Tabla de Contenidos
Toisensa poissulkevien tapahtumien määritelmä voidaan antaa eri tavoin. Ensinnäkin kahden tapahtuman sanotaan olevan toisensa poissulkevia tai epäyhtenäisiä, jos jommankumman esiintyminen sulkee pois mahdollisuuden toisen tapahtumiseen . Tämä tarkoittaa, että ne ovat tapahtumia, jotka eivät voi tapahtua samanaikaisesti . Esimerkiksi kun noppaa heitetään vain kerran, jollekin kuudesta pinnasta laskeutumisen tulos sulkee sen pois laskeutumasta millekään muulle viidestä. Näin ollen tapahtuma, joka laskeutuu 4:een, ja tapahtuma, joka laskeutuu, esimerkiksi 3, ovat toisensa poissulkevia, koska noppi ei voi laskeutua sekä 4:lle että 3:lle samanaikaisesti.
Toisaalta todennäköisyyksien alalla sanotaan, että kaksi tapahtumaa ovat toisensa poissulkevia, kunhan ne eivät jaa tuloksia keskenään . Tämä johtuu siitä, että tapahtumaa pidetään todennäköisesti kokeen mahdollisten tulosten joukkona. Voidaan määritellä erilaisia tapahtumia, jotka jakavat tai eivät jaa tuloksia, ja ne, jotka eivät jaa tuloksia, katsotaan toisensa poissulkeviksi.
Formaalisemmilla matemaattisilla termeillä ja joukkoteorian merkintää käyttäen tapahtumat A ja B ovat toisensa poissulkevia, jos niiden leikkauspiste on tyhjä joukko , eli ne eivät leikkaa. Toisin sanoen A ja B ovat toisensa poissulkevia niin kauan kuin A ∩ B = Ø.
Milloin kaksi tapahtumaa sulkevat toisensa pois?
Tapauksissa, joissa logiikka ei kerro meille etukäteen, ovatko kaksi tapahtumaa toisensa poissulkevia, joukkoteoria ja todennäköisyys tarjoavat ratkaisun. Tässä on kolme helppoa tapaa määrittää epäilemättä, milloin kaksi tapahtumaa ovat toisensa poissulkevia tai erillisiä.
Tarkkaile kunkin sarjan elementtejä
Kun kaksi tapahtumaa sisältää rajallisen ja pienen joukon elementtejä, on erittäin helppo määrittää, ovatko ne disjunktoituja vai eivät, yksinkertaisesti tarkistamalla, sisältävätkö ne yhteisiä elementtejä vai eivät.
Esimerkki
Harkitse esimerkiksi kokeilua heittää kahta noppaa samanaikaisesti. Määritetään nyt seuraavat kaksi tapahtumaa:
- Olkoon A tapahtuma, jossa kahden nopan summa on suurempi tai yhtä suuri kuin 10.
- Olkoon B tapahtuma, jossa kahden nopan summa on täsmälleen yhtä suuri kuin 8.
On helppo määrittää, mitkä tulokset sisältyvät kuhunkin tapahtumaan. Ensimmäisessä vain tulokset (5,5); (5,6) ja (6,6) johtavat summaan, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin 10. Toisaalta vain tulokset (4,4); (5,3) ja (6,2) tuottavat 8. Joten nyt voimme kirjoittaa joukkoteoreettista symboliikkaa käyttäen:
Koska yhteisiä elementtejä ei ole, leikkauspiste on tyhjä joukko, ja siksi tapahtumat ovat toisensa poissulkevia.
Käyttämällä Venn-kaavioita
Toinen erittäin helppo tapa määrittää, ovatko kaksi tapahtumaa toisensa poissulkevia, on esittää ne Venn-kaaviossa. Näissä kaavioissa näytetilaa edustaa suorakulmio (tai muu muoto), kun taas kaikki tapahtumat esitetään näyteavaruuden sisäisinä alueina.
Venn-kaaviossa toisensa poissulkevat tapahtumat tunnistetaan helposti sellaisiksi suorakulmion alueiksi, jotka eivät kosketa tai mene päällekkäin.
Liiton todennäköisyyden mukaan
Joissakin tapauksissa edellä mainittuja kahta menetelmää ei voida soveltaa. Vaihtoehtoinen tapa tarkistaa, ovatko kaksi tapahtumaa toisensa poissulkevia, on todennäköisyys. Jos tiedetään kunkin tapahtuman yksittäiset todennäköisyydet, eli P(A) ja P(B), sekä todennäköisyys, että jompikumpi tapahtuma tapahtuu, eli P(AUB), niin tiedämme, että kaksi tapahtumaa ovat hajanaisia. jos täyttyy, että:
Vaihtoehtoinen tapa on risteyksen todennäköisyys. Kaksi tapahtumaa sulkee toisensa pois niin kauan kuin P(A ∩ B) = 0 .
Esimerkkejä toisensa poissulkevista tapahtumista
Yksinkertaiset tapahtumat ovat aina toisensa poissulkevia
Yksinkertaiset tapahtumat ovat niitä, jotka sisältävät yhden tuloksen. Kun kuusisivuista noppaa heitetään, tapahtuma, että se nousee esiin 6, on yksinkertainen tapahtuma, koska se koostuu vain tuloksesta 6. Toisaalta tapahtuma, että se nousee jopa esiin, ei ole yksinkertainen, koska se on koostuu kolmesta tuloksesta, jotka ovat 2, 4 ja 6.
