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La logique est une branche des mathématiques, et une partie de celle-ci est la théorie des ensembles. Les lois de De Morgan sont deux postulats sur l’interaction entre les ensembles. Ces lois enregistrent des antécédents chez Aristote et Guillaume d’Ockham. Augustus De Morgan a vécu entre 1806 et 1871 et a été le premier à inclure les lois qu’il postulait dans la structure formelle de la logique mathématique.
Opérateurs en théorie des ensembles
Avant de passer aux postulats de De Morgan, examinons quelques définitions de la théorie des ensembles.
S’il existe deux ensembles d’éléments, que nous appellerons A et B, l’ intersection de ces deux ensembles est l’ensemble des éléments communs aux deux ensembles. L’intersection de deux ensembles est notée par le symbole ∩, et est un autre ensemble que nous pouvons appeler C ; C = A∩B, et C est l’ensemble des éléments qui apparaissent à la fois dans le groupe A et le groupe B. De même, l’ union de deux ensembles A et B est un nouvel ensemble contenant tous les éléments de A et B, et il est noté avec le symbole U. L’ensemble C, union de A et B, C = AUB, est un ensemble qui s’intègre à tous les éléments de A et B. La troisième définition qu’il faut retenir est le complément d’un ensemble: si nous avons un certain univers d’éléments et un ensemble A de cet univers, le complémentaire de A est l’ensemble des éléments de cet univers qui n’appartiennent pas à l’ensemble A. L’ensemble complémentaire de A est noté A C .
Ces trois opérateurs entre ensembles peuvent être généralisés à l’opération entre plusieurs ensembles, c’est-à-dire à l’intersection, la réunion et le complément de plusieurs ensembles. Prenons un exemple simple. La figure suivante montre le diagramme de Venn de trois ensembles : les oiseaux, représentés par le perroquet, l’autruche, le canard et le pingouin ; les êtres vivants qui volent, représentés par le perroquet, le canard, le papillon et le poisson volant, et les êtres vivants qui nagent, représentés par le canard, le pingouin, le poisson volant et la baleine. Le canard est l’ensemble d’intersection des trois ensembles : l’ensemble union des oiseaux et des êtres vivants qui volent est composé de l’autruche, du perroquet, du papillon, du canard, du pingouin et du poisson volant. Et le complément des êtres vivants qui volent et de ceux qui nagent est l’ensemble qui contient l’autruche.
Les lois de De Morgan
Maintenant, nous pouvons voir les postulats des lois de De Morgan. Le premier postulat dit que le complément de l’intersection ensembliste de deux ensembles A et B est égal à l’union ensembliste du complément de A et du complément de B. En utilisant les opérateurs définis au paragraphe précédent, la première loi de De Morgan peut s’écrire comme suit:
(A∩B) C = A C UB C
La deuxième loi de De Morgan postule que le complément de l’ensemble union de A et B est égal à l’intersection de l’ensemble complément de A avec l’ensemble complément de B, et on le note comme suit :
(AUB) C = UNE C ∩ B C
Voyons un exemple. Considérons l’ensemble des nombres entiers de 0 à 5. Ceci est noté [0,1,2,3,4,5]. Dans cet univers nous définissons deux ensembles A et B. A est l’ensemble des nombres 1, 2 et 3 ; A = [1,2,3]. YB est l’ensemble des nombres 2, 3 et 4 ; B = [2,3,4]. La première loi de De Morgan s’appliquerait comme suit.
A = [1,2,3] ; B = [2,3,4]
Première loi de De Morgan : (A∩B) C = A C UB C
(A∩B) C
A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]
(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]
A C UB C
UNE C = [1,2,3] C = [0,4,5]
B C = [2,3,4] C = [0,1,5]
A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]
Le résultat de l’application des opérateurs de part et d’autre de l’égalité montre que la première loi de De Morgan est vérifiée. Voyons l’application de l’exemple au second postulat.
Deuxième loi de De Morgan : (AUB) C = A C ∩ B C
(AUB) C
AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]
(SAU) C = [1,2,3,4] C = [0,5]
UNE C ∩ B C
UNE C = [1,2,3] C = [0,4,5]
B C = [2,3,4] C = [0,1,5]
UNE C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]
Comme pour le premier postulat, dans l’exemple donné, la deuxième loi de De Morgan s’applique également.
Sources
AG Hamilton. Logique pour mathématiciens. Éditorial Paraninfo, Madrid, 1981.
Carlos Ivorra Castillo. Logique et théorie des ensembles . Consulté en novembre 2021
