Tabla de Contenidos
Keskihajonta, jota edustaa joko kreikkalainen kirjain σ (sigma) tai kirjain S , on tietosarjan vaihtelun mitta. Tarkemmin sanottuna se edustaa mittaa otoksen tai populaation datan keskimääräisistä poikkeamista suhteessa perusjoukon keskiarvoon, mikä osoittaa kuinka hajallaan data on mainitun keskeisen trendiarvon ympärillä.
Suuri keskihajonta osoittaa, että keskimäärin data on kaukana keskiarvosta molempiin suuntiin (data on hyvin hajallaan), kun taas pieni standardipoikkeama osoittaa päinvastaista.
Keskihajonta lasketaan aina toisen vaihtelumitan, jota kutsutaan varianssiksi, neliöjuurena. Varianssi voidaan laskea useilla tavoilla riippuen käytettävissä olevan datan tyypistä (otos tai populaatio), mikä johtaa useampaan kuin yhteen tapaan laskea keskihajonta.
Molemmissa tapauksissa käytetään hieman erilaisia kaavoja, jotka kuvataan seuraavassa osiossa. Seuraavassa kuvataan, kuinka jokainen niistä lasketaan askel askeleelta ja ”käsin”. Siinä kuvataan myös, kuinka tämän tärkeän tilastomuuttujan laskemiseen käytetään laskureita, joissa on tilastofunktioita ja laskentataulukoita, kuten Excel tai Google Sheets.
Keskihajontaa on kahdenlaisia
Tilastoissa on kahdenlaisia tietosarjoja kuvaavia mittoja riippuen siitä, ovatko saatavilla kaikki populaation tiedot vai vain otoksen tiedot. Niitä mittareita, joita käytetään väestön kuvaamiseen, kutsutaan populaatioparametreiksi ja ne esitetään yleensä kreikkalaisilla kirjaimilla. Sillä välin näytettä kuvaavia parametreja kutsutaan tilastoiksi ja ne esitetään yleensä pienillä kirjaimilla.
Tämän vuoksi standardipoikkeamia on kahdenlaisia:
- Yleisön keskihajonna , joka on kreikkalaisella kirjaimella σ (pieni sigma) esitetty populaatioparametri .
- Otosten keskihajonna , joka on tilastollinen parametri, jota edustaa kirjain S.
Alla on kaavat molempien keskihajonnan tyyppien laskemiseen.
Kaavat perusjoukon keskihajonnan σ laskemiseksi
Näissä yhtälöissä x i edustaa kunkin yksittäisen tietoyksikön arvoa, μ on perusjoukon keskiarvo ja n on tietoyksiköiden kokonaismäärä perusjoukossa.
Kaavat näytteen keskihajonnan S laskemiseksi
Näissä yhtälöissä x i edustaa kunkin yksittäisen näytteen tietokohteen arvoa, ¯x on otoksen keskiarvo ja n on otoksessa olevien tietokohteiden kokonaismäärä.
Ainoa todellinen ero tavassa, jolla nämä kaksi keskihajontaa lasketaan, on se, että yhdessä tapauksessa se jaetaan n:llä, kun taas toisessa tapauksessa se jaetaan luvulla n – 1 . Jälkimmäinen on korjata ero otoksen keskiarvon ja perusjoukon keskiarvon välillä, jotka eivät yleensä ole samat.
Mitä kaavaa pitäisi käyttää?
Ainoa asia, joka on otettava huomioon päätettäessä, mitä kaavoista käytetään, on se, edustavatko tiedot, joille keskihajonna on laskettava, kaikkia populaation tietoja vai vain otosta. Tämä käy yleensä ilmi lausumasta (jos jokin tilastollinen ongelma on ratkaistu) tai siitä, miten tiedot on saatu.
VINKKI: Jos olet epävarma, on turvallisinta olettaa, että tämä on näyte, koska sinulla on harvoin kaikki populaation tiedot.
Mitä tulee ensimmäisen (vasemmalla) tai toisen (oikealla) kaavan käyttöön σ:lle tai S:lle, molemmissa tapauksissa esitetyt kaksi yhtälöä antavat saman tuloksen. Käytännöllisempää on kuitenkin käyttää oikealla olevaa kaavaa, vaikka se saattaa tuntua monimutkaisemmalta. Syy on hyvin yksinkertainen: keskihajonnan laskemiseen tarvitaan vähemmän vaiheita oikeanpuoleisilla kaavoilla kuin vasemmalla olevilla kaavoilla.
