Esimerkki populaation keskihajonnan laskemisesta

Populaation keskihajonna on yksi tärkeimmistä populaatioparametreista mitattaessa tietojen vaihtelua tai hajontaa populaatiossa. Kuten mikä tahansa tilaston parametri, sitä edustaa kreikkalainen kirjain, tässä tapauksessa kirjain σ (sigma). Tämä mahdollistaa sen erottamisen helposti näytteen (näytteen) keskihajonnasta, joka, vaikka se on samanlainen, ei ole sama eikä sitä ole laskettu samoilla kaavoilla.

Seuraavaksi tarkastellaan esimerkin avulla erilaisia ​​tapoja laskea populaation keskihajontaa . On huomattava, että väestön keskihajonnan laskemiseksi on välttämätöntä tietää kaikki väestötiedot. Tätä tapahtuu harvoin todellisissa yhteyksissä, mutta on silti tärkeää ymmärtää, miten se lasketaan, koska se auttaa ymmärtämään joitakin tämän tärkeän parametrin matemaattisia ominaisuuksia.

Väestön keskihajontakaavat

Käytettävissä olevista tiedoista riippuen perusjoukon keskihajonna voidaan määrittää kolmella eri kaavalla.

Perusjoukon keskihajonnan matemaattinen määritelmä

Keskihajonta määritellään varianssin neliöjuurena σ ² . Eli jos tiedämme populaation varianssin, voimme laskea keskihajonnan seuraavan yhtälön avulla:

Tätä tapausta tulee harvoin, mutta se on hyvä pitää mielessä.

Muut populaation keskihajonnan kaavat

Jos sen sijaan, että tietäisimme populaation varianssin, tiedämme kaikki sen muodostavat N tietokohdetta, voimme laskea populaation keskihajonnan neliöjuurena keskiarvon neliöpoikkeamien keskiarvosta. Tarkoittaen:

Tässä yhtälössä x _i edustaa perusjoukon jokaisen tietoyksikön arvoa, N edustaa perusjoukon tietokohteiden määrää (tai populaation kokoa, joka on sama) ja μ on perusjoukon keskiarvo. Huomaa, että populaation keskiarvoa edustaa myös kreikkalainen kirjain, koska se on toinen populaatioparametri ja populaation kokoa edustaa N (iso kirjain), jotta se voidaan erottaa n:stä, joka yleensä liittyy otoksen kokoon.

Väestön keskiarvo, μ, saadaan seuraavasti:

Yhtälöä 2 voidaan laajentaa, järjestää uudelleen ja yksinkertaistaa, jotta saadaan:

Jos populaatiosta ei ole yksittäisiä tietoja, mutta tiedot on ryhmitelty frekvenssitaulukkoon, aiempia kaavoja muutetaan hieman antamaan:

Yllä olevissa yhtälöissä juurissa oleva määrä ei ole muuta kuin populaation varianssi. Yhtälöllä 4 on se etu, että se määritetään yksinomaan populaatiotietojen eikä joidenkin populaatioparametrien perusteella, kuten yhtälöiden 2 ja 5 tapauksessa.

Esimerkki populaation keskihajonnan laskemisesta

Oletetaan, että haluamme määrittää tietyn automallin painon vaihtelun, josta vain 20 esimerkkiä tiedetään olevan maailmanlaajuisesti. Näiden 20 auton painot kilogrammoina on esitetty seuraavassa taulukossa:

Koska tiedämme, että tämän mallin autoja on vain 20, nämä edustavat koko väestöä, joten meillä on kaikki tiedot, joita tarvitaan väestön keskihajonnan määrittämiseen. Tarkastellaan kolmea eri tapaa määrittää tämä keskihajonta.

Menetelmä 1: Varianssin määritelmään perustuva laskenta

Tämä menetelmä perustuu yllä esitetyn yhtälön 2 käyttöön. Kuten näemme, yhtälö edellyttää väestön keskiarvon ja toisen laskusarjan käyttöä, jotka on kuvattu alla:

Vaihe 1: Määritä väestön keskiarvo

Perusjoukon keskiarvo eli μ lasketaan yhtälön 3 avulla, laskemalla yhteen kaikki tiedot ja jakamalla tietojen kokonaismäärällä, joka on tässä tapauksessa 20.

