Tabla de Contenidos
Lukujoukko on laskematon, kun ei ole mahdollista määrittää yksilöllistä luonnollista lukua kaikille sen elementeille . Toisin sanoen lukemattomat joukot ovat sellaisia, joilla ei ole yksi-yhteen vastaavuutta luonnollisten lukujen kanssa.
Käytämme yleensä luonnollisia lukuja intuitiivisesti laskemiseen, ja teemme tämän määrittämällä luonnollisen luvun jokaiselle ryhmän elementille, jonka haluamme laskea, peräkkäin. Esimerkiksi, kun laskemme kädessämme olevien sormien lukumäärän, annamme jokaiselle sormelle yksilöllisen luonnollisen luvun, joka alkaa 1:stä ja päättyy 5:een. Tiedämme sitten, että käsissä on 5 sormea, koska se on suurin arvo annamme sormille. Toisin sanoen laskemme sormet.
Tätä ajatusta ei voida soveltaa joihinkin lukujoukkoon. Joissakin tapauksissa joukot ovat niin suuria, että edes äärettömien luonnollisten lukujen käyttäminen ei riittäisi numeroimaan kaikkia joukon alkioita. Koska luonnollisten lukujen joukko on ääretön, ajatus siitä, että on olemassa lukemattomia joukkoja, viittaa ajatukseen, että on olemassa joitakin äärettömiä, jotka ovat suurempia kuin toiset, ja vain ne joukot, joiden ääretön on saman ”kokoinen” kuin luonnollisten lukujen joukko. ovat laskettavissa, luonnolliset luvut. Joukon alkioiden lukumäärää kutsutaan kardinaaliksi, joten laskemattomia joukkoja ovat ne, joiden kardinaali on suurempi kuin luonnollisten lukujen.
Joitakin laskettavien ja laskemattomien joukkojen ominaisuuksia
Ymmärtääksesi, miksi jotkin joukot ovat laskettavissa ja toiset eivät, on hyvä tietää joitakin joukkojen ominaisuuksia:
- Jos A on B:n osajoukko ja A on laskematon, niin B on myös laskematon. Toisin sanoen jokaisen joukon, joka sisältää lukemattoman joukon, täytyy itse olla laskematon.
- Jos A on laskematon ja B on mikä tahansa joukko (laskettavissa oleva tai ei), liitto AUB on myös laskematon.
- Jos A on laskematon ja B on mikä tahansa joukko, myös karteesinen tulo A x B on laskematon.
- Jos A on ääretön (jopa laskettavasti ääretön), niin A:n potenssijoukko on lukematon.
Esimerkkejä yleisimmistä lukemattomista joukoista
Reaalilukujen joukko (R)
Reaalilukujen joukko on ensimmäinen esimerkki laskemattomasta joukosta. Mutta mistä tiedämme, että ne ovat lukemattomia, jos niillä on äärettömät alkiot ja meillä on myös äärettömiä luonnollisia lukuja annettavana? Teemme tämän Cantorin diagonaalisen argumentin ansiosta.
Kantorin diagonaali
Cantorin diagonaaliargumentti antaa meille mahdollisuuden osoittaa, että reaalilukujen osajoukko, joka on kahden tarkasti määritellyn rajan välillä, esimerkiksi välillä 0 ja 1, on laskematon joukko. Tästä johtuen jo mainittujen lukemattomien joukkojen ominaisuuksien perusteella kaikkien reaalilukujen kokonaisjoukon täytyy olla myös laskematon.
Oletetaan, että luomme äärettömän listan reaaliluvuista välillä 0 ja 1. On täysin yhdentekevää, miten tämä lista on rakennettu. Ainoa asia, jolla on merkitystä, on, että kaikki numerot ovat yksilöllisiä. Nyt aiomme määrittää jokaiselle näistä numeroista yksilöllisen luonnollisen luvun, joka alkaa 1:stä ja toimii peräkkäin. Esimerkki tästä luettelosta on seuraavassa taulukossa:
| Ei. | R. | ||||||||
| 1 | 0, | 2 | 2 | 4 | 5 | 8 | 7 | 9 | 6… |
| 2 | 0, | 5 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 0 | 2… |
| 3 | 0, | 6 | 4 | 0 | 5 | 7 | 8 | 3 | 0… |
| 4 | 0, | 1 | 7 | 9 | 8 | 2 | 2 | 4 | 3… |
| 5 | 0, | 8 | 5 | 5 | 4 | 7 | 3 | 2 | 2… |
| 6 | 0, | 0 | 4 | 8 | 3 | 8 | 1 | 5 | 3… |
| 7 | 0, | 7 | 8 | 4 | 2 | 0 | 9 | 1 | 0… |
| 8 | 0, | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 1 | 3 | 5… |
| … | … |
Tässä vaiheessa annamme yksilöllisen luonnollisen luvun kaikille luettelossamme oleville numeroille. Koska tämä lista on ääretön ja jokainen reaaliluku vastaa luonnollista lukua, niin ”käytetään” kaikki luonnolliset luvut tässä taulukossa. Canto osoitti, että on ainakin yksi ylimääräinen reaaliluku, joka ei ole tässä luettelossa ja jota ei siksi voida laskea. Tämä luku muodostetaan ottamalla kaikki taulukon ylittävän diagonaalin alkiot ja lisäämällä sitten 1. Toisin sanoen uusi luku alkaa ensimmäisen numeron ensimmäisestä numerosta, jota on lisätty yhdellä yksiköllä, ja sitten sen toinen numero on toinen numero kasvaa yhdellä yksiköllä, sitten kolmannen numeron kolmas numero ja niin edelleen.
