Quand et comment utiliser les parenthèses, les crochets et les accolades en mathématiques

Parmi les combinaisons de symboles qui impliquent des calculs arithmétiques ou des expressions algébriques, il est courant de trouver trois symboles, qui sont souvent confondus dans leur utilisation ; parenthèses ( ), crochets [ ] et accolades { }. Voyons quelle est l’application spécifique de chacun avec quelques exemples pour fixer les idées.

Les parenthèses ( ) permettent de grouper des nombres et des variables, dans un calcul ou dans une équation algébrique. Lorsque nous trouvons des parenthèses au milieu de diverses opérations arithmétiques, on nous indique l’ordre dans lequel elles doivent être effectuées. Rappelons que, sans autre indication, la multiplication et la division priment sur l’addition et la soustraction, et l’exponentiation sur la multiplication et la division. Lorsque des opérations de même priorité doivent être effectuées, le calcul s’effectue de gauche à droite dans l’expression mathématique. Voyons le rôle des parenthèses indiquant l’ordre des opérations dans l’exemple suivant.

9 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 6

Les parenthèses nous indiquent que l’opération qui est proposée dans son espace doit d’abord être effectuée, sans tenir compte de l’ordre de priorité habituel dans lequel les opérations arithmétiques sont effectuées. Dans cet exemple, les opérations de multiplication et de division devraient être effectuées avant la soustraction, mais comme l’opération 8 – 3 est entre parenthèses, nous devons d’abord effectuer ce calcul. Une fois que tous les calculs entre parenthèses ont été effectués, en l’occurrence uniquement 8 – 3, on les élimine et on procède aux autres opérations avec les priorités habituelles. Dans ce cas, le (8 – 3) est remplacé par 5, et la séquence de résolution de ce calcul serait la suivante.

9 – 5 ÷ (8 – 3) × 2 + 6 = 9 – 5 ÷ 5 × 2 + 6

9 – 5 ÷ 5 × 2 + 6 = 9 – 1 × 2 + 6

9 – 1 × 2 + 6 = 9 – 2 + 6

9 – 2 + 6 = 7 + 6

7 + 6 = 13

Les parenthèses indiquent aussi implicitement qu’il s’agit d’une opération de multiplication. Par exemple, dans l’expression 3(2 + 5) les parenthèses indiquent que l’addition doit d’abord être effectuée à l’intérieur de l’espace des parenthèses, 2 + 5. Mais il n’y a pas d’opération explicite entre trois et l’espace des parenthèses, de sorte que est supposé être une multiplication. Un cas plus général, avec deux parenthèses, serait l’expression (6 –3)(2 + 3). Encore une fois, nous devons d’abord résoudre les deux calculs dans l’espace entre les parenthèses, c’est-à-dire 6 – 3 et 2 + 3, puis nous supposons que nous devons faire le produit des deux résultats. Pour plus de clarté, développons le calcul.

(6 – 3)(2 + 3) = (6 – 3) × (2 + 3)

(6 – 3) × (2 + 3) = (3) × (3)

(3) × (3) = 3 × 3

3 × 3 = 9

Les parenthèses sont également utilisées lorsqu’il est nécessaire de regrouper des nombres et des variables dans un calcul ou dans une équation algébrique, mais lorsque des parenthèses ont déjà été utilisées. Autrement dit, s’il est nécessaire de regrouper des nombres et des variables dans l’espace déjà regroupé, le groupe intérieur est indiqué par des parenthèses et le groupe extérieur par des crochets. Si un autre groupement de troisième ordre dans le même espace est nécessaire, des accolades seraient alors utilisées. La séquence, également connue sous le nom de parenthèses imbriquées, suivrait l’ordre suivant : { [ ( ) ] }

Regardons un exemple d’expression mathématique qui combine des parenthèses et des crochets. Comme dans le cas des parenthèses, s’il n’y a pas d’opération explicite à côté des parenthèses, on suppose qu’il s’agit d’une multiplication.

4 – 3[4 – 2(6 – 3)] ÷ 3

Dans cette expression, nous devons d’abord résoudre les opérations à l’intérieur de l’espace des parenthèses.

4 – 2(6 – 3)

Cette expression, à son tour, a un ordre de priorités indiqué par les parenthèses ; Tout d’abord, vous devez résoudre la différence 6 – 3. Voyons le développement complet de la séquence de calcul.

4 – 3[4 – 2(6 – 3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 2 × (6 – 3)] ÷ 3

4 – 3 × [4 – 2 × (6 – 3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 2 × (3)] ÷ 3

4 – 3 × [4 – 2 × (3)] ÷ 3 = 4 – 3 × [4 – 6] ÷ 3

4 – 3 × [4 – 6] ÷ 3 = 4 – 3 × [-2] ÷ 3

4 – 3 × [-2] ÷ 3 = 4 + 6 ÷ 3

4 + 6 ÷ 3 = 4 + 2

4 + 2 = 6

Regardons maintenant un exemple qui combine les trois symboles.

2{1 + [4(2 + 1) + 3]}

Comme déjà mentionné, la règle générale est de résoudre les parenthèses imbriquées de l’intérieur vers l’extérieur. Voyons la séquence de calcul.

2{1 + [4(2 + 1) + 3]} = 2 × {1 + [4 × (2 + 1) + 3]}

2 × {1 + [4 × (2 + 1) + 3]} = 2 × {1 + [4 × (3) + 3]}

2 × {1 + [4 × (3) + 3]} = 2 × {1 + [12 + 3]}

2 × {1 + [12 + 3]} = 2 × {1 + [15]}

2 × {1 + [15]} = 2 × {16}

2 × {16} = 32

Les parenthèses, les crochets et les accolades sont également souvent appelés accolades, carrées et accolades respectivement. Dans certaines expressions, seules les parenthèses sont utilisées même lorsqu’il existe plusieurs espaces de calcul imbriqués. Ceci se fait notamment lorsque l’imbrication est supérieure à trois niveaux, auquel cas il n’y aurait plus de symboles différenciant les niveaux d’imbrication. Lorsque seules des parenthèses sont utilisées, des précautions particulières doivent être prises pour identifier le premier espace entre les parenthèses dans l’imbrication, le résoudre, puis passer au niveau suivant.

Fontaine

Samuel Selzer, Algèbre et géométrie analytique. Deuxième édition. Buenos Aires, 1970.