Vaihe 2: Laske poikkeamat keskiarvosta

Tämä vaihe sisältää vähennyslaskujen (x _i – μ) laskemisen. Esimerkiksi:

x ₁ – μ = 410 – 400,35 kg = 9,65 kg

x ₂ – μ = 408 – 400,35 kg = 7,65 kg

x ₃ – μ = 408 – 400,35 kg = 7,65 kg

…

X ₂₀ – μ = 400 kg – 400,35 kg = – 0,35

Tulokset on esitetty seuraavassa taulukossa:

Vaihe 3: Neliöi kaikki poikkeamat keskiarvosta

(x ₁ – μ) ² = (9,65) ² = 93,1225 kg ²

(x ₂ – μ) ² = (7,65) ² = 58,5225 kg ²

(x ₃ – μ) ² = (7,65) ² = 58,5225 kg ²

…

(x ₂₀ – μ) ² = (– 0,35) ² = 0,1225 kg ²

Tulokset on esitetty seuraavassa taulukossa:

Vaihe 4: Laske yhteen kaikki neliöidyt poikkeamat

Vaihe 5: Käytä yhtälön 2 kaavaa

Nyt kun meillä on tämä summa, jäljellä on vain korvata tämä arvo sekä tietojen lukumäärä, joka on 20, yhtälössä 2:

Siten saadaan, että 20 auton väestön painon keskihajonna on n. 6,5 kg.

Tapa 2: Uudelleenjärjestetyn yhtälön käyttäminen

Nyt suoritamme saman laskelman, mutta käyttämällä yhtälöä 4, joka vastaa juuri käyttämäämme yhtälöä, mutta on käytännöllisempi, varsinkin jos työskentelet suuremman datamäärän kanssa. Suurin hyöty on, että poikkeamien laskemiseksi ei tarvitse laskea lisäparametria (populaatiokeskiarvoa), vaan kaikki lasketaan alkuperäisten yksittäisten tietojen perusteella. Sinun ei myöskään koskaan tarvitse työskennellä negatiivisten lukujen kanssa, jotka ovat suuri virhelähde opiskelijoiden keskuudessa.

Vaihe 1: Laske jokaisen yksittäisen tiedon neliö

Eli seuraavat laskelmat suoritetaan:

(x ₁ ) ² = (410) ² = 168 100 kg ²

(x ₂ ) ² = (408) ² = 166,464 kg ²

(x ₃ ) ² = (408) ² = 166,464 kg ²

…

(x ₂₀ ) ² = (400) ² = 160 000 kg ²

Tulokset on esitetty seuraavassa taulukossa:

Vaihe 2: Lisää kaikki yksittäiset tiedot

Vaihe 3: Lisää kaikki ruudut

Vaihe 4: Käytä yhtälön 4 kaavaa

Viimeinen vaihe on ottaa käyttöön nämä kaksi arvoa ja tietojen määrä yhtälössä 4 populaation keskihajonnan saamiseksi:

Tapa 3: Laskentataulukoiden käyttäminen

Laskentataulukot, kuten Microsoft Excel, Apple Numbers tai Google Sheets, sisältävät perustoimintoihinsa suoran keskihajonnan laskemisen (sekä otos- että perusjoukon). Nämä funktiot ottavat tietojoukon argumenttina ja suorittavat kaikki edellisessä menetelmässä esitetyt laskelmat palauttaakseen suoraan keskihajonnan soluun, johon kaava on syötetty.

Menettely on seuraava:

Vaihe 1: Syötä tiedot laskentataulukkoon

Voimme syöttää tiedot sarakkeen, rivin tai matriisin muodossa missä tahansa laskentataulukossa. Seuraava kuvakaappaus näyttää, miltä tämän ongelman tiedot näyttävät Excel 2016:ssa.

Vaihe 2: Laske standardipoikkeama kaavalla

Kun tiedot on lisätty, käytämme keskihajonnan funktiota ja sijoitamme argumenteiksi solut, joista tiedot löytyvät.

Kun haluat kutsua funktiota laskentataulukossa, aloitamme yleensä kirjoittamalla yhtäläisyysmerkin (=) ja sen jälkeen haluamasi funktion nimen. Nimet vaihtelevat hieman sovelluksesta toiseen ja joissain tapauksissa myös riippuen siitä, millä kielellä työskentelet.

