Tabla de Contenidos
Tietyn populaation tietojoukon tai otoksen keskihajonta on kuvaava tilastollinen parametri, joka mittaa arvojen leviämistä kyseisessä joukossa . Jos lasketaan arvojoukon keskiarvo, keskihajonta arvioi joukon arvojen eron keskiarvosta.
Keskihajonta on ei-negatiivinen reaaliluku. Koska nolla on ei-negatiivinen reaaliluku, kannattaa kysyä, milloin keskihajonnan arvo on nolla ja mitä se tarkoittaa. Tämä tapahtuu vain tietyssä tapauksessa, jolloin kaikki tietojoukon arvot ovat täsmälleen samat.
keskihajonta
Kun sinulla on tietojoukko, oli se sitten näyte tietystä populaatiosta tai tietyn järjestelmän tuottama arvojoukko, herää heti kaksi kysymystä: mihin määriteltyyn arvoon voimme liittää olemassa olevan tietojoukon ja mikä on hajonta. analysoitavamme tietojoukosta.
Ns. kuvailevissa tilastoissa on erilaisia parametreja, jotka pyrkivät vastaamaan näihin kahteen kysymykseen. Arvioidaksemme arvon, johon voimme liittää tietojoukon, voimme laskea keskiarvon tai aritmeettisen keskiarvon, geometrisen keskiarvon, harmonisen keskiarvon, moodin, keskimääräisen alueen tai mediaanin. Tässä tapauksessa käytämme keskiarvoa tai aritmeettista keskiarvoa: n arvon joukon keskiarvo on niiden kaikkien summa jaettuna arvojen lukumäärällä n .
Arvojen leviämistä joukossa voidaan arvioida laskemalla keskihajonta, vaihteluväli tai kvartiiliväli. Alla oleva kuva esittää yleisen kaavan, jota käytetään keskihajonnan σ laskemiseen . Ilmaistaan sanoilla: vähennämme jokaisesta analysoimastamme joukon arvosta, jonka merkitsemme alaindeksillä i , kaikkien arvojen keskiarvon; neliöimme nämä erot ja lisäämme ne; Jaamme tuloksen joukon arvojen lukumäärällä miinus 1 ja laskemme tämän arvon neliöjuuren.
Keskihajonnalla on kaksi eri määritelmää analysoitavan tiedon tyypistä riippuen. Tämä ero tarkoittaa hieman erilaista laskelmaa. Keskihajonta voidaan laskea perusjoukosta tai otoksesta.
Jos tietoja kerätään kaikista populaation tai joukon jäsenistä, on käytettävä perusjoukon keskihajontaa. Jos analysoit tietoja, jotka edustavat otosta suuremmasta populaatiosta, sinun on käytettävä otoksen keskihajontaa. Laskelman erona on, että näytteen keskihajonnan tapauksessa kunkin arvon ja keskiarvon välinen ero jaetaan arvojen lukumäärällä miinus 1 (n – 1), kuten kuvassa näkyy . Perusjoukon keskihajonnan saamiseksi jaa n :llä .
Keskihajonta on nolla.
Tällä tavalla laskettu keskihajonta σ arvioi joukon arvojen hajoamisen: mitä suurempi sen arvo, sitä suurempi hajonta. Y on aina positiivinen luku, koska se on neliöityjen arvojen summa, joka siksi kaikki ovat positiivisia. Joten intuitiivisesti, jos keskihajonnan arvo on nolla, hajotuksen tulisi olla nolla. Ja tämä tapahtuu, kun kaikki joukon arvot ovat samat: hajoamista ei ole.
Jos kaikki joukon arvot vastaavat, myös keskiarvo vastaa tätä arvoa. Edellisen keskiarvon määritelmän mukaan, jos joukon n arvot ovat yhtä suuret, n arvon summa tarkoittaa, että tämä arvo kerrotaan n :llä ; kun se jaetaan n :llä keskiarvon laskemiseksi, molemmat n :n arvot eliminoidaan ja sitten saadaan, että keskiarvo on yhtä suuri kuin joukon yksilöllinen arvo. Kehitetään tämä kuvaus yhtälöksi , jos on n yhtäläistä arvoa, ilmaistuna x :nä , keskiarvo lasketaan
( x + x + x + x + x +…+ x )/ n = nx / n = x
Katsotaan mitä tapahtuu keskihajonnan laskennalle aiemmin kuvatulla kaavalla. Tässä kaavassa jokainen arvo x i on yhtä suuri kuin x ja puolestaan on yhtä suuri kuin keskiarvo. Siksi, kun keskiarvo vähennetään kustakin x i -arvosta , tulos on nolla. Kun summa ja sen lisäykset ovat yhtä suuria kuin nolla, tulos on myös nolla. Ja sitten keskihajonnan lopputulos on nolla.
Näimme jo silloin, että kun kaikki joukon arvot ovat yhtä suuret, keskiarvo on yhtä suuri kuin tämä arvo ja keskihajonna on nolla. Harkitse päinvastaista tilannetta: onko keskihajonta nolla vain, jos kaikki joukon arvot ovat yhtä suuret?
Tämän tarkistamiseksi katsotaanpa, mitä tapahtuu, jos vain yksi arvo on erilainen. Tämä merkitsisi sitä, että keskiarvo ei ole enää yhtä suuri kuin kaikki joukon arvot ja silloin ainakin yksi keskihajonnan laskelmista olisi nollasta poikkeava: keskihajonta ei siis olisi nolla. Koska tämä summaus on kehitetty neliöön korotettujen arvojen yli, kaikki lisäykset ovat positiivisia, eikä niitä ole mahdollista kompensoida vähennyksellä. Ainoa tapa, jolla positiivisten lukujen summa on nolla, on, että kaikki summat ovat nollia; siksi ainoa tapa saada keskihajonta on nolla on, että kaikki ryhmän arvot ovat yhtä suuret kuin keskiarvo ja siten keskenään yhtä suuret.
Molemmat argumentit muodostavat välttämättömän ja riittävän ehdon: arvojoukon keskihajonta on nolla vain, jos kaikki joukon arvot ovat yhtä suuret.
Suihkulähde
Yadolah Dodge. Tiivis tilastotietosanakirja . New York: Springer, 2010.
