La règle du complément en statistique

En statistique et en probabilité, la règle du complément établit que la probabilité que tout événement A se produise sera toujours égale à l’unité moins la probabilité que l’événement opposé ou complémentaire à A se produise . En d’autres termes, c’est une règle qui indique que les probabilités d’un événement et de son complément sont liées au moyen de l’expression suivante :

Cette règle est l’une des propriétés de base de la probabilité et nous dit que nous pouvons toujours calculer la probabilité d’un événement si nous connaissons la probabilité de son complément et vice versa. Ceci est particulièrement important, car dans de nombreuses situations réelles où nous devons calculer la probabilité d’un événement, il est beaucoup plus facile de calculer directement la probabilité de son complément. Ensuite, une fois celle-ci calculée, on utilise la règle du complément pour déterminer la probabilité que l’on voulait initialement.

Voici quelques exemples simples d’application de cette règle :

• Si la probabilité que le Real Madrid gagne un match de football de Ligue des champions est de 34/57 ou 0,5965, la probabilité qu’il ne gagne pas un match de Ligue des champions est de 1-34/57 = 23/57 ou 0,4035.
• La probabilité qu’un dé commun à 6 faces atterrisse sur un nombre pair inférieur à 6 est de 1/3, donc la probabilité que le dé n’atterrisse pas sur un nombre pair inférieur à 6 est de 2/3.

Preuve de la règle du complément

La règle du complément peut être démontrée de plusieurs manières différentes, dont chacune facilitera la mémorisation du lecteur. Pour faire cette démonstration, il faut commencer par définir quelques termes de base comme qu’est-ce qu’un événement et quel est son complément. De plus, nous devons énoncer quelques-uns des principaux axiomes sur lesquels repose la probabilité.

Expériences, résultats, espace d’échantillonnage et événements

Dans les statistiques et les probabilités, nous parlons de réaliser des expériences , telles que lancer des pièces, lancer un dé, choisir une carte ou un jeu parmi un jeu mélangé au hasard, etc. Chaque fois que nous réalisons une expérience, nous obtenons un résultat , comme choisir le 2 de trèfle du jeu de cartes à jouer espagnoles.

L’ensemble total de tous les différents résultats possibles qu’une expérience peut donner est appelé l’ espace d’échantillonnage et est généralement représenté par la lettre S.

D’autre part, un résultat particulier ou un ensemble de résultats de l’expérience est appelé événement . Les événements peuvent être des résultats individuels, auquel cas ils sont appelés événements simples, ou ils peuvent être des événements composés composés de plusieurs éléments ou résultats.

Qu’est-ce que le plugin d’un événement ?

Le complément d’un événement n’est rien de plus que l’ensemble de tous les autres résultats possibles dans l’espace échantillon qui n’incluent pas les résultats de l’événement lui-même . Dans le cas de l’exemple de lancer un dé, le complément de l’événement dans lequel le dé atterrit sur 5, par exemple, est un autre événement dans lequel le dé atterrit sur 1, 2, 3, 4 ou 6, ou quoi que ce soit. C’est pareil, ça ne rentre pas dans 5.

Les plugins sont souvent représentés de différentes manières. Les deux formes les plus courantes sont :

• Placer une barre oblique au-dessus du nom de l’événement (par exemple, A̅ représente le complément de l’événement A).
• Placer un C en exposant (A ^C ).

Dans les deux cas, il se lit « Complément A », « Complément de A » ou « Pas A ».

Un moyen simple de comprendre à la fois le concept de plugin et la règle de plugin elle-même consiste à utiliser les diagrammes de Venn . La figure suivante montre un schéma simple d’une expérience et d’un événement unique que nous appellerons A.

Dans les diagrammes de Venn comme celui-ci, le rectangle entier représente l’espace d’échantillonnage de l’expérience, tandis que toute la surface du rectangle (dans ce cas, les zones grises et bleues) représente la probabilité de l’espace d’échantillonnage, qui, par définition , est égal à 1. En effet, si nous réalisons une expérience, il est absolument certain qu’un résultat contenu dans l’espace échantillon sera obtenu, puisqu’il contient tous les résultats possibles.

Le cercle bleu délimite la zone de l’espace de spectacle dans laquelle sont censés se trouver tous les résultats possibles de l’événement A. Par exemple, si l’événement A lance un nombre pair, alors cette zone bleue doit contenir les résultats 2, 4 et 6 Par contre, toute la zone qui est en dehors de l’événement A (c’est-à-dire la zone grise), est le complément de A puisqu’elle contient les autres résultats (1, 3 et 5).

La règle du complément et les diagrammes de Venn

Une clé pour comprendre la règle du complément à l’aide des diagrammes de Venn est que l’aire de tout événement dans ces diagrammes est proportionnelle à sa probabilité; la surface totale du rectangle correspond à une probabilité de 1. Comme on peut le voir clairement, l’événement A (cercle bleu) et son complément, A̅ (zone grise) forment ensemble le rectangle entier.

