Quels sont les résultats possibles si vous lancez trois dés simultanément ?

Lancer des pièces et des dés ou retirer aveuglément des balles d’une boîte sont quelques-unes des expériences les plus simples que nous puissions réaliser pour tester notre compréhension des différents concepts liés aux statistiques. Ce sont des expériences faciles à réaliser, que tout le monde peut faire à la maison, elles donnent des résultats clairs et sans ambiguïté, et celles-ci peuvent être facilement converties en données numériques.

Dans le cas des lancers de dés, il existe également une relation claire entre eux et les jeux de hasard, ce qui rend l’application des statistiques plus tangible dans quelque chose qui fait partie de la vie quotidienne de nombreuses personnes ou, du moins, quelque chose avec ce que presque tous d’entre nous ont rencontré au moins une fois dans leur vie.

Lancer trois dés simultanément peut produire différents types de résultats que nous pouvons interpréter de différentes manières. On peut s’intéresser aux résultats individuels eux-mêmes, ou on peut s’intéresser à la valeur de la somme ou au nombre de résultats pairs ou impairs qui se présentent entre les dés, etc. Des trois, le plus courant est de s’intéresser au résultat de la somme des valeurs des trois dés. Dans les sections suivantes, nous explorerons comment calculer la probabilité d’occurrence de chacune des sommes en lançant trois dés en même temps.

L’espace échantillon pour lancer trois dés

Lancer un seul dé cube est une expérience simple qui n’a que six résultats possibles. C’est-à-dire qu’il s’agit d’une expérience dont l’espace d’échantillonnage est formé par les résultats S _{1 donnés} = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.

Lorsque vous lancez deux dés simultanément, on peut supposer que le résultat de chaque dé est indépendant de l’autre, de sorte que chacun peut aboutir à l’un des six résultats précédents. ^{Ceci amène comme conséquence que 6 2} = 36 résultats possibles peuvent être donnés correspondant à toutes les combinaisons possibles entre les 6 valeurs d’un dé et les 6 valeurs de l’autre.

Dans ce cas, nous aurons un espace d’échantillon de S _{2 étant donné} = {11 ; 12; 13; 14; quinze; 16; vingt-et-un; 22; 23; 24; 25; 26; …; 61 ; 62; 63; 64 ; 65; 66}. Sur ces 36 résultats, le nombre de combinaisons uniques (sans tenir compte de l’ordre) peut être calculé au moyen d’une combinatoire avec répétition dans laquelle on prend des groupes de n = 2 (les deux dés jetés) avec m = 6 résultats possibles. :

Ces 21 résultats correspondent à {11 ; 12; 13; 14; quinze; 16; 22; 23; 24; 25; 26; 33; 3. 4; 35; 36; 44 ; Quatre cinq; 46 ; 55; 56 ; 66}. La probabilité de chacun de ces résultats correspond à 1/36 multiplié par le nombre de permutations différentes que l’on peut créer avec les chiffres de chaque nombre (1 si le nombre se répète, comme dans 11, 22, etc., et 2 si le nombre n’est pas répété, puisque nous pouvons avoir 12 ou 21, 13 ou 31, etc.)

Dans le cas du lancement de 3 dés, le nombre total de résultats possibles dans l’espace échantillon est donné par 6 ³ = 216. Ces résultats sont S _{3 dés} = {111; 112 ; 113 ; 114 ; 115 ; 116 ; 121 ; …; 126 ; 131 ; …; 136 ; …; 166 ; 211 ; 212 ; …; 656 ; 666}. Dans ce cas, la probabilité de tout résultat individuel doit être de 1/216.

Probabilité de résultats individuels en lançant trois dés

Maintenant que nous avons bien défini l’espace d’échantillonnage de tous les résultats possibles du lancer de 3 dés, voyons comment calculer la probabilité de chacun des différents résultats pouvant être obtenus.

Dans le cas du lancement de trois dés, étant donné que l’ordre dans lequel les résultats apparaissent n’est pas pertinent, bon nombre des 216 résultats seront en fait répétés. Le nombre total de résultats uniques peut être calculé à nouveau comme une combinaison de groupes de 3 avec 6 options chacun et avec possibilité de répétitions, c’est-à-dire :

Parmi ces 56 résultats, ceux composés de trois nombres égaux (appelons-les AAA) n’apparaissent qu’une seule fois. Par contre, ceux avec deux chiffres identiques et un chiffre différent (AAB) sont répétés 3 fois chacun (correspondant aux permutations AAB, ABA et BAA). Enfin, ceux qui ont trois chiffres différents (ABC) apparaîtront 3 ! = 6 fois (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB et CBA).

