Kuinka laskea odotettu arvo ruletissa

Todennäköisesti satunnaismuuttujan odotusarvo viittaa usean muuttujan esiintymiskerran keskiarvoon . Se lasketaan satunnaismuuttujan kaikkien mahdollisten arvojen painotettuna keskiarvona, jossa painotuskerroin on vain todennäköisyys, että jokainen arvo toteutuu.

Todennäköisyys on erittäin tärkeä tutkimusalue uhkapelien alalla, joista ruletti on yksi suosituimmista ja helpoimmin ymmärrettävistä.

Mitä ruletti on ja miten sitä pelataan?

Tyypillinen amerikkalainen rulettipyörä koostuu pyörästä, jossa on sarja paikkoja, jotka on merkitty numeroilla 1-36, joista 18 on mustia ja loput 18 punaisia. Lisäksi pyörän vastakkaisissa päissä on kaksi vihreää solua tai koloa, jotka on merkitty numeroilla 0 ja 00, yhteensä 38 solua.

On myös ranskalaisia ​​ruletteja, joissa ei ole 00-laatikkoa, joten niissä on yhteensä 37 laatikkoa.

Peli koostuu pyörän pyörittämisestä samalla kun pieni pallo heitetään vastakkaiseen suuntaan. Kun pyörittäjä ja pallo hidastuvat, pallo päätyy johonkin 37 tai 38 taskusta tai paikasta. Ennen kuin pallo pysähtyy, osallistujat voivat tehdä erilaisia ​​vetoja. Jotkut mahdollisista vedoista ovat:

• Panosta tietylle numerolle (maksaa yleensä 35:1)
• Panosta kahdelle vierekkäiselle numerolle (maksetaan yleensä 17:1)
• Panosta punaiselle tai mustalle (maksaa yleensä 1:1)
• Parittomat tai parilliset luvut (maksaa yleensä 1:1)
• Pieni tai korkea panos, eli ensimmäiset 18 numeroa (1-18) tai viimeiset 18 (19-36) (maksetaan yleensä 1:1)
• Ensimmäinen tusina (1-12) (maksaa yleensä 2:1)
• Toinen tusina (13-24) (maksaa yleensä 2:1)
• Kolmas tusina (25-36) (maksaa yleensä 2:1)

Kuten näet, jokainen näistä vedoista tarjoaa tietyn voiton, joka riippuu sen toteutumisen todennäköisyydestä.

Seuraavaksi laskemme voittojen odotetun arvon amerikkalaisen rulettipyörän erilaisten vetojen mukaan. Tässä saadut tulokset on helppo ekstrapoloida ranskalaiseen rulettiin yksinkertaisesti muuttamalla mahdollisten tulosten kokonaismäärää kaikkien todennäköisyyksien nimittäjissä.

Kaikissa tapauksissa määritämme voiton odotetun arvon jokaiselle panostamallemme dollarille, vaikka numeerinen arvo voidaan siirtää mihin tahansa muuhun valuuttaan. Lisäksi tämän odotetun arvon kertominen vedon todellisella arvolla tuottaa vedon odotetun arvon. Joten jos 1 dollarin panoksen sijaan panostamme 100 dollaria, meidän on vain kerrottava 1 dollarin panoksen odotettu arvo 100:lla.

Kaava, jolla lasketaan vedon odotusarvo ruletissa

Satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo haluamme määrittää, on rahasumma, jonka voitamme keskimäärin, jos panostamme samalla ruletilla useita kertoja. Kun asetamme vedon, suoritamme kokeen, jolla on vain kaksi mahdollista lopputulosta: voitamme tai häviämme. Voitamme, jos pallo osuu vetoamme vastaavaan laatikkoon, muuten häviämme.

Jos kutsumme X:ksi vedonlyönnillä saatua voittoa (satunnaismuuttujamme), p onnistumisen todennäköisyydeksi, x ₁ voittoa, jonka saamme, jos voitamme, q epäonnistumisen todennäköisyydeksi ja x _2:ksi voittoa (tai tappiota), jonka saamme, jos häviämme, voimme laskea vedon odotetun arvon seuraavasti:

Nyt näemme, kuinka soveltaa tätä kaavaa erilaisiin vetoihin, joita voimme tehdä.

