Les ensembles indénombrables les plus courants

Un ensemble de nombres est indénombrable lorsqu’il n’est pas possible d’attribuer un nombre naturel unique à tous ses éléments . En d’autres termes, les ensembles indénombrables sont ceux qui n’ont pas de correspondance biunivoque avec les nombres naturels.

Nous utilisons généralement les nombres naturels intuitivement pour compter, et nous le faisons en attribuant un nombre naturel à chaque élément du groupe que nous voulons compter, de manière séquentielle. Par exemple, lorsque nous comptons le nombre de doigts que nous avons sur une main, nous attribuons à chacun des doigts un nombre naturel unique commençant par 1 et se terminant par 5. Nous savons alors qu’il y a 5 doigts sur les mains car c’est la valeur la plus élevée nous attribuons aux doigts. Autrement dit, on compte les doigts.

Cette idée ne peut pas être appliquée à certains ensembles de nombres. Dans certains cas, les ensembles sont si grands que même l’utilisation de nombres naturels infinis ne suffirait pas à numéroter tous les éléments de l’ensemble. Puisque l’ensemble des nombres naturels est infini, l’idée qu’il existe des ensembles indénombrables suggère l’idée qu’il existe des infinis plus grands que d’autres, et seuls les ensembles qui ont un infini de la même « taille » que l’ensemble des nombres naturels sont dénombrables, les nombres naturels. Le nombre d’éléments dans un ensemble est appelé cardinal, donc les ensembles indénombrables sont ceux dont le cardinal est supérieur à celui des nombres naturels.

Quelques propriétés des ensembles dénombrables et indénombrables

Pour comprendre pourquoi certains ensembles sont dénombrables et d’autres non, il est utile de connaître certaines propriétés des ensembles :

• Si A est un sous-ensemble de B et que A est indénombrable, alors B est également indénombrable. En d’autres termes, tout ensemble qui contient un ensemble indénombrable doit lui-même être indénombrable.
• Si A est indénombrable et B est un ensemble quelconque (dénombrable ou non), alors l’union AUB est également indénombrable.
• Si A est indénombrable et B est un ensemble quelconque, alors le produit cartésien A x B est également indénombrable.
• Si A est infini (même dénombrable infini), alors l’ensemble de puissance de A est indénombrable.

Exemples des ensembles indénombrables les plus courants

L’ensemble des nombres réels (R)

L’ensemble des nombres réels est le premier exemple d’ensemble indénombrable. Mais comment savons-nous qu’ils sont indénombrables s’ils ont des éléments infinis et nous avons aussi des nombres naturels infinis à attribuer ? Nous le faisons grâce à l’argument diagonal de Cantor.

Diagonale de Cantor

L’argument diagonal de Cantor nous permet de montrer que le sous-ensemble de nombres réels compris entre deux limites bien définies, par exemple entre 0 et 1, est un ensemble indénombrable. En conséquence, par les propriétés déjà mentionnées des ensembles indénombrables, l’ensemble complet de tous les nombres réels doit également être indénombrable.

Supposons que nous créons une liste infinie de nombres réels entre 0 et 1. La manière dont cette liste est construite n’a aucune importance. La seule chose qui compte, c’est que tous les nombres soient uniques. Maintenant, nous allons attribuer à chacun de ces nombres un nombre naturel unique, commençant à 1 et fonctionnant de manière séquentielle. Un exemple de cette liste est présenté dans le tableau suivant :

À ce stade, nous attribuons un nombre naturel unique à tous les nombres de notre liste. Puisque cette liste est infinie, et que chaque nombre réel correspond à un nombre naturel, alors nous « dépensons » tous les nombres naturels de ce tableau. Ce que Canto a fait, c’est montrer qu’il existe au moins un nombre réel supplémentaire qui ne figure pas sur cette liste et ne peut donc pas être compté. Ce nombre est construit en prenant tous les éléments de la diagonale qui traverse le tableau, puis en ajoutant 1. C’est-à-dire que le nouveau nombre commencera par le premier chiffre du premier nombre augmenté d’une unité, puis il aura le deuxième chiffre de le deuxième nombre augmenté d’une unité, puis le troisième chiffre du troisième nombre et ainsi de suite.

