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La définition des événements mutuellement exclusifs peut être donnée de différentes manières. Pour commencer, deux événements sont dits mutuellement exclusifs ou disjoints si la survenance de l’un exclut la possibilité que l’autre se produise . Cela signifie qu’il s’agit d’événements qui ne peuvent pas se produire simultanément . Par exemple, lorsque vous ne lancez un dé qu’une seule fois, le résultat de l’atterrissage sur l’une des six faces l’exclut de l’atterrissage sur l’une des cinq autres. Ainsi, l’événement qui aboutit à 4 et l’événement qui aboutit, disons, à 3, s’excluent mutuellement, puisque le dé ne peut pas atterrir à la fois sur 4 et 3 en même temps.
D’autre part, dans le domaine des probabilités, on dit que deux événements s’excluent mutuellement tant qu’ils ne partagent pas de résultats entre eux . Cela vient du fait qu’en probabilité, un événement est considéré comme un ensemble de résultats possibles d’une expérience. Différents événements peuvent être définis qui partagent ou ne partagent pas les résultats, et ceux qui ne partagent pas les résultats sont considérés comme mutuellement exclusifs.
En termes mathématiques plus formels, et en utilisant la notation de la théorie des ensembles, les événements A et B seront mutuellement exclusifs si leur intersection est l’ensemble vide , c’est-à-dire qu’ils ne se croisent pas. En d’autres termes, A et B seront mutuellement exclusifs tant que A ∩ B = Ø.
Quand deux événements s’excluent-ils mutuellement ?
Dans les cas où la logique ne nous dit pas à l’avance si deux événements sont mutuellement exclusifs, la théorie des ensembles et la probabilité fournissent la solution. Voici trois façons simples de déterminer, hors de tout doute, quand deux événements sont mutuellement exclusifs ou disjoints.
Observer les éléments de chaque ensemble
Lorsque deux événements contiennent un ensemble fini et petit d’éléments, il est très facile de déterminer s’ils sont disjoints ou non, simplement en vérifiant s’ils contiennent ou non des éléments communs.
Exemple
Considérons, par exemple, l’expérience de lancer deux dés simultanément. Définissons maintenant les deux événements suivants :
- Soit A l’événement où la somme des deux dés est supérieure ou égale à 10.
- Soit B l’événement dans lequel la somme des deux dés est exactement égale à 8.
Il est facile de déterminer quels résultats sont inclus dans chaque événement. Dans le premier, seuls les résultats (5,5) ; (5,6) et (6,6) aboutissent à une somme supérieure ou égale à 10. En revanche, seuls les résultats (4,4) ; (5,3) et (6,2) donnent 8. Nous pouvons donc maintenant écrire, en utilisant la symbologie ensembliste :
Puisqu’il n’y a pas d’éléments communs, l’intersection est l’ensemble vide, et donc les événements sont mutuellement exclusifs.
Utilisation des diagrammes de Venn
Un autre moyen très simple de déterminer si deux événements s’excluent mutuellement consiste à les représenter dans un diagramme de Venn. Dans ces diagrammes, l’espace échantillon est représenté par un rectangle (ou une autre forme), tandis que tous les événements sont représentés comme des zones internes de l’espace échantillon.
Dans un diagramme de Venn, les événements mutuellement exclusifs sont facilement reconnus comme les zones du rectangle qui ne se touchent pas ou ne se chevauchent pas.
Par la probabilité d’union
Dans certains cas, les deux méthodes ci-dessus ne peuvent pas être appliquées. Une autre façon de vérifier si oui ou non deux événements s’excluent mutuellement est la probabilité. Si les probabilités individuelles de chaque événement sont connues, c’est-à-dire P(A) et P(B), ainsi que la probabilité que l’un ou l’autre événement se produise, c’est-à-dire P(AUB), alors on sait que deux événements sont disjoints s’il est vérifié que :
Une autre méthode consiste à utiliser la probabilité d’intersection. Deux événements seront mutuellement exclusifs tant que P(A ∩ B) = 0 .
Exemples d’événements mutuellement exclusifs
Les événements simples sont toujours mutuellement exclusifs
Les événements simples sont ceux qui contiennent un seul résultat. Lors du lancement d’un dé à six faces, l’événement où il sort 6 est un événement simple, car il n’est composé que du résultat 6. En revanche, l’événement qu’il sort même n’est pas simple, puisqu’il est composé de trois résultats, qui Ils sont 2, 4 et 6.