Kuinka laskea keskihajonta ”käsin”
Alla esittelemme prosessin havainnollistavan esimerkin avulla vaiheet, jotka on suoritettava keskihajonnan laskemiseksi.
Ongelma
Määritettiin aika, jonka 15 auton näyte vei polttoainesäiliön täyttämiseen huoltoasemalla. Tiedot sekunneissa mitattuna on esitetty alla:
| 71 | 65 | 48 | 76 | 80 |
| 64 | 42 | 55 | 80 | 66 |
| 53 | 49 | 70 | 67 | 42 |
Määritä keskihajonta.
Ratkaisu: Tässä tapauksessa lauseessa määritetään, että tiedot vastaavat näytettä, joten yhtälö, jota käytämme keskihajonnan (näytteen) määrittämiseen, on:
Tämän kaavan soveltamiseksi tarvitsemme vain laskea datan summan (∑X i ), datan neliöiden summan (∑X i 2 ) ja datan kokonaismäärän (n). Tämä onnistuu helposti seuraavien vaiheiden avulla:
Vaihe 1: Järjestä tiedot pystysuunnassa
Keskihajonnan laskeminen on helpompaa, jos tietosi on järjestetty pystysuoraan luetteloon, koska se helpottaa seuraavia vaiheita. Se ei ole ehdottoman välttämätöntä, mutta se auttaa myös, että jokainen tietoyksikkö tunnistetaan numerolla, koska se tarjoaa helposti kaavan käyttämisen edellyttämän datayksiköiden kokonaismäärän (n). Tietoja ei tarvitse tilata millään tavalla.
| # | Xi_ _ | x i 2 |
| 1 | 71 | |
| 2 | 65 | |
| 3 | 48 | |
| 4 | 76 | |
| 5 | 80 | |
| 6 | 64 | |
| 7 | 42 | |
| 8 | 55 | |
| 9 | 80 | |
| 10 | 66 | |
| yksitoista | 53 | |
| 12 | 49 | |
| 13 | 70 | |
| 14 | 67 | |
| viisitoista | 42 |
Vaihe 2: laske kunkin tiedon neliö
Seuraava vaihe on neliöttää jokainen yksittäinen tietokohde ja kirjoittaa sitten tulos sen viereen sarakkeeseen.
| # | Xi_ _ | x i 2 |
| 1 | 71 | 5041 |
| 2 | 65 | 4225 |
| 3 | 48 | 2304 |
| 4 | 76 | 5776 |
| 5 | 80 | 6400 |
| 6 | 64 | 4096 |
| 7 | 42 | 1764 |
| 8 | 55 | 3025 |
| 9 | 80 | 6400 |
| 10 | 66 | 4356 |
| yksitoista | 53 | 2809 |
| 12 | 49 | 2401 |
| 13 | 70 | 4900 |
| 14 | 67 | 4489 |
| viisitoista | 42 | 1764 |
Vaihe 3: Summaa kaikki alkuperäiset tiedot
Lisäämme kaikki arvot, jotka näkyvät sarakkeessa, jonka tunnistamme X i: ksi , ja kirjoitamme tuloksen sarakkeen loppuun.
Vaihe 4: Lisää kaikki tietojen neliöt ja kirjoita tulos sarakkeen alaosaan
Lisäämme kaikki arvot, jotka näkyvät sarakkeessa, jonka tunnistamme X i 2 :ksi , ja kirjoitamme tuloksen sarakkeen loppuun. Kun olet suorittanut vaiheet 3 ja 4, taulukko näyttää tältä:
| # | Xi_ _ | x i 2 |
| 1 | 71 | 5041 |
| 2 | 65 | 4225 |
| 3 | 48 | 2304 |
| 4 | 76 | 5776 |
| 5 | 80 | 6400 |
| 6 | 64 | 4096 |
| 7 | 42 | 1764 |
| 8 | 55 | 3025 |
| 9 | 80 | 6400 |
| 10 | 66 | 4356 |
| yksitoista | 53 | 2809 |
| 12 | 49 | 2401 |
| 13 | 70 | 4900 |
| 14 | 67 | 4489 |
| viisitoista | 42 | 1764 |
| Tietojen määrä (n) | Tietojen summa ( ∑X i ) | Neliöiden summa ( ∑X i 2 ) |
| viisitoista | 928 | 59750 |
Vaihe 5: Käytä keskihajonnan kaavaa
Viimeinen vaihe on yksinkertaisesti korvata taulukon lopussa olevat arvot vastaavassa kaavassa:
Keskihajonnan laskeminen tilastolaskimella
Useimmissa tieteellisissä ja taloudellisissa laskureissa on erityistoimintoja, jotka helpottavat kaikkien tilastoissa käytettävien keskeisten trendien ja hajontamittausten laskemista. Menettelytapa on laskimen mallista riippumatta aina sama:
Vaihe 1 – Siirry tilastotilaan
Laskimissa on yleensä erityinen tila tilastofunktioita varten. Siihen päästään yleensä painamalla MODE -painiketta ja sen jälkeen numeroa, joka yleensä ilmestyy näytölle STAT , SD ( standardipoikkeama ) tai vastaavan vieressä.
