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Les règles d’addition en probabilité et en statistique font référence aux différentes façons dont nous pouvons combiner des probabilités connues de deux ou plusieurs événements différents pour déterminer la probabilité de nouveaux événements formés par l’union de ces événements .
En statistique et en probabilité, on connaît souvent la probabilité que certains événements (par exemple, les événements A et B) se produisent séparément mais pas la probabilité qu’ils se produisent en même temps ou que l’un ou l’autre se produise. C’est là que les règles d’addition sont utiles.
Par exemple : nous pouvons connaître la probabilité d’obtenir un six lors du lancement de deux dés, appelez-le P (lancer 6), et la probabilité que les deux dés atterrissent sur des nombres pairs, appelez-le P (nombres pairs).
C’est relativement facile. Mais parfois, nous sommes intéressés à déterminer la probabilité que, lorsque deux dés sont lancés, ils obtiennent tous les deux un nombre pair ou qu’ils totalisent six. En notation statistique et en théorie des groupes, ce « ou » est représenté par le symbole U qui indique l’union de deux événements et dans ce cas, cette probabilité serait représentée comme suit :
Ces types de probabilités peuvent être calculés à partir des probabilités individuelles et de certaines données supplémentaires au moyen des règles d’addition.
Il convient de noter que la règle d’addition que nous devrions utiliser dans chaque cas dépend à la fois du nombre d’événements que nous considérons et du fait que ces événements s’excluent mutuellement ou non. Les règles d’addition pour certains cas simples sont décrites ci-dessous.
Cas 1 : règle d’addition pour les événements disjoints ou mutuellement exclusifs
Deux événements sont dits mutuellement exclusifs lorsque la survenance de l’un d’eux exclut la possibilité que l’autre se produise. Autrement dit, ce sont des événements qui ne peuvent pas se produire en même temps. Par exemple, lors du lancement d’un dé, celui dont le résultat dans lequel 4 apparaît exclut que l’un des 5 autres résultats possibles soit apparu.
Si l’on considère deux ou plusieurs événements (A, B, C…) mutuellement exclusifs, la probabilité d’union consiste simplement en la somme des probabilités individuelles de chacun de ces événements. Autrement dit, dans ce cas, la probabilité d’union est donnée par :
Cela peut être plus facilement compris au moyen d’un diagramme de Venn. Ici, l’espace échantillon est représenté par une zone rectangulaire ; tandis que la probabilité de chaque événement est représentée par des secteurs au sein de cette zone plus large. Dans un diagramme de Venn, les événements mutuellement exclusifs sont considérés comme des zones distinctes qui ne se touchent ni ne se chevauchent.
Dans ce type de diagrammes, le calcul de la probabilité d’union consiste à obtenir la surface totale occupée par tous les événements dont on considère les probabilités. Dans le cas de l’image précédente, cela implique d’obtenir la surface totale des secteurs A, B et C, c’est-à-dire la zone bleue de la figure suivante.
Il est facile de voir que si les événements sont disjoints comme dans le cas des deux images ci-dessus, la probabilité d’union est simplement la somme des trois domaines.
Exemple 1 : Calcul de la probabilité d’obtenir un résultat pair en lançant un dé
Supposons que nous lancions un dé et que nous voulions connaître la probabilité d’obtenir un nombre pair. Étant donné que les seuls nombres pairs possibles sur un dé à 6 faces sont 2, 4 et 6, alors ce que nous voulons vraiment savoir, c’est la probabilité que le dé atterrisse sur 2, 4 ou 6, car dans l’un ou l’autre de ces cas, sont tombés en nombre pair.
