Comment calculer la valeur attendue à la roulette

En probabilité, la valeur attendue d’une variable aléatoire fait référence à la valeur moyenne d’un grand nombre de fois où la variable se produit . Il est calculé comme une moyenne pondérée de toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire, où le facteur de pondération n’est rien de plus que la probabilité que chaque valeur se produise.

Les probabilités sont un domaine d’étude de grande importance dans le domaine des jeux de hasard, parmi lesquels la roulette est l’un des plus populaires et des plus faciles à appréhender.

Qu’est-ce que la roulette et comment se joue-t-elle ?

Une roue de roulette américaine typique se compose d’une roue avec une série de cases numérotées de 1 à 36, dont 18 sont noires tandis que les 18 autres sont rouges. De plus, il y a deux cellules ou fentes vertes situées aux extrémités opposées de la roue identifiées respectivement par les chiffres 0 et 00, pour un total de 38 cellules.

Il existe également des roulettes françaises, qui n’ont pas la case 00 et ont donc 37 cases au total.

Le jeu consiste à faire tourner la roue pendant qu’une petite balle est lancée dans la direction opposée. Au fur et à mesure que le spinner et la balle ralentissent, la balle finit par atterrir dans l’une des 37 ou 38 poches ou fentes. Avant que la balle ne s’immobilise, les participants peuvent faire différents types de paris. Certains des paris possibles sont :

• Pariez sur un numéro spécifique (paye généralement 35:1)
• Pariez sur deux numéros adjacents (paye généralement 17:1)
• Pariez sur le rouge ou le noir (paye généralement 1:1)
• Nombres pairs ou impairs (paye généralement 1:1)
• Mise basse ou haute, c’est-à-dire les 18 premiers numéros (de 1 à 18) ou les 18 derniers (de 19 à 36) (paye généralement 1:1)
• Première douzaine (1-12) (paye généralement 2: 1)
• Deuxième douzaine (de 13 à 24) (paye généralement 2: 1)
• Troisième douzaine (de 25 à 36) (paye généralement 2: 1)

Comme vous pouvez le voir, chacun de ces paris offre un paiement spécifique, qui dépend de la probabilité que cela se produise.

Ensuite, nous calculerons la valeur espérée des gains en fonction des différents types de paris que nous pouvons faire dans une roulette américaine. Les résultats obtenus ici sont facilement extrapolables à la roulette française, simplement en changeant le nombre total de résultats possibles dans les dénominateurs de toutes les probabilités.

Dans tous les cas, nous déterminerons la valeur attendue du gain pour chaque dollar que nous parions, bien que la valeur numérique puisse être reportée dans n’importe quelle autre devise. De plus, la multiplication de cette valeur attendue par la valeur réelle du pari produira la valeur attendue de ce pari. Donc, si au lieu de parier 1 $, nous parions 100 $, il suffit de multiplier la valeur attendue du pari de 1 $ par 100.

Formule pour calculer la valeur attendue d’un pari à la roulette

La variable aléatoire dont nous voulons déterminer la valeur attendue est la somme d’argent que nous gagnerons, en moyenne, si nous faisons le même pari à la roulette un grand nombre de fois. Lorsque nous faisons un pari, nous menons une expérience qui n’a que deux résultats possibles : nous gagnons ou nous perdons. Nous gagnerons si la balle atterrit dans une case qui correspond à notre pari, sinon nous perdrons.

Si nous appelons X le profit obtenu en pariant (notre variable aléatoire), p la probabilité de succès, x ₁ le profit que nous obtiendrons si nous gagnons, q la probabilité d’échec et x ₂ le profit (ou la perte) que nous aurons si nous perdons, alors nous pouvons calculer la valeur attendue d’un pari comme suit :

Nous allons maintenant voir comment appliquer cette formule aux différents paris que nous pouvons faire.

Valeur attendue des paris sur un numéro particulier à la roulette

Supposons que nous parions 1 $ sur un numéro particulier (0, 00, 1, 2, 3, …).

Le paiement pour ce pari, si nous gagnons, est de 35 contre 1, ce qui signifie que nous obtenons 35 $ pour chaque 1 $ que nous parions, plus nous obtenons notre mise de 1 $. On dira alors que la valeur de notre variable aléatoire en cas de succès (x ₁ ) sera, dans ce cas, +35$, puisqu’il s’agit du profit net. La probabilité de réussite (p) est de 1/38, puisqu’il y a au total 38 cases différentes dans lesquelles la balle peut tomber alors qu’il n’y en a qu’une avec laquelle on gagnera.

D’un autre côté, si la balle atterrit sur un autre numéro, nous perdons le pari, auquel cas la maison conserve le 1 $ que nous avons misé. Ainsi, notre « bénéfice » sera de – 1 $ puisque nous perdons en fait de l’argent. La probabilité de perdre (q) est de 37/38, puisque toute case autre que le numéro sur lequel nous parions nous fera perdre. Avec ces données, nous pouvons appliquer la formule et déterminer la valeur attendue de ce pari :

En d’autres termes, la valeur attendue des paris sur un numéro particulier à la roulette est une perte de 5,3 cents pour chaque dollar que nous parions.

