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L’écart-type de la population est l’un des paramètres de population les plus importants pour mesurer la variabilité ou la dispersion des données au sein de la population. Comme tout paramètre en statistique, il est représenté par une lettre grecque, en l’occurrence la lettre σ (sigma). Cela permet de le différencier facilement de l’écart-type du ou des échantillons qui, bien que similaire, n’est pas le même et n’est pas calculé avec les mêmes formules.
Ensuite, nous verrons, au moyen d’un exemple, différentes manières de calculer l’écart-type d’une population. Il convient de noter que, pour calculer l’ écart-type de la population , il est essentiel de connaître toutes les données de la population. Cela se produit rarement dans des contextes réels, mais il est toujours important de comprendre comment il est calculé, car cela aide à comprendre certaines des caractéristiques mathématiques de ce paramètre important.
Formules d’écart type de la population
Selon les données disponibles, l’écart-type de la population peut être déterminé à l’aide de trois formules différentes.
Définition mathématique de l’écart-type de la population
L’écart type est défini comme la racine carrée de la variance, σ 2 . Autrement dit, si nous connaissons la variance de la population, nous pouvons calculer l’écart type à l’aide de l’équation suivante :
Ce cas se produit rarement, mais il est bon de le garder à l’esprit.
Autres formules d’écart type de la population
Si au lieu de connaître la variance d’une population, nous connaissons tous les N éléments de données qui la composent, alors nous pouvons calculer l’écart type de la population comme la racine carrée de la moyenne des écarts au carré par rapport à la moyenne. C’est-à-dire:
Dans cette équation, x i représente la valeur de chaque élément de données dans la population, N représente le nombre d’éléments de données dans la population (ou la taille de la population, qui est la même) et μ est la moyenne de la population. Notez que la moyenne de la population est également représentée par une lettre grecque car il s’agit d’un autre paramètre de la population et la taille de la population est représentée par N (lettre majuscule) pour la distinguer de n qui est généralement associé à la taille d’un échantillon .
La moyenne de la population, μ, est donnée par :
L’équation 2 peut être développée, réarrangée et simplifiée pour obtenir :
Dans le cas où l’on ne dispose pas de données individuelles de la population mais de données regroupées dans un tableau de fréquence, les formules précédentes sont légèrement modifiées pour donner :
Dans les équations ci-dessus, la quantité qui se trouve dans la racine n’est rien de plus que la variance de la population. L’équation 4 a l’avantage d’être établie exclusivement en termes de données de population et non de certains paramètres de population comme dans le cas des équations 2 et 5.
Exemple de calcul de l’écart-type de la population
Supposons que nous voulions déterminer la variabilité du poids d’un modèle de voiture particulier dont seuls 20 exemplaires sont connus dans le monde. Les données des masses en kilogrammes de ces 20 voitures sont présentées dans le tableau suivant :
| 410 | 408 | 408 | 405 | 391 | 390 | 402 | 397 | 397 | 395 |
| 390 | 404 | 397 | 394 | 399 | 397 | 405 | 408 | 410 | 400 |
Comme nous savons qu’il n’y a que 20 voitures de ce modèle, celles-ci représentent l’ensemble de la population, nous avons donc toutes les données nécessaires pour déterminer l’ écart type de la population. Examinons trois façons différentes de déterminer cet écart type.
Méthode 1 : Calcul basé sur la définition de la variance
Cette méthode est basée sur l’utilisation de l’équation 2 présentée ci-dessus. Comme nous pouvons le voir, l’équation nécessite l’utilisation de la moyenne de la population et une autre série de calculs qui sont détaillés ci-dessous :
Étape 1 : Déterminer la moyenne de la population
La moyenne de la population ou μ est calculée au moyen de l’équation 3, en ajoutant toutes les données et en divisant par le nombre total de données, qui est, dans ce cas, 20.