La probabilité d’obtenir l’un des 6 face est de 1/6 (tant qu’il s’agit d’un dé équitable). De plus, comme nous l’avons vu il y a un instant, les trois résultats sont des événements mutuellement exclusifs puisque, si 2 lancers, 4 ou 6 n’auraient pas pu rouler, et ainsi de suite. Dans ces conditions, la probabilité d’union est donnée par :
Cas 2 : Règle d’addition pour deux événements qui ne s’excluent pas mutuellement
Si A et B sont des événements qui partagent des résultats, c’est-à-dire qu’ils peuvent se produire en même temps, on dit que les événements ne s’excluent pas mutuellement. Dans ce cas, le diagramme de Venn ressemble à ceci :
Comme on peut le voir, il existe une région de l’espace d’échantillonnage dans laquelle les deux événements se produisent en même temps. Si nous voulons déterminer la probabilité d’union, c’est-à-dire P(AUB), nous devons trouver l’aire indiquée dans le diagramme de Venn à droite de la figure précédente.
Il est facile de voir que dans ce cas, si nous additionnons simplement les aires de A et B, nous compterons deux fois l’aire commune, nous obtiendrons donc une aire (lecture, probabilité) plus grande que ce que nous voulons. Pour corriger cet excès d’erreur, il suffit de soustraire l’aire commune aux événements A et B, qui correspond à la probabilité d’intersection :
Cette expression de la probabilité d’union s’applique également au cas précédent puisque, s’excluant mutuellement, la probabilité qu’ils se produisent en même temps (probabilité d’intersection) est nulle.
Exemple 2 : Calcul de la probabilité d’obtenir un résultat pair ou d’obtenir un nombre inférieur à 4 en lançant un dé
Dans ce cas, les deux événements partagent le résultat 2, qui est à la fois pair et inférieur à 4, donc la probabilité d’union sera :
Cas 3 : Règle d’addition pour trois événements qui ne s’excluent pas mutuellement
Un autre cas un peu plus complexe est celui où 3 événements se produisent qui ne s’excluent pas mutuellement, comme celui illustré dans le diagramme de Venn suivant :
Dans ce cas, la somme des trois aires compte deux fois les zones d’intersection entre A et B, entre B et C et entre C et D, et compte trois fois la zone d’intersection des trois événements A, B et C. Si on fait comme précédemment et soustrayez les zones d’intersection entre chaque paire d’événements de la somme des trois zones, nous soustrairons trois fois la zone du centre, il faut donc l’ajouter comme probabilité d’intersection des trois événements. Enfin, la règle générale d’addition pour trois événements non exclusifs est donnée par :
Comme précédemment, cette expression est générale pour tout ensemble de trois événements, qu’ils soient disjoints ou non, puisque, dans ce cas, les intersections seront vides et le résultat sera la même expression du premier cas.
Exemple 3 : Calcul de la probabilité d’obtenir un nombre pair, un nombre inférieur à 10 ou un nombre premier sur un dé à 20 faces
Dans ce cas, il y a trois événements qui partagent des résultats et contiennent également des résultats qui ne sont pas partagés, de sorte que la probabilité d’union est donnée par l’expression susmentionnée.
Les probabilités des événements individuels sont :
Maintenant, les probabilités d’intersection sont :
Maintenant, en appliquant l’équation de la probabilité d’union :
Les références
- brillant. (sd). Probabilité – Règle de Somme | Wiki Mathématiques et Sciences brillantes . Extrait de https://brilliant.org/wiki/probability-rule-of-sum/
- lumen. (sd). Règles de probabilité | Statistiques illimitées . Extrait de https://courses.lumenlearning.com/boundless-statistics/chapter/probability-rules/#:%7E:text=The%20addition%20rule%20states%20the,probability%20that%20both%20will%20happen .
- MateMobile. (2021, 1er janvier). Règle de la somme ou addition des probabilités | mère-mobile . Extrait de https://matemovil.com/regla-de-la-suma-o-adicion-de-probabilidades/
- En ligneWebster, A. (2001). Statistiques appliquées aux entreprises et à l’économie (édition espagnole) . Toronto, Canada : Irwin Professional Publishing.