Tietyn numeron panostuksen odotettu arvo ruletissa

Oletetaan, että panostamme 1 dollarin tietystä numerosta (0, 00, 1, 2, 3, …).

Tämän vedon voitto, mikäli voitamme, on 35:1, mikä tarkoittaa, että saamme 35 dollaria jokaisesta panostamamme dollarista ja lisäksi panostamme 1 dollarin. Sanomme sitten, että satunnaismuuttujamme arvo onnistumisen tapauksessa (x ₁ ) on tässä tapauksessa +35 dollaria, koska se on nettovoitto. Onnistumisen todennäköisyys (p) on 1/38, koska on yhteensä 38 erilaista ruutua, joissa pallo voi pudota, kun taas vain 1, joilla me voitamme.

Toisaalta, jos pallo osuu johonkin muuhun numeroon, häviämme vedon, jolloin talo pitää panoksemme 1 dollarin. Siten ”voittomme” on -1 dollari, koska menetämme rahaa. Häviämisen todennäköisyys (q) on 37/38, koska mikä tahansa muu laatikko kuin se numero, jolle panostamme, saa meidät häviämään. Näiden tietojen avulla voimme soveltaa kaavaa ja määrittää tämän vedon odotetun arvon:

Toisin sanoen, minkä tahansa tietyn numeron panostuksen odotettu arvo ruletissa on 5,3 sentin tappio jokaista panostamaamme dollaria kohden.

Kahden vierekkäisen numeron panostuksen odotettu arvo

Oletetaan, että panostamme 1 dollarin asettamalla pelimerkin kahden vierekkäisen numeron väliin, kuten 2 ja 3 tai 17 ja 20 (jotka ovat pystysuorassa vierekkäin).

Tämän vedon voitto, toisin kuin edellisessä vedossa, on 17:1, mikä tarkoittaa, että saamme 17 dollaria takaisin jokaisesta panostamastamme dollarista ja lisäksi saamme 1 dollarin takaisin. Voitto on tässä tapauksessa +17 dollaria, kun taas onnistumisen todennäköisyys (p) on 2/38, koska on kaksi numeroa, jotka saavat meidät voittamaan, vaikka yhteensä on edelleen samat 38 solua.

Toisaalta, jos häviämme, häviämme jälleen saman $1, jonka panostimme, mutta häviämisen todennäköisyys (q) on nyt 36/38. Tämän vedon odotettu arvo on sitten:

Jälleen on odotettavissa, että panostamalla mille tahansa vierekkäiselle numeroparille ruletissa useita kertoja, menetämme keskimäärin 5,3 senttiä jokaisesta panostamamme dollarista.

Odotettu vedonlyöntiarvo kymmeniä

Ruletissa on kuusi erilaista vetoa, jotka sisältävät kymmenkunta mahdollista suotuisaa lopputulosta; kolme niistä koostuu vedonlyönnistä ensimmäisestä, toisesta tai kolmannesta tusinasta numerosta (ei sisällä 0 tai 00), ja muut kolme koostuvat vedonlyönnistä yhdessä niistä kolmesta sarakkeesta, joissa numerot on järjestetty rulettipöydässä.

Kaikkien näiden vetojen voitto on 2-1, mikä tarkoittaa, että voitamme 2 dollaria jokaisesta panostamastamme dollarista ja saamme 1 dollarin takaisin. Onnistumisen todennäköisyys on 12/38, koska panostamme 12 eri numeron koriin. Lopuksi epäonnistumisen todennäköisyys on 26/38 samalla tappiolla $1 (tai voitto -$1, mikä on sama asia).