Pour cette raison, la somme de leurs aires, qui représentent leurs probabilités respectives, doit être égale à 1, qui est l’aire de l’espace échantillon, S. En réarrangeant cela, on obtiendrait :

C’est la règle du complément.

La règle du complément des axiomes de probabilité

Tout événement et son complément forment une paire d’événements disjoints ou mutuellement exclusifs, puisque si l’un se produit, il est impossible, par définition, que l’autre se produise. Dans ces conditions, la probabilité d’union de ces deux événements est simplement donnée par la somme des probabilités individuelles. C’est-à-dire:

De plus, comme nous l’avons dit précédemment, l’union des événements A et de son complément, A ^C , donne l’espace d’échantillonnage :

En substituant P(AUC ^C ) dans l’équation ci-dessus puis en substituant la probabilité de S qui par définition est 1, nous obtenons :

En réarrangeant les deux derniers membres, on obtient la règle du complément.

Exemple de problème d’application de règle de plugin

Ce qui suit est un exemple d’un problème typique où l’utilisation de la règle du plugin est particulièrement utile.

déclaration

Supposons que nous ayons un circuit composé de 5 puces identiques connectées en série, c’est-à-dire les unes après les autres. La probabilité qu’une puce tombe en panne au cours de la première année de sa fabrication est de 0,0002. Si l’une des 5 puces tombe en panne, tout le système tombe en panne. Vous voulez trouver la probabilité que le système tombe en panne au cours de la première année.

Solution

Appelons F (pour échec) le résultat dans lequel un composant ou une puce système échoue et E (succès) pour le résultat dans lequel le composant n’échoue pas ou, ce qui revient au même, il fonctionne. Ensuite, les données fournies par la déclaration sont :

L’expérience dans laquelle on détermine si l’ensemble du système tombe en panne correspond en fait à la réalisation de 5 expériences simultanées dans lesquelles on détermine si l’un des composants tombe en panne. Ainsi, l’espace d’échantillonnage pour cette expérience se compose de toutes les combinaisons de résultats de succès ou d’échec sur chacun des 5 composants. Étant connectés en série, nous savons que l’ordre compte. Par conséquent, l’espace d’échantillonnage est formé par :

Cet espace échantillon contient 2 ⁵ =32 résultats possibles correspondant à toutes les combinaisons possibles de Es et Fs. Puisque nous voulons calculer la probabilité que le système tombe en panne, l’événement qui nous intéresse, que nous appellerons événement A, est donné par tous les résultats dont au moins un des composants tombe en panne. En d’autres termes, il est donné par l’ensemble de résultats suivant :

En fait, il y a 2 ⁵ -1=31 résultats possibles dans lesquels au moins un des cinq composants échoue. Si nous voulions calculer la probabilité de A (c’est-à-dire P(A)), nous aurions besoin de calculer la probabilité de chacun de ces résultats ; ce serait un travail considérable.

Cependant, considérons maintenant l’événement complémentaire de A, c’est-à-dire l’événement dans lequel le système fonctionne (que nous appellerons A ^C ). Comme nous pouvons le voir, la seule façon pour l’ensemble du système de fonctionner est que les cinq composants du circuit fonctionnent, c’est-à-dire :

Le calcul de cette probabilité est beaucoup plus facile que le calcul de la précédente. Ensuite, étant donné cette probabilité, nous utilisons la règle du complément pour calculer la probabilité de A. Puisque les résultats de chaque puce sont des événements indépendants les uns des autres, la probabilité de A ^C est simplement le produit de la probabilité que chaque puce fonctionne, c’est-à-dire :

Mais quelle est la probabilité de E ? Rappelez-vous que chaque puce fonctionne ou ne fonctionne pas, donc E est le complément de F. Par conséquent, si nous avons la probabilité de F (qui est donnée dans l’exercice), nous pouvons calculer la probabilité de E en utilisant la règle du complément :

Nous pouvons maintenant calculer la probabilité que le système complet fonctionne :

Et, en appliquant à nouveau la règle du complément, nous calculons la probabilité que le système tombe en panne :

Répondre

La probabilité que le système tombe en panne la première année est de 0,010 ou 1,0 %.

Les références

Devore, JL (1998). PROBABILITÉ ET STATISTIQUES POUR L’INGÉNIERIE ET ​​LES SCIENCES . Éditeurs internationaux de Thomson, SA

Règle complémentaire . (sd). Fhybea. https://www.fhybea.com/complement-rule.html

Règle du complément en probabilités . (2021, 1er janvier). MateMobile. https://matemovil.com/regla-del-complemento-en-probabilidades/