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La distribution exponentielle est un cas particulier de la distribution gamma. Il s’agit d’une distribution continue utilisée pour décrire la distribution de probabilité du temps écoulé entre les événements dans un processus de Poisson. Cela fait référence aux processus dans lesquels les événements se produisent en continu et indépendamment les uns des autres, mais à une fréquence moyenne constante.
La distribution exponentielle suit la fonction de probabilité suivante :
où X est une variable aléatoire continue et lambda ( λ ) est un paramètre caractéristique de chaque distribution particulière. La figure suivante montre le graphique de cette fonction de distribution pour différentes valeurs de λ.
Comme on peut le voir, cette fonction décroît exponentiellement à partir d’une valeur initiale égale à λ et s’approche asymptotiquement de zéro lorsque x augmente.
La moyenne de cette fonction de répartition est donnée par μ = 1/ λ et sa variance est σ 2 = (1/ λ) 2 . Les sections suivantes montrent comment calculer la médiane.
Importance de la distribution exponentielle
Comme mentionné au début, la distribution exponentielle peut être appliquée à tout système qui suit un processus de Poisson. Cela signifie qu’il sert à décrire les temps entre des événements tels que les arrivées de clients dans les installations de service, les temps entre les pannes de systèmes ou de composants électroniques et la survie des êtres vivants.
Quelle est la médiane ?
Avant de procéder au calcul de la médiane, nous devons comprendre de quoi il s’agit. La médiane d’une distribution de probabilité correspond à la valeur de la variable aléatoire qui divise la distribution en deux. Dans le cas des variables discrètes, cela revient à laisser le même nombre de valeurs de part et d’autre de la médiane. Pour la fonction exponentielle et les autres fonctions de distribution continue, la médiane est le point qui quitte la même zone sous la courbe de densité de probabilité des deux côtés.
Une autre façon plus pratique de regarder la médiane, et qui est celle que nous utiliserons pour la trouver dans cet article, est qu’elle correspond au point où la fonction de répartition a une valeur de 0,5. C’est-à-dire qu’il correspond à la solution de l’équation suivante :
Calcul de la médiane de la distribution exponentielle
Pour trouver la médiane de la distribution exponentielle, nous allons utiliser la fonction de distribution et trouver la valeur de la variable aléatoire pour laquelle la fonction de distribution a une valeur de 0,5, comme expliqué dans la section précédente. Autrement dit, on dira que la médiane (Me) est la valeur de la variable aléatoire, x, pour laquelle on vérifie que :
Il ne reste plus qu’à brancher le pdf ( f(x) ) correspondant à la distribution exponentielle et intégrer :
Où nous avons utilisé la définition par morceaux de la fonction de distribution de probabilité, qui a une valeur de zéro pour toutes les valeurs de la variable aléatoire inférieures ou égales à zéro. C’est une intégrale simple :
Maintenant, nous fixons égal à ½, et nous résolvons l’équation pour trouver la médiane, Me.
Enfin, il est réarrangé, le logarithme népérien est pris sur les deux membres et Me est effacé :
Par conséquent, la médiane de la distribution exponentielle est donnée par ln2/λ.
Le biais de la distribution exponentielle
Si l’on compare la valeur de la médiane que l’on vient d’obtenir, ln2/λ, avec la valeur de la médiane de cette distribution que l’on mentionnait au début, 1/λ, on s’aperçoit rapidement que la médiane est inférieure à la moyenne, car ln2 est un nombre inférieur à 1.
Lorsque la moyenne ne coïncide pas avec la médiane, la distribution est dite asymétrique. Puisque dans ce cas la moyenne est supérieure à la médiane, la fonction exponentielle est dite asymétrique vers la droite .
Étant donné que la médiane est une mesure de la tendance centrale qui est moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne, dans des cas comme celui-ci où un biais est déterminé, il est préférable d’utiliser la médiane pour représenter cette tendance centrale.
Les références
LesKanaris. (sd). Comment calculer la médiane de la distribution exponentielle – Intéressant – 2021. Extrait de https://us.leskanaris.com/2916-exponential-distribution-medians.html
Lifehack. (2018). Comment calculer la médiane de la distribution exponentielle – 2021. Extrait de https://esp.lifehackk.com/14-calculate-the-median-of-exponential-distribution-3126442-7366
Mathématiques simples. (2021, 6 septembre). Médiane – distribution exponentielle [fichier vidéo]. Récupéré de https://www.youtube.com/watch?v=0s3h1Tfysog
Mtz De Lejarza E., J., & Mtz De Lejarza E., I. (1999). Distribution exponentielle. Extrait de https://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/exponencial.htm
