Tabla de Contenidos
Tilastojen laskelmien hetket liittyvät parametrien, kuten todennäköisyysjakauman keskiarvon, varianssin tai vinouden, määrittämiseen. Termi momentti tulee fysiikasta, eri massaisten kappaleiden painopisteen laskemisesta.
hetken määritelmä
Jos on joukko n diskreettiä dataa x 1 , x 2 , x 3 , … x n , järjestyksen hetki s määritellään seuraavasti:
( x 1 s + x 2 s + x 3 s +…+ x n s )/ n
Laskelmien suoritusjärjestys on tärkeä. Ensin on tehtävä korotus potenssiin s , sitten summaus ja lopuksi jako n :llä .
Tätä määritelmää sovellettaessa meillä on ensimmäisen kertaluvun momentti, kun s = 1 ja edellinen kaava on muodossa:
( x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n )/ n
Tämä on arvojoukon keskiarvon kaavan lauseke.
Jos analysoimamme joukko koostuu 4 numerosta 1, 3, 6, 10, tämän joukon ensimmäisen kertaluvun momentti on:
(1 + 3 + 6 + 10)/4 = 5
Tässä esimerkissä havaitaan, että ensimmäisen kertaluvun momentti on tutkittavan arvojoukon keskiarvo.
Toisen kertaluvun momentti vastaa s = 2, ja määritelmästä tulee sitten seuraava:
( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 +…+ x n 2 )/ n
Jos sovellamme sitä edelliseen esimerkkiin, saamme:
(1 2 + 3 2 + 6 2 + 10 2 )/4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 36,5
Samoin kolmannen kertaluvun momentti vastaa s = 3 ja kaava on muotoa:
( x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 +…+ x n 3 )/ n
Ja tarkastelemamme esimerkin laskennalla on lauseke:
(1 3 + 3 3 + 6 3 + 10 3 )/4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 311
Arvojoukon keskiarvon hetket
Toinen momentin käsitteen sovellus on sen arvojoukon keskiarvon laskeminen. Eli arvoihin, jotka saadaan joukon kunkin arvon erosta suhteessa keskiarvoon. Tätä varten sinun on ensin laskettava joukon keskiarvo, määritettävä sitten muuttuja, jolla momentit lasketaan joukon keskiarvon ja kunkin arvon erotuksena, ja lopuksi soveltaa edellistä kaavaa tähän uuteen muuttujaan.
Sitten, jos m on arvojoukon x 1 , x 2 , x 3 , … x n keskiarvo, arvojoukon keskimääräisen m s :n ympärillä olevat hetket ovat muotoa:
m s = [( x 1 – m ) s + ( x 2 – m ) s + ( x 3 – m ) s +…+ ( x n – m ) s ]/ n
Tämän laskelman mukaan keskiarvon ensimmäisen kertaluvun momentti on 0. Katsotaan kuinka tämä tulos saadaan:
m 1 = [( x 1 – m )+ ( x 2 – m ) + ( x 3 – m ) +…+ ( x n – m )]/ n
m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n – n . m )]/ n
m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n ]/ n – [ n . m ]/ n
m 1 = m – m = 0
Keskiarvon toisen asteen momentilla on seuraava lauseke:
m 2 = [( x 1 – m ) 2 + ( x 2 – m ) 2 + ( x 3 – m ) 2 +…+ ( x n – m ) 2 ]/ n
Tämä on kaava arvojoukon varianssille.
Jos käytämme tätä kaavaa edelliseen esimerkkiin, meillä on, että jo laskemamme keskiarvo on 5, joten kaavasta tulee
m 2 = [(1 – 5) 2 + (3 – 5) 2 + (6 – 5) 2 + (10 – 5) 2 ]/4 = 11,5
Siten näemme, että arvojoukon ensimmäisen kertaluvun momentti on keskiarvo ja toisen kertaluvun momentti keskiarvosta on kyseisen joukon varianssi. Kolmannen kertaluvun keskiarvomomenttia käytti Karl Pearson arvojoukon vinouden laskemiseen, kun taas neljännen kertaluvun keskiarvon momenttia tilastollisen kurtoosin laskennassa.
Lähteet
Alexander Mood, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes, Johdanto tilastoteoriaan . Kolmas painos, McGraw-Hill, 1974.
Peter H. Westfall, Understanding Advanced Statistical Methods . Boca Raton, FL: CRC Press, 2013.
