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La variance d’une variable aléatoire est une mesure de son écart autour de la moyenne . Cela signifie qu’il s’agit d’une quantité qui indique la dispersion moyenne des valeurs de ladite variable de part et d’autre de la moyenne ou l’amplitude de sa distribution de probabilité. Ce paramètre est une quantité importante pour toute variable aléatoire, quelle que soit sa distribution de probabilité.
D’autre part, la distribution de Poisson est une distribution de probabilité discrète qui sert à modéliser la fréquence à laquelle des événements discrets se produisent dans un intervalle de temps , bien qu’elle puisse également être référencée par rapport à d’autres variables continues, telles que la longueur d’un fil , une surface, etc.
La distribution de Poisson est d’une grande importance, car elle permet de modéliser des processus aussi quotidiens que le nombre de personnes arrivant dans une file d’attente au guichet d’un guichet automatique, ainsi que des processus aussi complexes que le nombre de désintégrations radioactives dans un intervalle de temps donné. à partir d’un échantillon de déchets nucléaires.
Définition mathématique de la distribution de Poisson
Une variable aléatoire X suit une distribution de Poisson si sa fonction de masse de probabilité ou PMF a la forme suivante :
Dans la formule, λ est un paramètre toujours positif de la distribution et x représente les différentes valeurs que peut prendre la variable aléatoire. Dans les processus de Poisson, le paramètre λ représente généralement la vitesse ou la fréquence par unité de temps, par unité de surface, etc.
Comme nous le montrerons plus loin, λ est, à son tour, la moyenne de la distribution de Poisson, ainsi que sa variance.
Maintenant que nous savons ce qu’est cette fonction de distribution et à quoi elle sert, examinons une définition plus formelle de la variance, la manière générale de la calculer et enfin, comment la variance est calculée pour le cas particulier de la distribution de Poisson.
Quelle est la variance ?
Mathématiquement, la variance d’une variable aléatoire X, notée en statistique par Var(X) , correspond à la valeur attendue du carré de l’écart de ladite variable à sa moyenne, qui s’exprime par la formule suivante :
Bien que la définition précédente puisse être utilisée pour calculer la variance de n’importe quelle variable aléatoire, elle peut également être calculée plus facilement en utilisant les premier et second moments ordinaires, ou moments autour de l’origine (m 1 , m 2 ) comme suit :
Cette façon de calculer la variance est plus pratique que la première, c’est donc celle que nous utiliserons dans cet article pour calculer la variance de la distribution de Poisson.
Calcul de la variance de la distribution de Poisson
Calcul du moment moyen ou premier moment ordinaire
Rappelons que, pour toute distribution discrète, la moyenne ou l’espérance de X peut être déterminée au moyen de l’expression suivante, qui définit le premier moment :
On peut prendre cette somme à partir de x=1, puisque le premier terme est nul. De plus, si maintenant nous multiplions et divisons tout par λ et remplaçons également x!/x par (x-1) ! , on obtient:
Cette expression peut être simplifiée en faisant le changement de variable y = x – 1 , laissant :
La fonction à l’intérieur de la sommation est à nouveau la fonction de probabilité de Poisson, qui, par définition, est la somme de toutes les probabilités de zéro à l’infini de toute fonction de probabilité qui doit être égale à 1.
Nous avons déjà le premier moment ou la moyenne de la fonction de Poisson. Nous allons maintenant utiliser ce résultat et l’espérance du carré de X pour trouver la variance.
Calcul du deuxième moment ordinaire
Le second moment est donné par :
On peut utiliser une petite astuce pour résoudre cette somme qui consiste à remplacer x 2 par x(x-1)+x :
Là où nous utilisons le résultat précédent dans le deuxième terme de la sommation, nous multiplions et divisons par λ 2 pour obtenir l’exposant λ x-2 et nous appliquons le changement de variable y = x – 2 .
Il ne reste plus qu’à replacer ces deux moments dans la formule de la variance, et nous aurons le résultat attendu :
Les références
Devore, J. (2021). Probabilités et statistiques pour l’ingénierie et la science . CENGAGER L’APPRENTISSAGE.
Rodó, P. (2020, 4 novembre). Loi de Poisson . Economipédia. https://economipedia.com/definiciones/distribucion-de-poisson.html
UNAM [Luis Rincon]. (2013, 16 décembre). 0625 Distribution de Poisson [Vidéo]. Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=y_dOx8FhHpQ
