Tabla de Contenidos
Tilastoissa ja todennäköisyyksissä komplementtisääntö määrittää, että todennäköisyys, että mikä tahansa tapahtuma A tapahtuu, on aina yhtä suuri kuin yksikkö miinus todennäköisyys, että A:n vastainen tai täydentävä tapahtuma tapahtuu . Toisin sanoen se on sääntö, joka osoittaa, että tapahtuman ja sen komplementin todennäköisyydet liittyvät toisiinsa seuraavan lausekkeen avulla:
Tämä sääntö on yksi todennäköisyyden perusominaisuuksista ja kertoo meille, että voimme aina laskea minkä tahansa tapahtuman todennäköisyyden, jos tiedämme sen komplementin todennäköisyyden ja päinvastoin. Tämä on erityisen tärkeää, koska monissa reaalimaailman tilanteissa, joissa meidän on laskettava tapahtuman todennäköisyys, on paljon helpompi laskea sen komplementin todennäköisyys suoraan sen sijaan. Sitten, kun tämä on laskettu, määritämme alun perin halutun todennäköisyyden komplementtisäännön avulla.
Joitakin yksinkertaisia esimerkkejä tämän säännön soveltamisesta ovat:
- Jos todennäköisyys, että Real Madrid voittaa Mestarien liigan jalkapallo-ottelun, on 34/57 tai 0,5965, todennäköisyys, että se ei voita Mestarien liigan ottelua, on 1-34/57 = 23/57 tai 0,4035.
- Todennäköisyys, että tavallinen 6-puolinen noppa osuu parilliseen lukuun, joka on pienempi kuin 6, on 1/3, joten todennäköisyys, että noppa ei osu parilliseen lukuun, joka on pienempi kuin 6, on 2/3.
Todiste komplementtisäännöstä
Komplementtisääntö voidaan osoittaa usealla eri tavalla, joista mikä tahansa tekee lukijan muistamisen helpommaksi. Tämän esittelyn toteuttamiseksi meidän on aloitettava määrittelemällä joitain perustermejä, kuten mikä on tapahtuma ja mikä sen täydennys. Lisäksi meidän on todettava joitakin tärkeimpiä aksioomeja, joihin todennäköisyys perustuu.
Kokeilut, tulokset, näytetila ja tapahtumat
Tilastoissa ja todennäköisyyksissä puhumme kokeiden suorittamisesta , kuten kolikoiden heittämisestä, nopan heittämisestä, kortin tai pakan valitsemisesta satunnaisesti sekoitetusta pakkasta ja niin edelleen. Joka kerta kun suoritamme kokeen, saamme tuloksen , kuten valitsemme 2 mailaa espanjalaisten pelikorttien pakasta.
Kaikkien mahdollisten erilaisten tulosten kokonaisjoukkoa, jonka kokeilu voi antaa, kutsutaan näyteavaruudeksi ja sitä edustaa yleensä kirjain S.
Toisaalta kokeen tietty tulos tai tulosjoukko tunnetaan tapahtumana . Tapahtumat voivat olla yksittäisiä tuloksia, jolloin niitä kutsutaan yksinkertaisiksi tapahtumiksi, tai ne voivat olla yhdistelmätapahtumia, jotka koostuvat useammasta kuin yhdestä elementistä tai tuloksesta.
Mikä on tapahtuman laajennus?
Tapahtuman komplementti ei ole muuta kuin joukko kaikkia muita mahdollisia näyteavaruuden tuloksia, jotka eivät sisällä itse tapahtuman tuloksia . Nopan heittämisen esimerkissä tapahtuman komplementti, jossa noppaa osuu esimerkiksi 5:een, on toinen tapahtuma, jossa noppaa osuu 1, 2, 3, 4 tai 6 tai mihin tahansa. Se on sama, se ei putoa viiteen.
Pluginit esitetään usein eri tavoin. Kaksi yleisintä muotoa ovat:
- Vinoviiva tapahtuman nimen yläpuolelle (esimerkiksi A̅ edustaa tapahtuman A komplementtia).
- C:n sijoittaminen yläindeksiksi (A C ).
Kummassakin tapauksessa siinä lukee ”A-komplementti”, ”A:n täydennys” tai ”Ei A”.
Helppo tapa ymmärtää sekä laajennuskonsepti että itse laajennussääntö on käyttää Venn-kaavioita . Seuraava kuva esittää yksinkertaisen kaavion mistä tahansa kokeesta ja yksittäisestä tapahtumasta, jota kutsumme nimellä A.
Tämän kaltaisissa Venn-kaavioissa koko suorakulmio edustaa kokeen näyteavaruutta, kun taas suorakulmion koko alue (tässä tapauksessa sekä harmaa että sininen alue) edustaa näyteavaruuden todennäköisyyttä, joka määritelmä , on yhtä suuri kuin 1. Tämä johtuu siitä, että jos suoritamme kokeen, on täysin varmaa, että jokin näyteavaruuden sisältämä tulos saadaan, koska se sisältää kaikki mahdolliset tulokset.
Sininen ympyrä sulkee sisäänsä esitysavaruuden alueen, jossa tapahtuman A kaikkien mahdollisten tulosten oletetaan olevan. Jos esimerkiksi tapahtuma A pyörittää parillista lukua, tämän sinisen alueen tulee sisältää tulokset 2, 4 ja 6 Toisaalta kaikki tapahtuman A ulkopuolella oleva alue (eli harmaa vyöhyke) on A:n komplementti, koska se sisältää muut tulokset (1, 3 ja 5).