Étape 2 : Calculer les écarts à la moyenne
Cette étape consiste à calculer les soustractions (x i – μ). Par exemple:
x 1 – μ = 410 – 400,35 kg = 9,65 kg
x 2 – μ = 408 – 400,35 kg = 7,65 kg
x 3 – μ = 408 – 400,35 kg = 7,65 kg
…
X 20 – μ = 400 kg – 400,35 kg = – 0,35
Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :
| x je | x je – μ |
| 410 | 9.65 |
| 408 | 7,65 |
| 408 | 7,65 |
| 405 | 4,65 |
| 391 | -9.35 |
| 390 | -10h35 |
| 402 | 1,65 |
| 397 | -3.35 |
| 397 | -3.35 |
| 395 | -5.35 |
| 390 | -10h35 |
| 404 | 3,65 |
| 397 | -3.35 |
| 394 | -6.35 |
| 399 | -1.35 |
| 397 | -3.35 |
| 405 | 4,65 |
| 408 | 7,65 |
| 410 | 9.65 |
| 400 | -0,35 |
Étape 3 : Mettez au carré tous les écarts par rapport à la moyenne
(x 1 – μ) 2 = (9,65) 2 = 93,1225 kg 2
(x 2 – μ) 2 = (7,65) 2 = 58,5225 kg 2
(x 3 – μ) 2 = (7,65) 2 = 58,5225 kg 2
…
(x 20 – μ) 2 = (– 0,35) 2 = 0,1225 kg 2
Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :
| x je / kg | (x i – μ)/ kg | (x i – μ ) 2 / kg 2 |
| 410 | 9.65 | 93.1225 |
| 408 | 7,65 | 58.5225 |
| 408 | 7,65 | 58.5225 |
| 405 | 4,65 | 21.6225 |
| 391 | -9.35 | 87.4225 |
| 390 | -10h35 | 107.1225 |
| 402 | 1,65 | 2,7225 |
| 397 | -3.35 | 11.2225 |
| 397 | -3.35 | 11.2225 |
| 395 | -5.35 | 28.6225 |
| 390 | -10h35 | 107.1225 |
| 404 | 3,65 | 13.3225 |
| 397 | -3.35 | 11.2225 |
| 394 | -6.35 | 40.3225 |
| 399 | -1.35 | 1.8225 |
| 397 | -3.35 | 11.2225 |
| 405 | 4,65 | 21.6225 |
| 408 | 7,65 | 58.5225 |
| 410 | 9.65 | 93.1225 |
| 400 | -0,35 | 0,1225 |
Étape 4 : Additionnez tous les écarts au carré
Étape 5 : Appliquer la formule de l’équation 2
Maintenant que nous avons cette somme, il ne reste plus qu’à remplacer cette valeur, ainsi que le nombre de données, qui est de 20, dans l’équation 2 :
Ainsi, nous obtenons que l’écart-type du poids de la population de 20 voitures est d’env. 6,5 kg.
Méthode 2 : Utilisation de l’équation réarrangée
Nous allons maintenant effectuer le même calcul, mais en utilisant l’équation 4, qui est équivalente à l’équation que nous venons d’utiliser, mais qui est plus pratique, surtout si vous travaillez avec un plus grand nombre de données. Le principal avantage est qu’il n’est pas nécessaire de calculer un paramètre supplémentaire (la moyenne de la population) pour pouvoir calculer les écarts, mais tout est calculé sur la base des données individuelles d’origine. De plus, à aucun moment vous n’avez besoin de travailler avec des nombres négatifs, qui sont une source majeure d’erreur chez les élèves.
Étape 1 : Calculer le carré de chaque donnée individuelle
C’est-à-dire que les calculs suivants sont effectués:
(x 1 ) 2 = (410) 2 = 168 100 kg 2
(x 2 ) 2 = (408) 2 = 166,464 kg 2
(x 3 ) 2 = (408) 2 = 166,464 kg 2
…
(x 20 ) 2 = (400) 2 = 160 000 kg 2
Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :
| x je | x je 2 |
| 410 | 168 100 |
| 408 | 166 464 |
| 408 | 166 464 |
| 405 | 164 025 |
| 391 | 152 881 |
| 390 | 152 100 |
| 402 | 161 604 |
| 397 | 157 609 |
| 397 | 157 609 |
| 395 | 156 025 |
| 390 | 152 100 |
| 404 | 163 216 |
| 397 | 157 609 |
| 394 | 155 236 |
| 399 | 159 201 |
| 397 | 157 609 |
| 405 | 164 025 |
| 408 | 166 464 |
| 410 | 168 100 |
| 400 | 160 000 |
Étape 2 : Additionnez toutes les données individuelles
Étape 3 : Ajoutez tous les carrés
Étape 4 : Appliquer la formule de l’équation 4
La dernière étape consiste à introduire ces deux valeurs et le nombre de données dans l’équation 4 pour obtenir l’écart-type de la population :
Méthode 3 : Utiliser des feuilles de calcul
Les feuilles de calcul telles que Microsoft Excel, Apple Numbers ou Google Sheets incluent parmi leurs fonctions de base le calcul direct de l’écart type (à la fois de l’échantillon et de la population). Ces fonctions prennent un ensemble de données comme argument et effectuent tous les calculs présentés dans la méthode précédente pour renvoyer directement l’écart type dans la cellule où la formule est saisie.
La procédure est la suivante :
Étape 1 : Saisissez les données dans la feuille de calcul
Nous pouvons entrer les données sous la forme d’une colonne, d’une ligne ou d’une matrice n’importe où dans la feuille de calcul. La capture d’écran suivante montre à quoi ressemblent les données de ce problème dans Excel 2016.