Excelissä (espanjankielinen versio) populaation keskihajonnan laskevan funktion nimi on STDEV.P, kun taas Google Sheetsissä se on STDEVP (ilman pistettä). Sitten sinun on syötettävä funktion argumentit sulkeisiin. Esimerkissämme välitämme argumenttina solualueen, jossa tiedot sijaitsevat (soluista A3 – J4).

Painamalla ENTER-näppäintä, ohjelma suorittaa funktion ja laskee perusjoukon keskihajonnan esittäen tuloksen vastaavassa solussa alla olevan kuvan mukaisesti:

Kuten näemme, mikä tahansa kolmesta tässä käytetystä menetelmästä tuottaa saman tuloksen. Se on vain eri tapoja tehdä sama asia.

muita menetelmiä

Edellä mainittujen kolmen menetelmän lisäksi tieteellisillä ja taloudellisilla laskimilla on usein myös toiminto, joka määrittää tietojoukon keskihajonnan, olipa kyseessä sitten otos tai populaatio. Tapa, jolla tiedot syötetään ja tulokset saadaan, vaihtelee valmistajittain ja jopa laskinmalleittain, joten tässä on epäkäytännöllistä näyttää sen suorittamisen vaiheet.

Sen sijaan keskustelemme tärkeimmistä yleisistä vaiheista syventymättä niihin. Jokaisen, joka haluaa käyttää tätä toimintoa tieteellisellä laskimellaan, tulee katsoa laskimen mukana tullutta käyttöohjetta tai etsiä sitä verkosta määrittääkseen kussakin tapauksessa tietyn näppäinyhdistelmän.

Vaihe 1: Tyhjennä muisti

Monissa laskimissa aiemmin tallennetut tiedot eivät näy. Jos syötämme tietoja muista, jotka oli jo tallennettu huomaamatta, laskin antaa väärän tuloksen. Jotta näin ei tapahdu, on suositeltavaa tyhjentää laskimen koko muisti (tai ainakin tilastollinen analyysitila) ennen uusien tietojen syöttämistä.

Vaihe 2: Siirry tilastotilaan

Keskihajonnan laskentatoiminnot ovat osa ”Tilastot”, ”Tilastot” tai yksinkertaisesti ”S”-tilaa useimmissa laskimissa, joten meidän on aloitettava siirtymällä tähän toimintatilaan.

Vaihe 3: Syötä tiedot

Tämä vaihtelee laskimesta toiseen. Joissakin tapauksissa tiedot voidaan lisätä taulukkomuodossa, kun taas toisissa tiedot syötetään yksitellen DT (tai DAT) -näppäimen painamisen jälkeen. On tärkeää tarkistaa tämän vaiheen lopussa syötettyjen tietojen määrä varmistaaksesi, ettei mitään puuttunut.

Vaihe 4: Laske populaation keskihajonta

Kun tiedot on syötetty, ei tarvitse muuta kuin kysyä laskurilta etsimämme tulos. Monissa laskimissa sekä otoksen että perusjoukon keskihajonnat esitetään symbolilla σ (huolimatta siitä, että tämä on virhe otospoikkeaman tapauksessa). Voimme kuitenkin erottaa otospoikkeaman perusjoukon poikkeamasta, koska otospoikkeaman mukana on n-1 (eli se näkyy muodossa σ _n-1 ), kun taas populaatiopoikkeama näkyy muodossa s _n . Tämä viittaa siihen, että otoksen keskihajonnan laskennassa se jaetaan n:llä n:n sijaan, kuten perusjoukossa.

Viitteet

Devore, JL (2019). Todennäköisyys ja tilastot (1. ^painos ). Cengage Learning.

MateMobile. (2021, 1. tammikuuta). Varianssi ja keskihajonta binoiduille tiedoille | matermobile . https://matemovil.com/varianza-y-desviacion-estandar-para-datos-agrupados-por-intervalos/

Googlen tekninen tuki. (nd). STDEV (STDEV) – Google Docs Editors -ohje . Google – Google Docs Editors -ohje. https://support.google.com/docs/answer/3094054?hl=fi-419

Superprof. (nd). Standardipoikkeama . Matematiikan sanakirja | Superprof. https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/estadistica/desviacion-estandar.html

TOMi.digital. (nd). Ryhmitettyjen tietojen keskihajonta . https://tomi.digital/en/52202/standard-deviation-for-grouped-data?utm_source=google&utm_medium=seo