Komplementtisääntö ja Venn-kaaviot
Avain komplementtisäännön ymmärtämiseen Venn-kaavioita käyttämällä on, että minkä tahansa tapahtuman pinta-ala näissä kaavioissa on verrannollinen sen todennäköisyyteen; suorakulmion kokonaispinta-ala vastaa todennäköisyyttä 1. Kuten voimme selvästi nähdä, tapahtuma A (sininen ympyrä) ja sen komplementti A̅ (harmaa alue) muodostavat yhdessä koko suorakulmion.
Tästä syystä niiden pinta-alojen summan, joka edustaa niiden vastaavia todennäköisyyksiä, on oltava yhtä suuri kuin 1, joka on näyteavaruuden pinta-ala, S. Järjestämällä tämä uudelleen, saamme:
Tämä on täydennyssääntö.
Komplementtisääntö todennäköisyyden aksioomista
Mikä tahansa tapahtuma ja sen komplementti muodostavat parin erillisiä tai toisensa poissulkevia tapahtumia, koska jos toinen tapahtuu, on määritelmän mukaan mahdotonta, että toinen tapahtuisi. Näissä olosuhteissa näiden kahden tapahtuman yhdistymistodennäköisyys saadaan yksinkertaisesti yksittäisten todennäköisyyksien summana. Tarkoittaen:
Lisäksi, kuten aiemmin sanoimme, tapahtumien A ja sen komplementin A C liitto johtaa näyteavaruuteen:
Korvaamalla P(AUC C ) yllä olevaan yhtälöön ja korvaamalla sitten S:n todennäköisyys, joka määritelmän mukaan on 1, saadaan:
Järjestämällä kaksi viimeistä jäsentä uudelleen saadaan komplementtisääntö.
Esimerkki laajennussääntösovellusongelmasta
Seuraavassa on esimerkki tyypillisestä ongelmasta, jossa liitännäissäännön käyttö on erityisen hyödyllistä.
lausunto
Oletetaan, että meillä on piiri, joka koostuu 5 identtisestä sirusta, jotka on kytketty sarjaan, eli peräkkäin. Todennäköisyys, että siru epäonnistuu ensimmäisen valmistusvuoden aikana, on 0,0002. Jos jokin viidestä pelimerkistä epäonnistuu, koko järjestelmä epäonnistuu. Haluat selvittää todennäköisyyden, että järjestelmä epäonnistuu ensimmäisen vuoden aikana.
Ratkaisu
Kutsukaamme F (for error) tulosta, jossa komponentti tai järjestelmäsiru epäonnistuu ja E (success) tulosta, jossa komponentti ei epäonnistu tai mikä on sama, se toimii. Sitten lausunnon antamat tiedot ovat:
Kokeilu, jossa määritetään, epäonnistuuko koko järjestelmä, vastaa 5 samanaikaisen kokeen suorittamista, joissa määritetään, epäonnistuuko jokin komponenteista. Joten tämän kokeilun näytetila koostuu kaikista onnistuneiden tai epäonnistuneiden tulosten yhdistelmistä jokaisessa viidestä komponentista. Kun olemme kytkettynä sarjaan, tiedämme, että järjestyksellä on väliä. Siksi näyteavaruus muodostuu:
Tämä näyteavaruus sisältää 2 5 =32 mahdollista tulosta, jotka vastaavat kaikkia mahdollisia Es:n ja F:n yhdistelmiä. Koska haluamme laskea järjestelmän epäonnistumisen todennäköisyyden, meitä kiinnostava tapahtuma, jota kutsumme tapahtumaksi A, annetaan kaikilla tuloksilla, joissa vähintään yksi komponenteista epäonnistuu. Toisin sanoen se saadaan seuraavasta tulosjoukosta:
Itse asiassa on 2 5 -1 = 31 mahdollista lopputulosta, joissa vähintään yksi viidestä komponentista epäonnistuu. Jos haluaisimme laskea A:n todennäköisyyden (eli P(A)), meidän on laskettava kunkin näistä tuloksista todennäköisyys; se olisi huomattava työ.
Tarkastellaan nyt kuitenkin A:n täydentävää tapahtumaa, eli tapahtumaa, jossa järjestelmä toimii (jota kutsumme nimellä A C ). Kuten näemme, koko järjestelmän ainoa tapa toimia on, että piirin kaikki viisi komponenttia toimivat, eli:
Tämän todennäköisyyden laskeminen on paljon helpompaa kuin edellisen laskeminen. Tämän todennäköisyyden perusteella laskemme sitten A:n todennäköisyyden komplementtisäännön avulla. Koska kunkin sirun tulokset ovat toisistaan riippumattomia tapahtumia, A C :n todennäköisyys on yksinkertaisesti kunkin chipin toimivuuden todennäköisyyden tulo. :
Mutta mikä on E:n todennäköisyys? Muista, että jokainen siru joko toimii tai ei toimi, joten E on F:n komplementti. Siksi, jos meillä on F:n todennäköisyys (joka on annettu harjoituksessa), voimme laskea E:n todennäköisyyden komplementtisäännön avulla:
Nyt voimme laskea todennäköisyyden, että koko järjestelmä toimii:
Ja jälleen komplementtisääntöä soveltaen laskemme todennäköisyyden, että järjestelmä epäonnistuu:
Vastaus
Todennäköisyys, että järjestelmä epäonnistuu ensimmäisenä vuonna, on 0,010 tai 1,0 %.
Viitteet
Devore, JL (1998). TODENNÄKÖISTEN JA TIETEIDEN TODENNÄKÖISYYS JA TILASTOTIEDOT . International Thomson Publishers, SA
Täydennä sääntöä . (nd). Fhybea. https://www.fhybea.com/complement-rule.html
Todennäköisyyksien komplementin sääntö . (2021, 1. tammikuuta). MateMobile. https://matemovil.com/regla-del-complemento-en-probabilidades/
