L’importance du théorème central limite

Le théorème central limite est un théorème fondamental de la théorie des probabilités. Le terme « central » est équivalent à fondamental, ou d’importance centrale, et a été inventé par George Polyá en 1920, signifiant la pertinence du théorème dans la théorie des probabilités. Le théorème limite a plusieurs versions proposées par différents mathématiciens. Fondamentalement, le théorème central limite dit que sous certaines hypothèses, la distribution de la somme d’un très grand nombre de variables aléatoires se rapproche d’une distribution normale .

Le théorème central limite

L’énoncé du théorème central limite est abstrait, mais voyons comment le comprendre étape par étape. Supposons que nous ayons un échantillon aléatoire simple de n éléments d’une population d’intérêt. Dans cet échantillon, la moyenne de l’échantillon peut être calculée, qui représente la moyenne de la population d’intérêt. Une distribution de la moyenne de l’échantillon peut être générée en sélectionnant à plusieurs reprises des échantillons aléatoires simples de la même population qui ont la même taille, puis en calculant la moyenne de chacun de ces échantillons. Chacun des échantillons aléatoires simples doit être indépendant des autres.

Le théorème central limite concerne la distribution des moyennes d’échantillon et dit que cette distribution se rapproche d’une distribution normale. Plus les échantillons aléatoires simples sont grands, meilleure est l’approximation d’une distribution normale de la distribution des moyennes d’échantillon. Il convient de noter que le théorème central limite établit que dans ces conditions la distribution de la moyenne de l’échantillon est normale, quelle que soit sa distribution initiale. Même si la population a une distribution asymétrique, une situation fréquente lors de l’étude de paramètres tels que le revenu des personnes ou leur poids, la distribution de la moyenne de l’échantillon sera normale si la taille de l’échantillon est suffisamment grande.

Et c’est là que réside l’importance du théorème central limite, puisqu’il permet de simplifier les problèmes statistiques lorsque l’on travaille avec une distribution que l’on peut considérer comme normale. Il existe de nombreuses applications très pertinentes dans lesquelles il est essentiel de pouvoir considérer que la population a une distribution normale, comme les tests d’hypothèses ou la détermination d’intervalles de confiance.

Il n’est pas difficile de trouver des ensembles de données du monde réel qui montrent des valeurs aberrantes, des distributions asymétriques ou des pics multiples. Mais en appliquant le théorème central limite, si une taille d’échantillon appropriée est sélectionnée, les problèmes dans lesquels les populations ne présentent pas une distribution normale peuvent être résolus. Par conséquent, même si la distribution de la population à étudier n’est pas connue, le théorème central limite garantit que, si l’on prend des échantillons suffisamment grands, la distribution réelle peut être approximée par une distribution normale. Dans des situations particulières, une analyse exploratoire des données peut aider à mesurer la taille de l’échantillon afin que le théorème central limite soit valide.

Fontaine

Jimena Blaiotta, Pablo Delieutraz. Théorème central limite .  Faculté des sciences exactes et naturelles, Université de Buenos Aires, Argentine, 2004.