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La factorielle d’un entier positif est le produit de tous les entiers inférieurs ou égaux à lui, et est désignée par le symbole !. Par exemple, la factorielle du nombre 4 s’exprime par 4 ! et est égal à 24 :
4 ! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
En particulier, la factorielle du nombre 0, (c’est-à-dire 0 !), est définie égale à 1, bien que cette valeur ne ressorte pas de la définition de factorielle, qui n’est valable que pour tout entier supérieur ou égal à 1. Pourquoi Pourquoi la factorielle du nombre 0 est-elle définie comme 1 s’il existe une règle mathématique qui dit que tout nombre multiplié par zéro est égal à zéro ?
Au-delà de la confusion que cette situation peut engendrer, il faut noter que la valeur de la factorielle du nombre 0 est une définition ; c’est-à-dire que mathématiquement, il est défini que 0 ! = 1. Voyons ci-dessous les fondements de cette définition.
La définition de la factorielle du nombre 0
Comme nous l’avons déjà mentionné, la première chose à noter est que l’attribution de la valeur 1 à la factorielle du nombre 0 (0 ! = 1) est une définition, bien qu’en principe cela ne conduise pas à une explication satisfaisante si l’on ne regarde que à la définition de factorielle.
Rappelons que la définition d’un factoriel d’un entier positif est le produit de tous les entiers égaux ou inférieurs à celui-ci. Notez que cette définition implique également que la factorielle est associée à toutes les combinaisons possibles de nombres inférieurs ou égaux au nombre que nous considérons.
Le nombre 0 n’a pas d’entiers positifs inférieurs à lui mais c’est toujours un nombre et il n’y a qu’une seule combinaison possible de cet ensemble particulier de nombres composé uniquement du nombre 0. Cette combinaison est un, tout comme dans le cas du nombre 1.
Pour mieux comprendre le sens mathématique de cette définition, il faut tenir compte du fait que le concept factoriel implique également d’autres informations contenues dans un nombre, notamment les permutations possibles de ses facteurs. Même dans l’ensemble vide représenté par le chiffre 0 on peut penser qu’il existe un moyen d’ordonner cet ensemble.
Permutations et factorielles
Le concept de factorielle est utilisé dans la branche des mathématiques appelée combinatoire, une discipline dans laquelle le concept de permutation d’éléments est défini. Une permutation est un ordre spécifique et unique des éléments qui composent un certain ensemble. Par exemple, il y a six permutations possibles de l’ensemble {1, 2, 3}, contenant trois éléments, puisqu’on peut écrire ces éléments des six manières suivantes :
- 1, 2, 3
- 1, 3, 2
- 2, 3, 1
- 2, 1, 3
- 3, 2, 1
- 3, 1, 2
On pourrait aussi exprimer ce concept par l’expression factorielle de trois, 3 ! = 6, ce qui nous permet de calculer l’ensemble complet des permutations d’un groupe de 3 éléments. De même, il existe 24 permutations (4!=24) d’un ensemble à quatre éléments et 120 permutations possibles (5!=120) d’un ensemble à cinq éléments. Ainsi, une autre façon de penser le concept de factorielle est de mettre de côté l’idée qu’elle est associée à un nombre naturel n et de penser que n ! est le nombre de permutations d’un ensemble composé de n éléments.
Voyons quelques exemples considérant maintenant cette nouvelle conception de la factorielle d’un nombre. Un ensemble composé de deux éléments a deux permutations possibles : {a, b} peut être ordonné comme (a, b) ou comme (b, a). Ceci est associé à la définition de la factorielle du nombre 2 ; 2 ! = 2. Un ensemble composé d’un seul élément, {a}, n’a qu’une seule permutation possible, et est associé à la définition de la factorielle du nombre 1 ; 1! = 1.
Revenons maintenant au cas de la factorielle de 0. L’ensemble intégré par zéro éléments est appelé l’ensemble vide. Pour trouver la valeur de la factorielle de 0, nous pouvons nous demander de combien de façons pouvons-nous ordonner un ensemble sans éléments ? Et tandis qu’une réponse peut être qu’il n’y a rien à ordonner dans un ensemble vide, nous avons aussi l’alternative que même vide est un ensemble, donc la réponse pourrait être 1, et donc 0 ! = 1.
Autres applications de la factorielle
Comme nous l’avons déjà dit, le concept factoriel est utilisé en combinatoire et cet outil mathématique est utilisé pour effectuer des calculs dans des formules qui expriment des permutations et des combinaisons de groupes d’éléments. Bien que ces applications ne fournissent pas une justification directe de l’attribution de 1 à la factorielle du nombre 0, on comprend pourquoi elle est définie de cette manière.
Le concept de combinaison d’un groupe d’éléments fait référence au nombre de sous-groupes qui peuvent être obtenus avec eux, quel que soit l’ordre dans lequel ils sont considérés. Par exemple, l’ensemble {1, 2, 3} n’a qu’une seule jointure si trois éléments sont pris, quel que soit l’ordre. Mais si nous les prenions par deux éléments, nous aurions trois combinaisons possibles, {1, 3}, {2, 3} et {1, 2}, tout comme si nous les prenions par un élément, {1}, {2} et {3}. La formule générale pour calculer le nombre de combinaisons sans répétition d’un certain ensemble de n éléments pris en sous-groupes de p éléments est C ( n , p ) = n !/ p !( n–p ) !.
Si on utilise cette formule pour déterminer le nombre de combinaison de trois éléments pris trois, on voit que le résultat doit être 1, exprimé par C (3, 3) = 3 ! / 3 ! (3-3) ! = 3 ! / 3 ! 0!, il faut donc définir le 0! = 1 pour que l’expression mathématique ait un sens.
De la même manière, il existe d’autres situations qui obligent à définir la factorielle du nombre 0 comme 1, 0 ! = 1, dans le cadre de la conception générale du développement des mathématiques qui indique que lorsque de nouvelles idées sont construites et que de nouvelles définitions sont incorporées, il doit y avoir une compatibilité avec les structures préexistantes.
Bibliographie
Factorielle zéro ou 0 !. Académie Khan .
Existe-t-il un factoriel de 0 ? Chaîne YouTube Drift .
