Tabla de Contenidos
Matematiikassa odotusarvo , joka tunnetaan myös nimellä odotus , on satunnaismuuttujan arvon pitkän aikavälin keskiarvo. Tavallaan se vastaa satunnaismuuttujan arvoa, jonka odotamme saavamme keskimäärin toistettuaan satunnaiskokeen monta kertaa (sitä nimi ”odotettu arvo”).
Odotettu arvo voidaan laskea kahdella eri tavalla riippuen kyseessä olevan satunnaismuuttujan tyypistä. Tämä muuttuja esitetään yleensä isolla kirjaimella X, ja se voi olla joko jatkuva tai diskreetti. Kussakin tapauksessa tapa, jolla X:n odotus (merkitty E[X]) lasketaan , muuttuu, kuten alla nähdään.
Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvon laskenta
Satunnaismuuttuja on mikä tahansa funktio, joka antaa luvun tai numeerisen arvon kullekin satunnaiskokeen tulokselle, oli se sitten määrällinen tai kvalitatiivinen. Diskreettien satunnaismuuttujien tapauksessa näillä tarkoitetaan satunnaismuuttujia, joilla on rajallinen määrä mahdollisia lopputuloksia tai joiden tulokset voidaan järjestää ensimmäiseksi, toiseksi, kolmanneksi jne.
Esimerkki diskreetistä satunnaismuuttujasta voi olla parillisten lukujen määrä, kun heitetään kahta 6-sivuista noppaa. Tässä tapauksessa satunnaismuuttujan ainoat mahdolliset arvot olisivat 0, 1 ja 2.
Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo lasketaan laskemalla yhteen muuttujan kunkin arvon tulo ja kyseisen arvon todennäköisyys. Tämä voidaan kirjoittaa matemaattisesti seuraavalla kaavalla:
Tässä yhtälössä E[X] on X:n odotus (arvo, jonka haluamme määrittää), x i vastaa satunnaismuuttujan i:ttä arvoa ja P(x i ) vastaa todennäköisyyttä, että kokeen tulos. on x i .
Esimerkki diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvon laskemisesta
Käytännöllinen ja yksinkertainen tapa ymmärtää odotusarvon käsite on onnenpelit. Kuvittele onnenrulettipeli, kuten ohjelma, joka paikallisilla variaatioilla lähetetään televisiossa monissa maissa. Tässä rulettipyörässä on tietyissä tapauksissa 4 kiilaa, jotka johtavat 400 dollarin häviämiseen, 5 kiilaa, jotka sisältävät 0, 6, jotka sisältävät 1 000 dollaria, ja 1 kiilaa, joiden jättipotti on 6 000 dollaria. Kysymys kuuluu, mikä on sen rahamäärän odotettu arvo, jonka rulettikilpailijat voittavat pitkällä aikavälillä?
Kun kohtaamme tämänkaltaisen ongelman, meidän on ensin määritettävä kaikki mahdolliset tulokset kokeesta, joka koostuu rulettipyörän pyörittämisestä. Lisäksi on voitava määrittää todennäköisyys saada jokainen satunnaismuuttujan mahdollinen arvo.
Tässä tapauksessa on vain 4 mahdollista tulosta, jotka ovat 400 dollaria, 0 dollaria, 1 000 dollaria ja 6 000 dollaria. Kaiken kaikkiaan kiiloja on 4 + 5 + 6 + 1 = 16, joten satunnaismuuttujan kunkin lopputuloksen todennäköisyydet ovat 1/4, 5/16. 3/8 ja 1/16.
| X | P(x) |
| -400 dollaria | 4/16 = 1/4 |
| 0 dollaria | 5/16 |
| 1 000 dollaria | 16/6 = 3/8 |
| 6 000 dollaria | 1/16 |
Nyt meillä on jo se, mitä tarvitsemme summauksen suorittamiseen odotusarvon määrittämiseksi:
Tämä tarkoittaa, että pitkällä aikavälillä ruletti maksaa osallistujilleen 650 dollaria.
Jatkuvan satunnaismuuttujan odotusarvon laskenta
Kun satunnaismuuttuja on jatkuva, se tarkoittaa, että sen mahdollisten arvojen joukko koostuu reaalilukujen välillä, olipa tämä väli äärellinen tai ääretön. Jatkuvien satunnaismuuttujien kohdalla todennäköisyys korvataan pdf:llä ja summaus integraalilla:
Tässä yhtälössä x on jatkuva satunnaismuuttuja ja f (x) vastaa x:n todennäköisyysjakaumafunktiota. Kuten tästä näkyy, integraali on tehtävä satunnaismuuttujan X- kaikkien mahdollisten arvojen yli.
Esimerkki jatkuvan satunnaismuuttujan odotusarvon laskemisesta
Tarkastellaan jatkuvaa satunnaismuuttujaa, jonka jakaumafunktio on annettu kaavalla:
Sinua pyydetään määrittämään tämän jatkuvan satunnaismuuttujan keskiarvo tai odotusarvo.
Tätä ongelmaa ratkaistaessa tulee ottaa huomioon, että funktio määritellään osittaisesti jakaen reaaliviivan 3 väliin, jotka ovat (-∞; -2 ), [-2 ; 2] ja (2 ; + ∞). Tällä tavalla, kun X:n odotuskaavaa sovelletaan, integraali jaetaan kolmen integraalin summaksi:
Mutta koska satunnaismuuttuja x on nolla ensimmäisessä ja viimeisessä välissä, niin molemmat integraalit ovat nollia, mikä antaa vain keskiintegraalin, joka lasketaan välillä -2 ja +2:
Viitteet
Odotetun arvon laskin. (nd). Haettu osoitteesta http://www.learningaboutelectronics.com/Articulos/Calculadora-de-valor-esperado.php
del Rio, AQ (2019, 4. syyskuuta). 5.4 Satunnaismuuttujan matemaattinen odotus | Makeutetut perustilastot. Haettu osoitteesta https://bookdown.org/aquintela/EBE/esperanza-matematica-de-una-variable-aleatoria.html
López, JF (2021, 15. helmikuuta). Matemaattinen toivo. Haettu osoitteesta https://economipedia.com/definiciones/esperanza-matematica.html
MateMobile. (2021, 1. tammikuuta). Jatkuvan satunnaismuuttujan keskiarvo tai odotusarvo, varianssi ja keskihajonta | matmobile. Haettu osoitteesta https://matemovil.com/media-o-valor-esperado-varianza-y-desviacion-estandar-de-una-variable-aleatoria-continua/
Webster, A. (2001). Liiketoimintaa ja taloutta koskevat tilastot (espanjankielinen painos) . Toronto, Kanada: Irwin Professional Publishing.