Étape 2 : Utilisez la formule pour calculer l’écart type
Une fois les données ajoutées, nous utilisons la fonction d’écart type, en plaçant les cellules où se trouvent les données comme arguments.
Pour appeler une fonction dans une feuille de calcul, nous commençons généralement par taper le signe égal (=) suivi du nom de la fonction que nous voulons utiliser. Les noms changent légèrement d’une application à l’autre et dans certains cas changent également en fonction de la langue dans laquelle vous travaillez.
Dans le cas d’Excel (version espagnole), la fonction de calcul de l’écart type de la population s’appelle STDEV.P, tandis que dans Google Sheets, c’est STDEVP (sans le point). Ensuite, vous devez entrer le ou les arguments de la fonction entre parenthèses. Dans notre exemple, nous passons en argument la plage de cellules dans laquelle se trouvent les données (allant de la cellule A3 à J4).
En appuyant sur ENTER, le programme exécute la fonction et calcule l’écart type de la population, en présentant le résultat dans la cellule respective, comme indiqué ci-dessous :
Comme nous pouvons le voir, chacune des trois méthodes pratiquées ici produit le même résultat. C’est juste différentes manières de faire la même chose.
Autres méthodes
En plus des trois méthodes mentionnées ci-dessus, les calculatrices scientifiques et financières ont aussi souvent une fonction pour déterminer l’écart type d’un ensemble de données, qu’il s’agisse d’un échantillon ou d’une population. La manière dont les données sont saisies et les résultats obtenus varient d’un fabricant à l’autre, et même d’un modèle de calculatrice à l’autre, il n’est donc pas pratique de montrer ici les étapes spécifiques pour le faire.
Au lieu de cela, nous discuterons des étapes générales les plus importantes sans les approfondir. Toute personne souhaitant utiliser cette fonction sur sa calculatrice scientifique doit se référer au manuel d’utilisation fourni avec la calculatrice ou le rechercher en ligne pour déterminer la combinaison de touches spécifique dans chaque cas.
Étape 1 : Effacer la mémoire
Sur de nombreuses calculatrices, les données précédemment stockées ne sont pas visibles. Si nous entrons des données sur d’autres qui ont déjà été stockées sans s’en rendre compte, la calculatrice donnera un résultat erroné. Pour s’assurer que cela ne se produise pas, il est conseillé de vider toute la mémoire de la calculatrice (ou au moins le mode d’analyse statistique) avant de commencer à saisir de nouvelles données.
Étape 2 : Accéder au mode statistiques
Les fonctions pour calculer l’écart-type font partie du mode « Statistiques », « Statistiques » ou simplement « S » sur la plupart des calculatrices, il faut donc commencer par entrer dans ce mode de fonctionnement.
Étape 3 : Saisissez les données
Cela varie d’une calculatrice à l’autre. Dans certains cas, les données peuvent être ajoutées sous forme de tableau, tandis que dans d’autres, les données sont saisies une par une après avoir appuyé sur la touche DT (ou DAT). Il est important de vérifier le nombre de données saisies à la fin de cette étape pour s’assurer qu’il n’en manque aucune.
Étape 4 : Calculer l’écart type de la population
Une fois les données saisies, il ne reste plus qu’à demander à la calculatrice le résultat que l’on recherche. Sur de nombreuses calculatrices, les écarts types de l’échantillon et de la population sont représentés par le symbole σ (bien qu’il s’agisse d’une erreur dans le cas de l’écart de l’échantillon). Cependant, nous pouvons distinguer l’écart de l’échantillon de l’écart de la population car l’écart de l’échantillon est accompagné de n-1 (c’est-à-dire qu’il apparaît sous la forme σ n-1 ) tandis que l’écart de la population apparaît sous la forme s n . Cela fait référence au fait que dans le calcul de l’écart-type de l’échantillon, il est divisé par n-1 au lieu de n comme dans la population.
Les références
Devore, JL (2019). Probabilité et statistiques (1ère éd .). Cengage Apprentissage.
MateMobile. (2021, 1er janvier). Variance et écart type pour les données groupées | mère-mobile . https://matemovil.com/varianza-y-desviacion-estandar-para-datos-agrupados-por-intervalos/
Assistance technique Google. (sd). STDEV (STDEV) – Aide des éditeurs Google Docs . Google – Aide des éditeurs Google Docs. https://support.google.com/docs/answer/3094054?hl=en-419
Superprof. (sd). Écart-type . Dictionnaire de mathématiques | Superprof. https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/estadistica/desviacion-estandar.html
TOMi.numérique. (sd). Écart type pour les données groupées . https://tomi.digital/en/52202/standard-deviation-for-grouped-data?utm_source=google&utm_medium=seo
