Les axiomes de probabilité

Les axiomes sont une série d’énoncés qui sont acceptés comme vrais sans besoin de preuve, et sur lesquels toutes les théories et théorèmes de la science sont basés. Par conséquent, les axiomes de probabilité sont les énoncés fondamentaux sur lesquels repose la théorie des probabilités . Ils représentent le cadre de référence ultime auquel tous les théorèmes existants en théorie des probabilités devraient logiquement se référer. Ils ont été postulés par le mathématicien russe Andrey Nikolaevich Kolmogorov en 1933 et dérivent uniquement du bon sens.

Le but des axiomes de probabilité est de formaliser le concept mathématique de probabilité pour s’assurer que les valeurs numériques que nous attribuons à la probabilité que quelque chose se produise soient cohérentes avec notre notion intuitive de probabilité.

Définitions préliminaires

La théorie des probabilités ne repose que sur trois axiomes , mais avant d’entrer dans les détails, il est nécessaire d’établir quelques définitions de base, ainsi que quelques conventions autour de la symbologie utilisée en probabilité :

• Expérience. C’est toute action ou processus qui génère un résultat ou une observation. Par exemple, lancer une pièce de monnaie est une expérience (un processus ou une action) qui peut entraîner pile ou face.
• Espace échantillon ( S ). Fait référence à l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience et est désigné par le symbole S. Dans l’exemple du tirage au sort ci-dessus, l’espace d’échantillonnage se compose de l’ensemble de seulement deux résultats : S = {face, face}.
• Événement ( E ). Un événement est un sous-ensemble de l’espace d’échantillonnage, c’est-à-dire un nombre quelconque de résultats possibles de l’expérience. Les événements sont généralement identifiés par des majuscules et des indices (tels que E ₁ , E ₂ , E ₃ , etc.) ou par des lettres différentes (A, B, C,…). Par exemple, tomber sur face en lançant une pièce de monnaie est un événement. Tails à venir est un événement différent.
• Probabilité ( P ) : C’est une valeur numérique qui est attribuée à un événement, et qui indique le degré de certitude que l’on a quant à sa survenance. En règle générale, plus vous êtes sûr qu’un événement (par exemple E ₁ ) se produira, plus la valeur de probabilité que vous attribuez à cet événement est élevée.

ensembles

En plus de ces définitions, il est également utile de rappeler certaines opérations liées aux ensembles. L’intersection entre deux ensembles donne un nouvel ensemble avec les éléments communs aux deux, il est noté par le symbole ∩ et se lit « et ». D’autre part, l’union entre deux ensembles est un nouvel ensemble avec tous les éléments communs et non communs des deux, il est représenté par le symbole ∪ et il se lit « ou ».

Exemple:

• L’expression P(E ₁ ∩ E ₂ ) se lit « Probabilité que l’événement E ₁ et l’événement E ₂ se produisent simultanément »
• L’expression P(E ₁ ∪ E ₂ ) se lit « Probabilité d’occurrence de l’événement E ₁ ou de l’événement E ₂ »

Axiome 1 de probabilité

Le premier axiome de probabilité dit que, étant donné une expérience, la probabilité que tout événement se produise (E) doit être un nombre réel non négatif. Cela s’exprime formellement par :

L’axiome 1 représente la notion intuitive qu’il est inutile de parler d’une probabilité négative . Il établit également une probabilité nulle comme limite inférieure, qui est attribuée à un événement impossible. Ce dernier est formellement défini comme tout résultat (ou ensemble de résultats) qui n’est pas contenu dans l’espace échantillon de l’expérience.

Exemple:

Lors du lancement d’un dé une seule fois, l’espace d’échantillonnage ne sera formé que par l’ensemble S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Le premier axiome stipule que la probabilité d’obtenir l’un des résultats (4, par exemple) doit être un nombre supérieur à zéro ( P(4)>0 ). D’autre part, la probabilité que le résultat soit 7, qui ne fait pas partie de l’espace échantillon, est nulle ( P(7)=0 ).

Notez que le premier axiome n’indique pas la magnitude de la probabilité d’événements possibles, c’est-à-dire qu’il n’indique pas quelle doit être la probabilité que le résultat du lancer de dé donne, par exemple, 4. Il précise seulement qu’il doit être un nombre positif. .

Axiome 2 de la probabilité

Le deuxième axiome de probabilité dit que, pour chaque expérience, la probabilité de l’espace échantillon est 1 , ou, formellement :

Une façon simple de comprendre l’axiome 2 est que la probabilité qu’un résultat, quel qu’il soit, soit obtenu dans l’expérience est de 1.

Exemple:

Comme mentionné ci-dessus, lorsque vous lancez une pièce de monnaie, il n’y a que deux résultats possibles : pile ou face, donc la probabilité qu’elle tombe pile ou face, selon l’axiome 2, est de 1.

Si le premier axiome fixe la borne inférieure de la probabilité à zéro, le second axiome fixe sa borne supérieure à 1. C’est parce que l’espace échantillon est un certain événement et sa probabilité doit donc être la probabilité maximale possible.

Axiome 3 de la probabilité

Si les événements E ₁ , E ₂ , …, E _n n’ont pas de résultats en commun (leur intersection est un ensemble vide), ils sont dits mutuellement exclusifs, puisque l’occurrence de l’un exclut l’occurrence de l’autre. Le troisième axiome stipule que la probabilité d’union d’événements mutuellement exclusifs est égale à la somme des probabilités de chaque événement individuel . Autrement dit:

Pour le cas le plus simple de seulement deux événements mutuellement exclusifs (comme dans le cas d’un tirage au sort), l’Axiome 3 est formulé comme suit :

Cet axiome formalise l’idée que plus il y a de résultats possibles à un événement, plus il est probable. Cela découle du fait que l’union de deux événements mutuellement exclusifs doit, par définition, contenir la somme de tous les résultats des deux événements.

Application des axiomes

En plus des exemples susmentionnés, les trois axiomes peuvent être utilisés pour construire et prouver des théorèmes utiles en théorie des probabilités. Un exemple simple consiste à déterminer la relation entre les probabilités de tout événement et son complément.

Si E est un événement quelconque, alors son complément (représenté par E ^c ) est défini comme l’événement que tout sauf E se produit , ou, ce qui revient au même, que E ne se produit pas . Cette définition a deux conséquences :

• Que E et E ^c sont mutuellement exclusifs.
• L’union entre E et E ^c donne l’espace d’échantillon, S ( E ∪ E ^c = S ).

Puisqu’ils s’excluent mutuellement, d’après le troisième axiome, on a que

Mais puisque cette union aboutit à S , alors

Maintenant, en appliquant le deuxième axiome , cela devient

qui est réorganisé comme

Enfin, puisque nous savons par le premier axiome que P(E ^c ) doit être une quantité non négative, nous concluons que la probabilité que tout événement se produise sera toujours égale à 1 moins la probabilité que l’événement ne se produise pas, et que chacune des deux probabilités doit avoir une valeur dans l’intervalle [0, 1].

Sources

Devone, JL (1998). Probabilité et statistiques pour l’ingénierie et les sciences (4e éd.). Éditeurs internationaux de Thomson.