Valeur attendue des paris sur deux numéros adjacents

Supposons que nous parions 1 $ en plaçant un jeton entre deux numéros adjacents, tels que 2 et 3 ou 17 et 20 (qui sont verticalement adjacents).

Le paiement pour ce pari, contrairement au précédent, est de 17 contre 1, ce qui signifie que nous récupérons 17 $ pour chaque 1 $ que nous parions, plus nous récupérons notre 1 $. Le gain sera, dans ce cas, de +$17, alors que la probabilité de succès (p) sera de 2/38, puisqu’il y a deux nombres qui nous feront gagner alors qu’il y a toujours les mêmes 38 cellules au total.

D’autre part, si nous perdons, nous perdons à nouveau le même 1 $ que nous avons misé, mais la probabilité de perdre (q) est maintenant de 36/38. L’espérance de ce pari vaut alors :

Encore une fois, on s’attend à ce qu’en pariant plusieurs fois sur n’importe quelle paire de numéros adjacents à la roulette, nous perdions en moyenne 5,3 cents pour chaque dollar que nous parions.

Valeur attendue des paris par dizaines

Il y a six paris différents que nous pouvons faire à la roulette qui incluent une douzaine de résultats favorables possibles ; trois d’entre eux consistent à parier sur la première, deuxième ou troisième douzaine de numéros (sans compter le 0 ou le 00), et les trois autres consistent à parier sur l’une des trois colonnes dans lesquelles les numéros sont disposés sur la table de la roulette.

Le paiement pour chacun de ces paris est de 2 pour 1, ce qui signifie que nous gagnons 2 $ pour chaque 1 $ que nous parions et récupérons notre 1 $. La probabilité de réussite est de 12/38 puisque nous parions sur un panier de 12 numéros différents. Enfin, la probabilité d’échec est de 26/38 avec la même perte de 1 $ (ou gain de –1 $, ce qui revient au même).

La valeur attendue de notre variable aléatoire est, dans ce cas :

Valeur attendue du pari sur le rouge ou le noir, pair ou impair, ou pari bas ou haut

Enfin, il y a six autres paris différents que l’on peut faire à la roulette qui présentent à la fois la même probabilité de succès, et le même paiement si on gagne, ainsi que la même probabilité d’échec et la même perte d’argent si on perd, donc nous calculerons leur valeur espérée de la même manière pour tous. Ces paris sont :

• Misez sur le rouge.
• parier sur le noir
• Pariez sur les nombres pairs
• Parier sur les nombres impairs
• Pariez sur les 18 numéros inférieurs (les numéros de 1 à 18)
• Pariez sur les 18 numéros les plus élevés (les numéros de 19 à 36)

Bien qu’ils ressemblent à des paris très différents, ils sont en réalité exactement les mêmes. Ils paient tous 1 $ pour chaque 1 $ misé, plus 1 $ retourné, donc ils gagnent tous + 1 $.

De plus, ils ont tous la même probabilité de succès (et, par complément, d’échec). Par exemple, la moitié des nombres de 1 à 36 sont identifiés avec la couleur rouge tandis que l’autre moitié est identifiée avec le noir, il y a donc une probabilité de 18/38 qu’il ressorte rouge ou noir (rappelez-vous que les cellules de 0 et 00 sont verts, complétant ainsi le total des 38 résultats possibles).

En ce qui concerne les nombres impairs et pairs, puisqu’il y a 36 nombres consécutifs, la moitié sera paire (2, 4, 6, 8, 10, 12, ,…, 34 et 36) et l’autre moitié sera impaire (1, 3 , 5, 7, 9, 11, …,33 et 35). Nous devons nous rappeler que zéro n’est pas considéré comme un nombre pair ou impair, donc ni la case 0 ni la case 00 ne font partie de l’un ou l’autre des deux résultats.

Enfin, il y a 18 nombres faibles et 18 nombres élevés, donc la probabilité d’obtenir un résultat ou l’autre est également de 18/38.

D’autre part, l’échec dans tous ces cas comprend l’autre moitié des numéros non comptés dans le pari plus 0 et 00, il y a donc un total de 20 résultats négatifs possibles. Cela implique une probabilité d’échec de 20/38.

La valeur attendue de chacun de ces paris est alors :

Comment ces résultats sont-ils interprétés ?

Ce résultat ne signifie pas que si nous entrons dans un casino et parions 1 $ sur 21, par exemple, nous perdrons 0,053 $. En réalité, si nous ne jouons qu’une seule fois , nous rentrerons soit 1 $ de moins, soit 35 $ de plus.

Ce résultat signifie que si nous parions plusieurs fois à la roulette et parions toujours sur un seul numéro, parfois nous gagnerons 35 $ et d’autres fois nous perdrons 1 $, mais en moyenne nous finirons par perdre 0,053 $ pour chaque dollar misé.

Ce résultat confirme le dicton populaire selon lequel « la banque gagne toujours », faisant référence au fait que, même si un casino verse parfois un jackpot à un joueur chanceux, celui-ci finira toujours par gagner tout ce qu’il a perdu, et plus encore. tous les petits paris dans lesquels les participants perdent.

Les références

En ligneDeVore, J. (2002). Probabilité et statistiques pour l’ingénierie et les sciences (5e éd.). Thomson International.

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