Satunnaismuuttujamme odotusarvo on tässä tapauksessa:

Odotettu arvo vedonlyönnille punaisella tai mustalla, parillinen tai pariton tai vedonlyönti matala tai korkea

Lopuksi on olemassa kuusi muuta erilaista vetoa, joita voimme tehdä ruletissa ja jotka tarjoavat sekä saman onnistumisen todennäköisyyden ja saman maksun, jos voitamme, että saman epäonnistumisen todennäköisyyden ja saman rahan menetyksen, jos häviämme, joten laskemme niiden odotusarvon samalla tavalla kaikille. Nämä vedot ovat:

• Panosta punaiselle.
• veto mustalle
• Panosta parillisille luvuille
• Lyö vetoa parittomille numeroille
• Panosta alempaan 18 numeroon (luvut 1-18)
• Panosta suuriin 18 numeroon (luvut 19-36)

Vaikka ne näyttävät hyvin erilaisilta panoksilta, ne ovat itse asiassa täsmälleen samat. He kaikki maksavat 1 dollarin jokaisesta panostetusta 1 dollarista, plus 1 palautetun dollarin, joten ne kaikki nettottavat +1 dollarin.

Lisäksi niillä kaikilla on sama onnistumisen todennäköisyys (ja täydentäen epäonnistumisen). Esimerkiksi puolet numeroista 1-36 tunnistetaan punaisella värillä ja toinen puoli mustalla, joten on 18/38 todennäköisyys, että se tulee punaiseksi tai mustaksi (muista, että solut 0 ja 00 ovat vihreitä, joten tuloksena on yhteensä 38 mahdollista tulosta).

Mitä tulee parittomiin ja parillisiin lukuihin, koska peräkkäisiä lukuja on 36, puolet on parillisia (2, 4, 6, 8, 10, 12, ,…,34 ja 36) ja toinen puoli on parittomia (1, 3, 5, 7, 9, 11, …, 33 ja 35). Meidän on muistettava, että nollaa ei pidetä parillisena tai parittomana lukuna, joten 0- tai 00-laatikko eivät ole osa kummastakaan tuloksesta.

Lopuksi on 18 pientä lukua ja 18 korkeaa lukua, joten todennäköisyys saada yksi tai toinen tulos on myös 18/38.

Toisaalta epäonnistuminen kaikissa näissä tapauksissa sisältää toisen puolen vetoon laskemattomista numeroista plus 0 ja 00, joten mahdollisia haitallisia seurauksia on yhteensä 20. Tämä tarkoittaa, että epäonnistumisen todennäköisyys on 20/38.

Minkä tahansa näistä vedoista odotettu arvo on sitten:

Miten nämä tulokset tulkitaan?

Tämä tulos ei tarkoita, että jos astumme kasinolle ja panostamme esimerkiksi 1 dollarin 21:lle, menetämme 0,053 dollaria. Todellisuudessa, jos pelaamme vain kerran , menemme kotiin joko 1 dollarilla vähemmän tai 35 dollaria enemmän.

Tämä tulos tarkoittaa sitä, että jos panostamme ruletissa monta kertaa ja panostamme aina yhdelle numerolle, joskus voitamme 35 dollaria ja toisinaan menetämme 1 dollarin, mutta keskimäärin päädymme menettämään 0,053 dollaria jokaista panostettua dollaria kohden.

Tämä tulos vahvistaa suositun sanonnan, jonka mukaan ”pankki voittaa aina”, viitaten siihen, että vaikka kasino joskus maksaisi jättipotin jollekin onnekkaalle pelurille, hän päätyy aina voittamaan kaiken menettämänsä, ja enemmänkin. kaikki pienet vedot, joissa osallistujat häviävät.

Viitteet

DeVore, J. (2002). Probability and Statistics for Engineering and Sciences (5. painos). Thomson International.

Elisa, M. (2021, 23. huhtikuuta). Kuinka voittaa ruletissa: Johdatus todennäköisyyksiin ja odotettuihin arvoihin . Keskikokoinen. https://www.cantorsparadise.com/how-to-win-at-roulette-intro-to-probabilities-and-expected-values-f23baed1065e

Odotettu arvo tilastoissa: määritelmä ja laskelmat . (2021, 8. kesäkuuta). Tilastot Miten. https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/expected-value/

Diskreetin satunnaismuuttujan keskiarvo (odotettu arvo), varianssi ja keskihajonta | matermobile . (2021, 1. tammikuuta). MateMobile. https://matemovil.com/media-varianza-y-desviacion-estandar-de-una-variable-aleatoria-discreta/

Opiskeluvoima. (2021, 8. kesäkuuta). Odotettu arvo tilastoissa: määritelmä ja laskelmat [Video]. Tilastot Miten. https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/expected-value/