Que sont les moments dans les statistiques ?

Les moments des calculs en statistiques concernent la détermination de paramètres tels que la moyenne, la variance ou l’asymétrie d’une distribution de probabilité. Le terme moment dérive de la physique, du calcul du centre de gravité d’un ensemble de corps de masses différentes.

définition d’instant

S’il existe un ensemble de n données discrètes x ₁ , x ₂ , x ₃ , … x _n , le moment d’ordre s est défini comme :  

( x ₁ ^s + x ₂ ^s + x ₃ ^s +…+ x _n ^s )/ n

L’ordre dans lequel le calcul est effectué est important. Il faut d’abord faire l’élévation à la puissance s , puis faire l’addition et enfin la division par n .

En appliquant cette définition, nous avons le moment du premier ordre où s = 1 et la formule précédente prend la forme :

( X ₁ + X ₂ + X ₃ +…+ X _n )/ n

C’est l’expression de la formule de la moyenne d’un ensemble de valeurs.

Si l’ensemble que nous analysons est composé des 4 nombres 1, 3, 6, 10, le moment de premier ordre de cet ensemble est :

(1 + 3 + 6 + 10)/4 = 5

Dans cet exemple on observe que le moment de premier ordre est la moyenne de l’ensemble des valeurs étudiées.

Le moment de second ordre correspond à s = ​​2, et la définition devient alors la suivante :

( x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² +…+ x _n ² )/ n

Si on l’applique à l’exemple précédent, on obtient :

(1 ² + 3 ² + 6 ² + 10 ² )/4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 36,5

De même, le moment du troisième ordre correspond à s = ​​3 et la formule a la forme :

( x ₁ ³ + x ₂ ³ + x ₃ ³ +…+ x _n ³ )/ n

Et le calcul dans l’exemple que nous considérons a l’expression :

(1 ³ + 3 ³ + 6 ³ + 10 ³ )/4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 311

Les moments de la moyenne d’un ensemble de valeurs

Une autre application du concept de moment est son calcul de la moyenne d’un ensemble de valeurs. C’est-à-dire aux valeurs obtenues à partir de la différence de chaque valeur d’un ensemble par rapport à la moyenne. Pour cela, il faut d’abord calculer la valeur moyenne de l’ensemble, puis définir la variable sur laquelle seront calculés les moments comme la différence entre la moyenne et chaque valeur de l’ensemble, et enfin appliquer la formule précédente à cette nouvelle variable.

Alors, si m est la moyenne de l’ensemble des valeurs x ₁ , x ₂ , x ₃ , … x _n , les moments autour de la moyenne m _s d’un ensemble de valeurs auront la forme :

m _s = [( X ₁ – m ) ^s + ( X ₂ – m ) ^s + ( X ₃ – m ) ^s +…+ ( X _n – m ) ^s ]/ n

D’après ce calcul, le moment de premier ordre de la moyenne est 0. Voyons comment ce résultat est obtenu :

m ₁ = [( X ₁ – m )+ ( X ₂ – m ) + ( X ₃ – m ) +…+ ( X _n – m )]/ n

m ₁ = [ X ₁ + X ₂ + X ₃ +…+ X _n – n . m )]/ n

m ₁ = [ X ₁ + X ₂ + X ₃ +…+ X _n ]/ n – [ n . m ]/ n

m ₁ = m – m = 0

Le moment du second ordre de la moyenne a pour expression :

m ₂ = [( X ₁ – m ) ² + ( X ₂ – m ) ² + ( X ₃ – m ) ² +…+ ( X _n – m ) ² ]/ n

C’est la formule de la variance d’un ensemble de valeurs.

Si nous appliquons cette formule à l’exemple précédent, nous avons que la moyenne que nous avons déjà calculée est de 5, donc la formule devient

m ₂ = [(1 – 5) ² + (3 – 5) ² + (6 – 5) ² + (10 – 5) ² ]/4 = 11,5

Ainsi, nous voyons que le moment de premier ordre d’un ensemble de valeurs est la moyenne et le moment de second ordre autour de la moyenne est la variance de cet ensemble. Le moment de troisième ordre de la moyenne a été utilisé par Karl Pearson pour le calcul de l’asymétrie de l’ensemble de valeurs, tandis que le moment de quatrième ordre de la moyenne est utilisé dans le calcul de l’aplatissement statistique.

Sources

Alexander Mood, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes, Introduction à la théorie des statistiques . Troisième édition, McGraw-Hill, 1974.

Peter H. Westfall, Comprendre les méthodes statistiques avancées . Boca Raton, Floride : CRC Press, 2013.