Seuraavassa taulukossa diagonaalin elementit on korostettu lihavoidulla ja operaatiosta saatu numero lisätään viimeiselle riville:
| Ei. | R. | ||||||||
| 1 | 0, | 2 | 2 | 4 | 5 | 8 | 7 | 9 | 6… |
| 2 | 0, | 5 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 0 | 2… |
| 3 | 0, | 6 | 4 | 0 | 5 | 7 | 8 | 3 | 0… |
| 4 | 0, | 1 | 7 | 9 | 8 | 2 | 2 | 4 | 3… |
| 5 | 0, | 8 | 5 | 5 | 4 | 7 | 3 | 2 | 2… |
| 6 | 0, | 0 | 4 | 8 | 3 | 8 | 1 | 5 | 3… |
| 7 | 0, | 7 | 8 | 4 | 2 | 0 | 9 | 1 | 0… |
| 8 | 0, | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 1 | 3 | 5 … |
| … | … | 2+1 | 2+1 | 0+1 | 8+1 | 7+1 | 1+1 | 1+1 | 5+1 |
| 0, | 3 | 3 | 1 | 9 | 8 | 2 | 2 | 6… |
Tuloksena oleva luku on 0,33198226…
Kuten näemme, koska uuden numeron ensimmäinen numero (joka on 3) eroaa luettelon ensimmäisen numeron ensimmäisestä numerosta (joka on 2), se on eri numero kuin ensimmäinen, vaikka kaikki muut numerot ovat täsmälleen samat. Koska toinen numero (3) eroaa toisen numeron (2) toisesta numerosta, se on myös erilainen kuin toinen numero.
Tätä samaa argumenttia voidaan jatkaa loputtomiin etenemällä diagonaalia pitkin varmistaen, että tuloksena oleva luku eroaa vähintään yhden numeron verran kaikista taulukon äärettömistä luvuista.
Koska olemme kuitenkin jo ”kuluttaneet” tai määrittäneet kaikki luonnolliset luvut ennen tämän uuden luvun luomista, meillä ei ole enää yksilöllisiä luonnollisia lukuja määritettävänä, joten päätämme, että reaalilukujen joukko välillä 0 ja 1, ja siksi kaikkien reaalilukujen laajennus on lukematon joukko.
Joukko transsendenttisia lukuja
Transsendentaaliset luvut ovat niitä, jotka kuuluvat reaalilukujen joukkoon, mutta eivät ole algebrallisia lukuja. Tämä tarkoittaa, että ne eivät ole muotoa olevan polynomiyhtälön juuria:
jossa kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja. Kutsutaan A:ksi kaikkien algebrallisten reaalilukujen joukko ja T: ksi loput reaaliluvut eli transsendentaaliset luvut. On helppo nähdä, että reaalilukujen kokonaisjoukko R on joukkojen A ja T liitto , eli:
Voidaan osoittaa, että algebrallisten lukujen joukko on laskettavissa. Lisäksi olemme jo osoittaneet, että todelliset luvut ovat lukemattomia. Koska R on lukematon, sitä ei voida muodostaa kahden laskettavan joukon liitolla. Tietäen, että A on laskettava, päätämme, että T on laskematon.
Binäärilukujonojen joukko
Binäärilukujen sarja on yksinkertaisesti minkä tahansa pituinen nollien ja 1:n merkkijono. Jos yhdistämme kaikki mahdolliset binäärilukujonot, saamme binäärilukujonojen joukon. Tämä ei ole muuta kuin todellisten lukujen osajoukko, jossa ainoat numerot ovat 0 ja 1.
On erittäin helppoa osoittaa, että tämä lukujoukko on laskematon käyttämällä samaa Cantor-argumenttia, jolla osoitamme, että R on laskematon. Ainoa varoitus on, että sen sijaan, että lisäisimme 1:n diagonaalin numeroihin, yksinkertaisesti käännämme niiden arvon ja korvaamme 0:n 1:llä ja päinvastoin.
Kuten ennenkin, tuloksena oleva binäärisekvenssi on erilainen kuin mikään alkuperäiseen luetteloon mahdollisesti sisällytettyjen sekvenssien loputon joukko, joten se on lukematon joukko.
Muut numerosarjat, joilla on eri kanta
Binäärilukusarjojen ja reaalilukujen argumentti voidaan laajentaa mihin tahansa minkä tahansa kantaluvun lukujonoon. Tässä mielessä kaikkien heksadesimaalilukujen sekvenssien joukko on laskematon; niin tulee olemaan myös kolminumeroisten, kvaternääristen lukujen jne.
Viitteet
Yleisiä esimerkkejä lukemattomista joukoista . (2020, 16. maaliskuuta). PeoplePerProject. https://en.peopleperproject.com/posts/9312-common-examples-of-uncountable-sets
Ivorra Castillo, C. (sf). JOUKKOTEORIA . UV.es. https://www.uv.es/ivorra/Libros/TC.pdf
Libretekstit. (2021, 7. heinäkuuta). 1.4: Laskettavat ja laskemattomat joukot . Matematiikka LibreTexts. https://math.libretexts.org/Bookshelves/Combinatorics_and_Discrete_Mathematics/An_Introduction_to_Number_Theory_(Veerman)/01%3A_A_Quick_Tour_of_Number_Theory/1.04%3A_Countable_Set_Set_Uncountable
Schwartz, R. (2007, 12. marraskuuta). Laskettavat ja lukemattomat sarjat . Ruskea matematiikka. https://www.math.brown.edu/reschwar/MFS/handout8.pdf
Lukemattomat sarjat | Esimerkkejä lukemattomista joukoista . (2020, 21. syyskuuta). Cuemath. https://www.cuemath.com/learn/Mathematics/uncountable-sets/