Tous les événements simples d’une expérience seront toujours mutuellement exclusifs.
Exemple
Supposons qu’une étude détermine le nombre d’hommes nés par semaine dans un hôpital. L’espace d’échantillonnage, S , pour cette expérience est
Certains événements simples seraient :
Comme on peut le voir, puisqu’ils n’ont pas plus d’un résultat et qu’ils sont tous différents, aucun de ces événements ne peut partager des éléments avec un autre et, par conséquent, ils seront toujours mutuellement exclusifs.
Lancez trois dés simultanément
Lancer trois dés en même temps est une expérience qui peut avoir 36 résultats différents, puisque l’ordre des dés n’a pas d’importance : les résultats (1,2,3) ; (1,3,2); (2,1,3); (2,3,1); (3,1,2) et (3,2,1) représentent tous le même résultat.
Imaginez que les trois événements suivants se produisent :
- A = événement dans lequel tous les dés donnent le même résultat.
- B = événement dans lequel seuls deux dés donnent le même résultat.
- C = événement dans lequel tous les dés donnent des résultats différents.
Par le seul bon sens, on peut conclure que A, B et C sont tous des événements mutuellement exclusifs, car si tous les dés donnent le même résultat (l’événement A se produit), il est impossible que seuls deux soient identiques et un différent, ou que tout soit différent.
Jeu de cartes
Imaginez une expérience dans laquelle deux cartes sont tirées au hasard dans un jeu de 52 cartes de poker. Définissons maintenant les événements suivants :
- A = seuls les points rouges sont dessinés.
- B = seuls les points noirs sont dessinés.
Ces événements s’excluent mutuellement, car si les cartes sont toutes les deux rouges, elles ne peuvent pas être toutes les deux noires et vice versa.
Exemples d’événements qui ne s’excluent pas mutuellement
Lancez trois dés simultanément
Prenons la même expérience à trois dés décrite ci-dessus, mais définissons maintenant les événements suivants :
- A = événement où tous les dés sont égaux = {(1,1,1); (2,2,2); (3,3,3);…}
- B = événement dans lequel tous les dés sont pairs = { (2,2,2); (2,2,4); (2,2,6)…}
En comparant les éléments à l’intérieur de A et B, il est facile de voir qu’il y aura correspondance, et que l’intersection de A et B sera :
Puisque l’intersection n’est pas l’ensemble vide, alors ces événements ne sont pas disjoints.
Jeu de cartes
En répétant la même expérience consistant à tirer deux cartes d’un jeu, considérons les nouveaux événements suivants :
- A = au moins une carte est un cœur.
- B = au moins une carte est un roi.
Dans ce cas, chaque fois qu’un roi de cœur est tiré, A et B se produisent en même temps. En fait, ce n’est pas le seul résultat qui se produit, puisque si un roi de pique et un as de cœur sont tirés, A et B se produiront également simultanément. Par conséquent, A et B ne sont pas des événements mutuellement exclusifs.
Importance et application des événements mutuellement exclusifs
En mathématiques, le calcul de la probabilité d’événements multiples dépend dans une large mesure du fait qu’ils s’excluent mutuellement ou non. Par exemple, l’un des axiomes de probabilité stipule que la probabilité d’union de plusieurs événements est égale à la somme de la probabilité individuelle de chaque événement si, et seulement si, tous les événements s’excluent mutuellement . En d’autres termes,
Uniquement si A et B sont des événements disjoints ou mutuellement exclusifs.
S’ils ne s’excluent pas mutuellement, alors la somme des probabilités compte deux fois la probabilité d’issues communes aux deux événements, c’est-à-dire la probabilité d’intersection. Pour cette raison, dans ces cas, la probabilité d’union est calculée d’une manière différente :
Pour trois événements, A, B et C qui ne s’excluent pas mutuellement et qui se croisent également, les choses se compliquent encore plus :
Dans ce cas, la probabilité d’intersection des trois événements, P( A ∩ B ∩ C) , doit être ajoutée en dernier, puisqu’elle a été soustraite trois fois en soustrayant les intersections des différentes paires d’événements.