Dans le tableau suivant, les éléments de la diagonale sont surlignés en gras et le nombre résultant de l’opération est ajouté à la dernière ligne :

Le nombre résultant est 0,33198226…

Comme nous pouvons le voir, puisque le premier chiffre du nouveau numéro (qui est 3) est différent du premier chiffre du premier numéro de la liste (qui est 2), alors ce sera un numéro différent du premier, même si tous les autres nombres sont exactement les mêmes. Étant donné que le deuxième chiffre (3) est différent du deuxième chiffre du deuxième nombre (2), il sera également différent du deuxième nombre.

Ce même argument peut être poursuivi indéfiniment en avançant le long de la diagonale, en veillant à ce que le nombre résultant soit différent d’au moins un chiffre de tous les nombres infinis du tableau.

Cependant, puisque nous avons déjà « dépensé » ou attribué tous les nombres naturels avant de créer ce nouveau nombre, nous n’avons plus de nombres naturels uniques à lui attribuer, nous concluons donc que l’ensemble des nombres réels entre 0 et 1, et donc extension de tous les nombres réels, est un ensemble indénombrable.

L’ensemble des nombres transcendantaux

Les nombres transcendantaux sont ceux qui appartiennent à l’ensemble des nombres réels, mais ne sont pas des nombres algébriques. Cela signifie qu’elles ne sont pas les racines d’une équation polynomiale de la forme :

où tous les coefficients sont des entiers. Appelons A l’ensemble de tous les nombres réels algébriques et T le reste des nombres réels, c’est-à-dire les nombres transcendants. Il est facile de voir que l’ensemble total des nombres réels, R , est l’union des ensembles A et T , c’est-à-dire :

On peut montrer que l’ensemble des nombres algébriques est dénombrable. De plus, nous avons déjà prouvé que les nombres réels sont innombrables. Puisque R est indénombrable, il ne peut pas être formé par la réunion de deux ensembles dénombrables. Sachant que A est dénombrable, on en déduit que T est indénombrable.

L’ensemble des séquences de nombres binaires

Une séquence de nombres binaires est simplement une chaîne de 0 et de 1 de n’importe quelle longueur. Si nous unissons toutes les suites possibles de nombres binaires, nous obtenons l’ensemble des suites de nombres binaires. Ce n’est rien de plus qu’un sous-ensemble des nombres réels dans lequel les seuls chiffres sont 0 et 1.

Il est très facile de montrer que cet ensemble de nombres est indénombrable en utilisant le même argument de Cantor avec lequel on montre que R est indénombrable. La seule mise en garde est qu’au lieu d’ajouter 1 aux nombres sur la diagonale, nous inversons simplement leur valeur, en remplaçant 0 par 1 et vice versa.

Comme auparavant, la séquence binaire résultante sera différente de tout ensemble infini de séquences que nous aurions pu inclure dans la liste d’origine, c’est donc un ensemble indénombrable.

Autres suites de nombres avec des bases différentes

L’argument des séquences de nombres binaires et des nombres réels peut être étendu à n’importe quelle séquence de nombres de n’importe quelle base. En ce sens, l’ensemble de toutes les séquences de nombres hexadécimaux sera indénombrable ; il en sera de même pour l’ensemble des suites de nombres ternaires, quaternaires, etc.

Les références

Exemples courants d’ensembles indénombrables . (2020, 16 mars). PersonnesParProjet. https://en.peopleperproject.com/posts/9312-common-examples-of-uncountable-sets

Ivorra Castillo, C. (sf). THÉORIE DES ENSEMBLES . UV.es. https://www.uv.es/ivorra/Libros/TC.pdf

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Schwartz, R. (2007, 12 novembre). Ensembles dénombrables et indénombrables . Mathématiques brunes. https://www.math.brown.edu/reschwar/MFS/handout8.pdf

Ensembles indénombrables | Exemples d’ensembles indénombrables . (2020, 21 septembre). Cuemath. https://www.cuemath.com/learn/Mathematics/uncountable-sets/