À partir de ces informations et du nombre total de résultats possibles (216), nous pouvons calculer la probabilité de chaque résultat comme

Selon le résultat, il comporte 1, 2 ou 3 chiffres différents. Les 56 résultats possibles et leurs probabilités sont présentés dans le tableau suivant :

Probabilité de la somme en lançant trois dés

Comme mentionné précédemment, lorsque vous lancez les dés, un résultat plus important que le nombre particulier sur lequel chaque tête atterrit est la somme des dés. Dans l’expérience dans laquelle trois dés sont lancés et la somme est obtenue, l’espace échantillon est composé de toutes les sommes possibles entre trois nombres de 1 à 6.

La plus petite valeur qui peut résulter de cette somme est celle obtenue lorsque les trois dés tombent sur 1, obtenant une somme de 1+1+1 = 3, tandis que la valeur maximale correspond à 6+6+6 = 18, avec la possibilité d’obtenir l’une quelconque des sommes intermédiaires. Par conséquent, l’espace d’échantillonnage de cette expérience correspond à :

S = {3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7; 8; 9; dix; onze; 12; 13; 14; quinze; 16; 17; 18}

La dernière colonne du tableau indique le nombre total de résultats que chaque somme donne, y compris les résultats équivalents (de toutes les permutations de chaque combinaison unique). Par exemple, pour la somme de 15, le lancer de dé doit être 366, 356 ou 555. Mais il y a 3 permutations de 366 (366, 636 et 663) et 6 permutations de 356 (356, 365, 536, 563, 635 et 653) et un seul sur 555, donc le nombre total de résultats possibles égal à 15 est 10.

Avec le tableau précédent, nous pouvons nous entraîner à calculer la probabilité de chaque somme pour le lancer de trois dés de deux manières différentes. Celles-ci sont détaillées ci-dessous.

Stratégie 1 : Utiliser la probabilité de chaque résultat unique

La première stratégie consiste à ajouter la probabilité de tous les résultats uniques que chaque somme peut donner. Cela implique d’utiliser les résultats uniques de la troisième colonne et la probabilité respective de chaque résultat présenté ci-dessus.

Exemple

Supposons que nous voulions calculer la probabilité que la somme des trois dés soit 11 (c’est-à-dire P(11)). Dans ce cas, il y a 6 combinaisons uniques (indépendamment de l’ordre) qui donnent une somme de 11. Ces résultats sont (selon la troisième colonne du tableau ci-dessus) : {146 ; 155 ; 236 ; 245 ; 335 ; 344}.

La probabilité de chaque résultat est déterminée en fonction du nombre total de permutations possibles dans chaque cas, comme expliqué dans la section précédente. Dans ce cas:

Par conséquent, la probabilité que le résultat de la somme soit 11 sera :

De même, si nous voulions la probabilité que la somme soit 16, le résultat serait la somme des probabilités de 466 et 556, qui sont toutes deux égales à 1/72, donc la probabilité serait :

Stratégie 2 : Utiliser le nombre total de résultats correspondant à chaque somme

Dans ce cas, un chemin plus simple est emprunté, tant qu’il existe une liste de tous les résultats possibles pour chaque sommation, y compris les permutations. Ensuite, la probabilité de chaque somme est simplement le nombre total de résultats pour la somme divisé par le nombre total de résultats possibles (216).

Exemple

Dans le cas de la somme = 11, le nombre total de résultats possibles donnant ladite somme est de 27 (voir la troisième colonne du tableau précédent), donc la probabilité que la somme de 11 soit :

Comme vous pouvez le voir, le résultat est le même qu’avant et c’est très simple si nous avons une table comme la précédente déjà construite. Cependant, pour les cas plus complexes où il y a plus de résultats possibles (comme lancer 4, 5 ou 4 dés), cette stratégie peut être moins pratique et la première plus pratique.

Les références

Graffe, S. (2021, 21 septembre). Quelle est la probabilité que lorsque vous lancez trois dés, vous obteniez une somme de 7 ? Quora. https://en.quora.com/What%C3%A9-probabilidad-hay-que-al-lanzar-tres-dados-salga-una-sumatoria-de-7

Montagud Rubio, N. (2022, 17 mars). Techniques de comptage : types, comment les utiliser et exemples . Psychologie et esprit. https://psicologiaymente.com/miscelanea/tecnicas-de-conteo

Siestes. (2017, 16 novembre). Techniques de comptage en probabilités et statistiques . Naps Technologie et éducation. https://naps.com.mx/blog/tecnicas-de-conteo-en-probabilidad-y-estadistica/

Valdés Gómez, J. (2016, 23 novembre). Combinaisons avec répétition . Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=WqHZx64RW-Q