Kaikki kokeilun yksinkertaiset tapahtumat ovat aina toisensa poissulkevia.
Esimerkki
Oletetaan, että tutkimus määrittää viikoittain sairaalassa syntyvien miesten lukumäärän. Tämän kokeen näyteavaruus S on
Jotkut yksinkertaiset tapahtumat olisivat:
Kuten voidaan nähdä, koska niillä ei ole enempää kuin yksi tulos ja ne ovat kaikki erilaisia, mikään näistä tapahtumista ei voi jakaa elementtejä toisen kanssa ja siksi ne ovat aina toisensa poissulkevia.
Heitä kolme noppaa samanaikaisesti
Kolmen nopan heittäminen samanaikaisesti on kokeilu, jolla voi olla 36 erilaista tulosta, koska noppien järjestyksellä ei ole väliä: tulokset (1,2,3); (1,3,2); (2,1,3); (2,3,1); (3,1,2) ja (3,2,1) edustavat kaikki samaa tulosta.
Kuvittele, että seuraavat kolme tapahtumaa tapahtuvat:
- A = tapahtuma, jossa kaikki nopat antavat saman tuloksen.
- B = tapahtuma, jossa vain kaksi noppaa antaa saman tuloksen.
- C = tapahtuma, jossa kaikki nopat antavat erilaisia tuloksia.
Pelkästään maalaisjärkellä voidaan päätellä, että A, B ja C ovat kaikki toisensa poissulkevia tapahtumia, koska jos kaikki nopat antavat saman tuloksen (tapahtuma A tapahtuu), on mahdotonta, että vain kaksi olisi samaa ja yksi erilainen, tai että kaikki olisi erilaisia.
Korttipeli
Kuvittele kokeilu, jossa 52 pokerikortin pakasta vedetään satunnaisesti kaksi korttia. Määritetään nyt seuraavat tapahtumat:
- A = vain punaisia pisteitä piirretään.
- B = vain mustia pisteitä piirretään.
Nämä tapahtumat ovat toisensa poissulkevia, koska jos molemmat kortit ovat punaisia, ne eivät voi olla mustia ja päinvastoin.
Esimerkkejä tapahtumista, jotka eivät sulje toisiaan pois
Heitä kolme noppaa samanaikaisesti
Otetaan sama yllä kuvattu kolmen nopan kokeilu, mutta määritetään nyt seuraavat tapahtumat:
- A = tapahtuma, jossa kaikki nopat ovat yhtä suuret = {(1,1,1); (2,2,2); (3,3,3);…}
- B = tapahtuma, jossa kaikki nopat ovat parillisia = { (2,2,2); (2,2,4); (2,2,6)…}
Vertaamalla elementtien A ja B sisällä olevia elementtejä on helppo nähdä, että osumia tulee olemaan ja että A:n ja B:n leikkauspiste on:
Koska leikkauspiste ei ole tyhjä joukko, nämä tapahtumat eivät ole hajallaan.
Korttipeli
Toistamalla samaa kokeilua, jossa vedetään kaksi korttia pakasta, tarkastellaan seuraavia uusia tapahtumia:
- A = vähintään yksi kortti on sydämiä.
- B = vähintään yksi kortti on kuningas.
Tässä tapauksessa aina kun sydänkuningas arvotaan, A ja B esiintyvät samaan aikaan. Itse asiassa tämä ei ole ainoa tapahtuma, koska jos patakuningas ja sydänässä vedetään, myös A ja B esiintyvät samanaikaisesti. Siksi A ja B eivät ole toisiaan poissulkevia tapahtumia.
Toisensa poissulkevien tapahtumien merkitys ja soveltaminen
Matematiikassa useiden tapahtumien todennäköisyyden laskeminen riippuu suuressa määrin siitä, ovatko ne toisensa poissulkevia vai eivät. Esimerkiksi yksi todennäköisyysaksioomeista väittää, että useiden tapahtumien liittotodennäköisyys on yhtä suuri kuin kunkin tapahtuman yksittäisen todennäköisyyden summa , jos ja vain jos kaikki tapahtumat ovat toisensa poissulkevia . Toisin sanoen,
Vain jos A ja B ovat erillisiä tai toisensa poissulkevia tapahtumia.
Jos ne eivät ole toisiaan poissulkevia, niin todennäköisyyksien summa laskee kaksi kertaa molemmille tapahtumille yhteisten tulosten todennäköisyyden eli leikkaustodennäköisyyden. Tästä syystä näissä tapauksissa liiton todennäköisyys lasketaan eri tavalla:
Kolmessa tapahtumassa, A, B ja C, jotka eivät sulje pois toisiaan ja jotka myös leikkaavat toisensa, asiat muuttuvat vieläkin monimutkaisemmiksi:
Tässä tapauksessa kolmen tapahtuman leikkaustodennäköisyys P( A ∩ B ∩ C) on lisättävä viimeiseksi, koska se vähennettiin kolme kertaa vähentämällä eri tapahtumaparien leikkauspisteet.