Vaihe 2 – Puhdista muisti
Vanhemmissa laskimissa ei näy, onko laskimen muistissa jo dataa vai ei, joten muisti kannattaa aina tyhjentää ennen aloittamista. Voit tehdä tämän painamalla CLR- tai MCL- näppäintä ja valitsemalla MODE- vaihtoehdon (tämä poistaa vain tilastotilaan tallennetut tiedot). Monissa tapauksissa on tarpeen palata tilastotilaan tämän vaiheen jälkeen.
Vaihe 3: syötä kaikki tiedot
Kaikki tiedot syötetään peräkkäin, yksitellen, painamalla DT , DATA näppäintä tai vastaavaa välissä.
Vaihe 4: Hanki tulos
Viimeinen vaihe on yksinkertaisesti kysyä laskimelta keskihajonta. Tulosten sijainti vaihtelee suuresti eri mallien ja merkkien välillä. Joissakin sinun on painettava SHIFT- näppäintä ja sen jälkeen näppäintä, jossa lukee yllä oleva S-VAR , toisissa se on erilainen. On suositeltavaa katsoa laskimen käyttöohjetta.
Kun saamme oikean valikon, meidän on valittava, kumpi kahdesta keskihajonnasta tarvitsemme. Jos kyseessä on väestötieto, valitsemme vaihtoehdon, jossa lukee σ tai σ(n). Jos kyseessä on näytetieto, valitsemme vaihtoehdon, jossa lukee σ(n-1) tai S.
Keskihajonnan laskeminen Microsoft® Excel™ -ohjelmassa
Helpoin tapa laskea keskihajonta on laskentataulukot, kuten Excel tai Google Sheets. Näissä ohjelmissa on jo kaikki protokollat erilaisten tilastomuuttujien laskemiseen, joita saatamme tarvita. Tämä tehdään kahdessa yksinkertaisessa vaiheessa:
Vaihe 1: liitä tai lisää tiedot
Tämä on yhtä yksinkertaista kuin tietojen kopioiminen suoraan, yksitellen erillisiin soluihin (sarakkeiden, rivien tai matriisien muodossa, ei väliä mitä). Esimerkkimme tapauksessa:
VAIHE 2: Kirjoita tarvitsemamme keskihajonnan kaava
Tämä riippuu käytetystä laskentataulukosta ja kielestä, jolle se on asetettu. Espanjan Microsoft® Excel™ -version keskihajonnan kaavat ovat:
| Esimerkki keskihajonta (S): | =STDEV.M(data 1; data 2;…;data n) |
| Väestön keskihajonta (σ): | =STDEV.P(data 1; data 2;…;data n) |
Sinun ei tarvitse syöttää yksittäisiä tietoja, valitse vain solut, joihin tiedot on jo liitetty. Esimerkissämme tiedot ovat alueella solusta B1 soluun F3, joka on kirjoitettu muodossa B2:F3.
Lopuksi ENTER -näppäintä painetaan ja READY! Keskihajonta saadaan.
Viitteet
- Bhandari, P. (2021, 21. tammikuuta). Keskihajonnan ymmärtäminen ja laskeminen . Haettu osoitteesta https://www.scribbr.com/statistics/standard-deviation/
- Espinoza, CI ja Echecopar, AL (2020). Tilastolliset sovellukset käyttäen MS Exceliä vaiheittaisilla esimerkeillä (espanjalainen painos) (1. painos ). Lima, Peru: Luis Felipe Arizmendi Echecopar ja Duo Negocios SAC.
- Webster, A. (2001). Liiketoimintaa ja taloutta koskevat tilastot (espanjankielinen painos) . Toronto, Kanada: Irwin Professional Publishing.
- DEVESTA (DEVESTA-toiminto) . Microsoft Office -tuki. Haettu osoitteesta https://support.microsoft.com/es-es/office/desvesta-funci%C3%B3n-desvesta-5ff38888-7ea5-48de-9a6d-11ed73b29e9d .
