Quels sont les vrais chiffres ?

Les nombres ont des propriétés différentes et peuvent être classés en différents groupes. L’un de ces groupes, avec de larges applications dans diverses branches des mathématiques, sont les nombres réels. Pour mieux les comprendre, voyons d’abord quels sont les différents types de nombres.

Numéros

La première chose que nous apprenons sur les nombres est de savoir comment les utiliser pour compter ; nous commençons par les faire correspondre avec nos doigts pour effectuer des opérations simples. Ainsi, nos dix doigts sont la base du système décimal. À partir de là, nous comptons des quantités aussi grandes que possible et notons que les nombres sont infinis. Et ainsi, en ajoutant zéro (0) lorsque nous n’avons rien à compter, les nombres naturels se forment.

Avec les nombres naturels, nous faisons des opérations arithmétiques et lorsque nous soustrayons un autre nombre d’un nombre, nous devons introduire les nombres négatifs. Ainsi, en ajoutant les nombres négatifs aux nombres naturels, nous obtenons l’ensemble des entiers.

Parmi les opérations arithmétiques que nous effectuons avec les nombres figure la division. Et nous constatons qu’il y a des cas où en divisant un nombre par un autre, le résultat n’est pas un nombre entier ; Dans de nombreux cas, ce résultat de division ne peut être représenté avec précision que par l’expression de division elle-même, c’est-à-dire une fraction. C’est ainsi que l’ensemble des nombres rationnels est construit, dans lequel tous les nombres sont écrits sous forme de fraction et les nombres entiers ont le nombre 1 comme dénominateur.

Ce sont les civilisations anciennes qui ont observé qu’il y avait des nombres qui ne pouvaient pas être représentés sous forme de fractions. En travaillant avec des figures géométriques, ils ont trouvé le nombre pi, la relation entre le rayon et la longueur d’un cercle, un nombre qui ne peut pas être exprimé comme le quotient entre deux nombres entiers. C’est aussi le cas de la racine carrée du nombre 2 (c’est-à-dire que le nombre qui multiplié par lui-même donnerait comme résultat le nombre 2). Et il existe de nombreux nombres qui émergent dans diverses branches de la connaissance qui ne font pas partie de l’ensemble des nombres rationnels. Ces nombres, qui ne peuvent être représentés exactement comme le quotient de deux nombres entiers, sont appelés nombres irrationnels. L’ensemble des nombres rationnels et irrationnels constitue donc l’ensemble des nombres réels.

Les nombres réels font partie d’un ensemble de nombres encore plus vaste : les nombres complexes. Cette extension de l’ensemble des nombres réels survient lorsqu’on veut calculer la racine carrée d’un nombre négatif ; Puisque le produit de deux nombres négatifs est toujours positif, il n’y a pas de nombre réel qui, multiplié par lui-même, soit négatif. Ensuite, le nombre imaginaire i est défini , qui représente la racine carrée de -1, et l’ensemble des nombres complexes apparaît.

représentation décimale

Tous les nombres peuvent être exprimés sous forme décimale ; Par exemple, le nombre rationnel 1/2 peut être exprimé sous forme décimale par 0,5. Contrairement au nombre rationnel 1/2, qui peut être représenté exactement par une seule décimale, les autres nombres rationnels ont un nombre infini de décimales et neIls peuvent être exprimés exactement avec la représentation décimale. C’est le cas du nombre 1/3 ; Sa représentation décimale est 0,33333…, avec un nombre infini de décimales. Ces nombres rationnels sont appelés nombres décimaux périodiques, car dans tous les cas il existe une suite de nombres qui se répète indéfiniment plusieurs fois. Dans le cas du nombre 1/3, cette séquence est 3 ; dans le cas du nombre 1/7, sa forme décimale est 0,1428571428571…, et la séquence qui se répète à l’infini est 142857. Les nombres irrationnels ne sont pas des nombres décimaux périodiques ; il n’y a pas de séquence qui se répète indéfiniment plusieurs fois dans sa représentation décimale.

Représentation visuelle

Les nombres réels peuvent être visualisés en associant chacun d’eux à l’un des points infiniment nombreux le long d’une ligne droite, comme le montre la figure. Dans cette représentation graphique se trouve le nombre pi, dont la valeur est d’environ 3,1416, le nombre e , qui est d’environ 2,7183, et la racine carrée du nombre 2, d’environ 1,4142. Du nombre 0 vers la droite les nombres réels positifs sont situés sous une forme croissante, et vers la gauche les nombres négatifs augmentant leur valeur absolue dans cette direction.

Quelques propriétés des nombres réels

Les nombres réels se comportent comme des entiers ou des nombres rationnels, avec lesquels nous sommes plus familiers. Nous pouvons les additionner, les soustraire, les multiplier et les diviser de la même manière ; la seule exception est la division par le nombre 0, opération qui n’est pas possible. L’ordre des additions et des multiplications n’a pas d’importance, puisque la propriété commutative tient toujours, et la propriété distributive s’applique de la même manière. De même, deux nombres réels x et y sont ordonnés de manière unique, et une seule des relations suivantes est correcte :

x = y , x < y ou x > y

Les nombres réels sont infinis, tout comme les nombres entiers et les nombres rationnels. En principe, cela est évident puisque les nombres entiers et les rationnels sont des sous-ensembles des nombres réels. Mais il y a une différence : dans le cas des nombres entiers et des nombres rationnels, on dit que ce sont des nombres dénombrables infinis ; au lieu de cela, les nombres réels sont infinis innombrables.

Un ensemble est dit dénombrable ou dénombrable lorsque chacune de ses composantes peut être associée à un entier naturel. L’association est évidente dans le cas des nombres entiers ; dans le cas des nombres rationnels, il peut être vu comme l’association avec une paire de nombres naturels, le numérateur et le dénominateur. Mais cette association n’est pas possible dans le cas des nombres réels.

Sources

• Arias Cabezas, José Maria, Maza Saez, Ildefonso. Arithmétique et algèbre . Dans Carmona Rodríguez, Manuel, Díaz Fernández, Francisco Javier, éd. Mathématiques 1. Groupe éditorial Bruño, Société anonyme, Madrid, 2008.
• Carlos Ivora. Logique et théorie des ensembles . 2011.