons environ 7,238 % de chances de choisir au hasard un nombre premier parmi les premiers millions d’entiers.

Bibliographie

• López Mateos, M. Mathématiques de base. (2017). Espagne. Créer un espace.
• ns. Le livre de mathématiques. (2020). Espagne. ns.
• Gracian, E. Nombres premiers : un long chemin vers l’infini. (2010). Espagne. Livres RBA.